傅里叶分析应用于热传导问题
傅里叶分析应用于热传导问题
(物理系 郭素梅 指导教师 陆立柱)
〔摘要〕 傅里叶分析是一种重要的数学工具,本文综述了用傅里叶分析解决细杆的热传导问题,并进行了讨论。傅里叶分析包括傅里叶级数和傅里叶积分,用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题,用含参数的傅里叶变换法解决无界细杆的热传导问题,比其它方法更系统,体现出一种数学与物理对应的美感。
〔关键词〕 傅里叶级数 傅里叶积分 傅里叶变换 细杆的热传导问题
引言
1822年,傅里叶在研究热传导问题时,创造了傅里叶分析,随着时代的进步,这一数学工具被广泛地应用于信号分析、匹配滤波、图象处理等方面,掌握这种具有广泛用途和发展前景的工具是十分必要的.热传导是历来研究的热点,尤其是随着计算机电子设备的高集成化发展,机器内发热部件和集成电路元件的发热量随之增加,传统的强制冷方式已不能达到理想效果,因此,热传导设计成了重要问题。万变不离其宗,为了更好地掌握傅里叶分析,为了更好地掌握热传导问题,本文就一维热传导问题对傅里叶分析作了全面详尽的论述。
1. 傅里叶分析 1.1 傅里叶级数
傅里叶级数在应用上有以下优点和分析。
若函数f(x)以2l为周期,即
[1]
:能表示不连续的函数、周期函数,能对任意函数作调
f(x2l)f(x)[2] (1.1.1)
则可取三角函数族
1, cos
x2xnx,cos, … cos ,… lllx2xnxsin,sin, … sin , … (1.1.2)
lll
[3]
作为基本函数族,将f(x)展开为级数
f(x)=a0+
(ancos
n1
nxnx
+bncos) (1.1.3) ll
[4]
可以证明,函数族(1.1.2)是正交完备的开系数为
。根据三角函数族的正交性,可求得(1.1.3)中的展
1lnaf()cosdnlnll
(1.1.4)
l
b1f()sinndnlll
其中
n
21
[2]
(n0)(n0)
(1.1.3)称为周期函数f(x)的傅里叶级数展开式,其中的展开系数(1.1.4)称为傅里叶系数。关于傅里叶级数的收敛性问题为
,有Dirichlet定理
[4]
。
若周期函数是奇函数,则由傅里叶系数计算公式(1.1.4)可见,展开式(1.1.3)a0及诸ak均等于零,
f(x)=bnsin
n1
nx
, (1.1.5) l
这叫做傅里叶正弦级数。由于对称性,其展开系数为
bn
1ln
f()sind (1.1.6) lll
同理,若周期函数是偶函数,则
f(x)=a0+ancos
n1
nx
(1.1.7) l
这叫做傅里叶余弦级数,其中,
an
nll
1
l
f()cos
n
d (1.1.8) l
对于只在有限区间,例如在(0,l)上有定义的函数f(x),可采取延拓的方法,使其成为某种周期函数g(x),而在(0,l)上,g(x)f(x)。然后再对g(x)作傅里叶级数展开,其级数和在区间(0,l)上代表f(x),由于f(x)在x=0和x=l无定义,因此可以有无数种延拓方式,因而有无数种展开式,它们在(0,l)上均代表f(x).有时,对函数f(x)在边界(区间的端点)上的行为提出限制,即满足一定的边界条件,这常常就决定了如何延拓。例如要求
f(0)f(l)0
这时应延拓为奇的周期函数,因为
sin
又如要求
nxnx
│x0=0, sin∣xl=0; ll
f'(0)f'(l)0
这时应延拓为偶的周期函数,因为余弦级数的和的导数在x0和xl为零。
对于函数u(x,t),-l
叶级数
u(x,t)=a0(t)+
(an(t)cos
n1
nxnx
) (1.1.9) bn(t)sin
ll
其中的展开系数不是常数,而是关于t的函数,
an(t)bn(t)
nll
l
1
l
u(,t)cos
ndl
1n
u(,t)sindlll
(1.1.10)
1.2 傅里叶积分
一般说来,定义在区间(-∞
g(x)=a0+
(ancos
n1
nxnx
) bnsin
ll
[4]
在l→∞时的极限形式就是所要寻找的非周期函数 的傅里叶展开。仔细研究这一极限过 程可以得到:
f(x)=其中
A(ω)=B(ω)=
,
A()cosxdB()sinxd (1.2.1)
1
1
f(ξ)cosωξdξ
f(ξ)sinωξdξ (1.2.2)
(1.2.1)右边的积分称为傅里叶积分,(1.2.1)称为非周期函数f(x)的傅里叶积分表达式。(1.2.2)称为f(x)的傅里叶变换式。对f(x)的条件,有傅里叶积分定理
f(x)=
[5]
。复数形式的傅里叶积分为:
F(ω)e
ix
dω (1.2.3)
F(ω)=
12
f(x)[eix]*dx (1.2.4)
1.3 含参数的傅里叶变换
对于函数u(x,t),(-∞
u(x,t)=
其中
F(ω,t)=
F(ω,t)e
ix
dω (1.3.1)
12
u(x,t)[e
ix*
]dx (1.3.2)
(1.3.1)是u(x,t)傅里叶积分表达式,(1.3.2)是u(x,t)的傅里叶变换式。
2.细杆的热传导问题
由于温度不均匀,热量从温度高的地方向温度低的地方转移,这种现象叫做热传导。在细杆的
热传导问题中研究的是温度在一维空间中的分布和在时间中的变化u(x,t)。应用热传导定理和能量
守恒定律,可导出
[6]
可导出热传导方程:
uta2uxx0 (无热源、汇)
uta2uxxf(x,t) (有热源、汇) 还需初始条件
u(x,t)|tt0=(x) 和三类边界条件
[7]
:
第一类 u(x,t)|xx0=ψ(t) 第二类 ux(x,t)|xx0=ψ(t)
第三类 u(x,t) |xx0+Hux(x,t)|xx0=ψ(t) 这样构成完整的一维热传导问题
[8]
。根据空间变量 的范围可分为以下两种细杆的热传导问题。
2.1 有界细杆的热传导问题
这里仅选第二类边界条件作讨论,构成
uta2uxxf(x,t)
ux|x00
ux|xl0u|(x)t0
(0xl,t0)
(2.1.1)
2.2 无界细杆的热传导问题
uta2uxxf(x,t)
u|t00
(x,t0)
(2.2.1)
对半无界细杆的热传导问题,根据边界条件延拓到无界,转化为无界细杆的定解问题。对第一类齐
次边界条件的定解问题
uta2uxxf(x,t) (x>0,t>0)
u|x0=0 u|t0=(x) 作奇延拓
uta2uxxf(x,t) u|t0= 对第二类边界条件
uta2uxxf(x,t) (x>0,t>0) ux|x00 u|t0=(x) 作偶延拓
uta2uxxf(x,t) u|t0=
(x)(x)
(x0)
(x0)
(x)(x)
(x0)
(x0)
3.傅里叶分析应用于细杆的热传导问题
3.1 用傅里叶级数法解决有界细杆的热传导问题
傅里叶级数法是直接求解非齐次方程的定解问题。对问题(2.1.1),把所求解u(x,t)本身展开
为傅里叶级数,基本函数族应是相应齐次方程 uta2uxx0 在第二类齐次边界条件下的本征函数:cos
nx
(0,1,2,…),这样试把所求解展开为傅里叶余弦级数 l
nx
(3.1.1) l
u(x,t)= 把这个级数代入泛定方程,
n0
Tn(t)cos
n22a2nx
[Tn(t)=f(x,t) (3.1.2) T(t)]cosn2
lln0
'
方程左边是傅里叶余弦级数,提示我们把方程右边也展开为傅里叶余弦级数,得到:
n22a2nxnx
[Tn (3.1.3) T]cosf(t)cosnn2
llln0n0
'
其中fn(t)为f(x,t)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。比较两边的系数,分离出Tn(t)的常微分方程
n22a2
Tn=fn(t) Tnl2
'
(3.1.4)
又把(3.1.1)代入初始条件,得:
nxnxcoscos== (3.1.5) (x)T(0)nn
lln0n0
其中n为(x)的傅里叶余弦级数的第n个傅里叶系数。(3.1.5)式两边都是傅里叶余弦级数,由于基本函数族cos零初始条件
nx
的正交性,等式两边对应同一基本函数的傅里叶系数必然相等,于是得Tn(t)的非l
1l
()d ol2ln
Tn(0)n()cosd (3.1.7)
ollT0(0)0
Tn(t)的常微分方程(求解[9])在初始条件(3.1.7)下的解是
Tn(t)=e
这样所求解是
n22a2
l2
t
n22a2
[fn(t)e
l2
t
dtnfn(t)dt] (3.1.8)
u(x,t)={e
n0
n22a2
lt
n22a2
[fn(t)e
lt
dtnfn(t)dt]}cos
nx
l
(3.1.9)
可以证明(3.1.9)是存在且唯一的
[10]
.
3.2 用傅里叶变换法求解无界细杆的热传导问题
对问题(2.2.1)应用含参数的傅里叶变换,即用不着遍乘方程及定解条件各项,并对空间变数x积分(时间变数视作参数),原来的定解问题变成
U'(t;k)k2a2U(t;k)F(t;k)
(3.2.1)
U(t;k)|t00
其中U(t;k)为u(x,t)的傅里叶变换。为求解这个非齐次常微方程,用e
k2a2t
遍乘方程各项,得:
2222d
[U(t;k)ekat]F(t;k)ekat dt
对t积分一次,计及零初始值,
U(t;k)=ek
进行傅里叶逆变换,
=
t0
22
at
t
F(;k)ekad
22
22
f(,)eikeka
t
(t)
dd
u(x,t)=
交换积分次序
12
t
[
f(,)eikeka
22
(t)
dd]•eikxdk
u(x,t)=
引用积分公式
1k2a2(t)ik(x)[eedk]dd f(,)
2
可得结果
e
22
k
4
ekdk
2
u(x,t)=
可以验证
[11]
t
f(,
(x)24a(t)
]dd (3.2.2))
[12]
(3.2.2) 确实符合(2.2.1).有热源或热汇的热传导问题,即泛定方程是齐次的,求解
更容易。
4. 讨论
4.1 一维热传导问题方法和结论的推广
用傅里叶分析法解决细杆的热传导问题,以及得到的结论均可推广到二维、三维空间,用到的理论基础是二、三重傅里叶级数
[13]
和二
[14]
、三
[15]
重傅里叶变换,求解过程与一维类似。
4.2 傅里叶分析应用于其它定解问题
用傅里叶分析法求解热传导问题时,只是对所求解进行了傅里叶展开或变换,并未对方程限制,常见的其它定解问题
[13]
:振动问题,扩散问题等均可用傅里叶分析法。
参考文献
[1]近藤次郎等. 微分方程 付里叶分析 .于溶渤译者沈阳:辽宁人民出版社,1981 [2]董延 .级数.上海:上海科学技术出版社,1982 [3]周肇锡. 积分变换. 国防工业出版社,1982
[4]梁昆淼 .数学物理方法(第三版). 北京:高等教育出版社,1998 [5]管平等 .数学物理方法.北京:高等教育出版社,2001 [6]郭敦仁.数学物理方法.北京:人民教育出版社,1965
[7]陆全康等.数学物理方法自学辅导. 上海:上海科学技术出版社,1989 [8]杨应辰 徐明聪.数学物理方法与特殊函数.国防工业出版社,1980
[9]四川大学数学系高等数学教研室.高等数学(第三版).北京:高等教育出版社,1995 [10]Tyn Myint-U . 数学物理中的偏微分方程.徐元钟译. 上海:上海科学技术出版社,1983 [11]陈庆益. 数学物理方程. 人民教育出版社,1979 [12]陆立柱.数学物理方法.太原:山西高校联合出版社,1993 [13]周祥龙.数学物理方程.浙江大学出版社,1991
[14]孙仲康.快速傅里叶变换及其应用.北京:人民邮电出版社,1982 [15]C. 哈普尔. 数学物理引论. 肖布森译.北京:科学出版社,1989
Fourier analysis application to
Heat-conduction question
(Department of Physics Guo Sumei Director Lu Lizhu )
〔Abstract〕 Fourier analysis is an important Mathematics tool.The thesis applies Fourier analysis to one-dimensional space Heat-conduction question, and have a discussion. Fourier analysis consists of Fourier series which can solve limited one-dimensional space Heat-conduction question and Fourier integral which can solve infinite one-dimensional space Heat-conduction question. This is more systematic compared with the other methods, and embodies corresponding beauty of Mathematics to Physics.
〔Key words〕 Fourier series Fourier integral Fourier transform one-dimensional space Heat-conduction question
【教师评语】
本文对傅里叶分析的理论和方法理解深刻,阐述正确。应用于热传导问题时,物理概论和思想清晰,数学方法得当,逻辑性强,过程清晰,结论正确。
指导教师:陆立柱