实变函数与泛函分析基础(第三版)
主要内容
本章讨论的点集理论,不仅是以后学习测度理论和新积分理论的基础,也为一般的抽象空间的研究提供了具体的模型. 学习本章时应注意以下几点.
1、本章的基本概念较多,且有些概念(如内点、聚点、边界点等)相互联系,形式上也常有类似之处,因而容易混淆. 学习这些概念时要细心认真,注意准确牢固地掌握每一个概念的实质,学习时可同其类似的概念对照,注意区别概念间的异同点.
尤其要注意的是,本章对有些概念(如聚点),给出了多种等价(充要)条件,这将有利于理解概念的本质,特别是在讨论某些具体问题时,如能恰当地选用某种条件,常常会给问题的解决带来方便. 所以对等价条件必须深刻理解,熟练灵活地运用.
2、在开集、闭集和完备集的性质的讨论中,开集是基础,因为闭集是开集的补集,完备集是一种特殊的闭集,所以弄清了开集的性质,闭集和完备集的性质也就自然得到了.
3、本章中定理亦较多,对定理的学习,要注意弄清下述三点:一是定理的条件和要证的结论;二是定理的证明方法和推理过程;三是定理的意义和作用. 要特别注意论证思路和方法,这样才能逐步提高分问题和解决问题的能力. 同是定理, 然它们的意义和作用也会不尽相同. 本章有些定理,如有限覆盖定理(定理2.2.5),聚点存在定理(定理2.1.5)以及直线上开集的结构定理(定理2.3.1)等都是本章中的重要定理,在今后的学习中常有应用.
4、康托集是本章给出的一个重要例子. 对它的一些特殊性质,在直观上是难以想象的,比如它既是不包含任何区间的完备集,同时它还具有连续基数 ,下章中我们还将证明它的测度为零. 正是因为它的这些“奇怪”性质,使得它在许多问题的讨论中起着重要作用.
复习题
一、判断题
n
1、设P ,Q ∈R ,则ρ(P , Q ) =0⇔P =Q 。(× )
2、设P ,Q ∈R ,则ρ(P , Q ) >0。(× )
n
n
3、设P 1, P 2, P 3∈R ,则ρ(P 1, P 2) ≥ρ(P 1, P 3) +ρ(P 2, P 3) 。(× )
4、设点P 为点集E 的内点,则P ∈E 。(√ ) 5、设点P 为点集E 的外点,则P ∉E 。(√ )
6、设点P 为点集E 的边界点,则P ∈E 。(× ) 7、设点P 为点集E 的内点,则P 为E 的聚点,反之P 为E 的聚点,则P 为E 的内点。(× ) 8、设点P 为点集E 的聚点,则P 为E 的边界点。(× )
9、设点P 为点集E 的聚点,且不是E 的内点,则P 为E 的边界点。(√ ) 10、设点P 为点集E 的孤立点,则P 为E 的边界点。(√ )
11、设点P 为点集E 的外点,则P 不是E 的聚点,也不是E 的边界点。(√ ) 12、开集中的每个点都是内点,也是聚点。(√ )
13、开集中可以含有边界点和孤立点。(× ) 14、E 是开集⇔E =E 的内部(开核)。(√ ) 15、任意多个开集的并集仍为开集。(√ ) 16、任意多个开集的交集仍为开集。(× ) 17、有限个开集的交集仍为开集。(√ ) 18、闭集中的每个点都是聚点。(× ) 19、E '和E 都是闭集。(√ )
20、E 是闭集⇔E '⊂E 。(√ ) 21、任意多个闭集的交集仍为闭集。(√ ) 22、任意多个闭集的并集仍为闭集。(× ) 23、有限个闭集的并集仍为闭集。(√ ) 24、E 是开集⇔E c 是闭集。(√ )
25、E 是完全集(完备集)⇔E '=E ⇔E 是无孤立点的闭集。(√ )
二、填空题
1、设R n =R 1,E 1是[0,1]上的全部有理点,则E 1'=E 1=
[0,1]
[0,1]
;E 1的内部=。
[0,1]
2、设R n =R 2,E 1=[0,1],则E 1'=
;E 1的内部= 空集 ;E 1=
[0,1]。
3、设R n =R 2,E 1={(x , y ) x 2+y 2
4、设P 是康托(三分)集,则P 为 闭 集;P 为 完全 集;P 没有 内 点;P = c ;
m P =
5、设(a , b ) 为R 1上的开集G 的构成区间,则(a , b ) 满足(a , b ) ⊂G ,且a ∉G ,b ∉G 。 6、设E =(1,2) ⋃(3,4) ,写出E 的所有的构成区间(1,2), (3,4) 。 7、设E =(1,3) ⋃(2,6) ,写出E 的所有的构成区间(1,6) 。
8、设E 为R 1上的闭集,x 0为E 的孤立点,则x 0必为E 的两个邻接区间的 9、设E 为R 1上的闭集,则E 的邻接区间必为E
c
的构成区间。
三、证明题
1、证明:(A ⋃B ) '=A '⋃B '。
证明:因为A ⊂A ⋃B ,B ⊂A ⋃B ,所以,A '⊂(A ⋃B ) ',B '⊂(A ⋃B ) ',从而
A '⋃B '⊂(A ⋃B ) '
反之,对任意x ∈(A ⋃B ) ',即对任意B (x , δ) ,有
B (x , δ) ⋂(A ⋃B ) =(B (x , δ) ⋂A ) ⋃(B (x , δ) ⋂B ) 为无限集,
从而B (x , δ) ⋂A 为无限集或B (x , δ) ⋂B 为无限集至少有一个成立,即x ∈A '或x ∈B ',所以,x ∈A '⋃B ',(A ⋃B ) '⊂A '⋃B '。综上所述,(A ⋃B ) '=A '⋃B '。
2、证明:若E 为闭集,则E c 为开集;若E 为开集,则E c 为闭集。
证明:若E 为闭集,对任意x ∈E c ,有x ∉E ,所以,x 不是E 的聚点。注意到E 为闭集,存在B (x , δ) ,使得B (x , δ) ⋂E =∅,即B (x , δ) ⊂E 是开集。
(反证法)若E c 不是闭集,则存在E c 的一个聚点x ∉E c ,从而x ∈E 。有E 是开集,存在B (x , δ) ⊂E ,所以,B (x , δ) ⋂E c =∅这与x 是E c 的一个聚点矛盾。故E c 为闭集。
3、证明:E 为闭集⇔E =E 。
证明:因为E 为闭集,则E '⊂E ,而E =E ⋃E ',所以E =E 。反之,因为
E =E =E ⋃E ',所以,E '⊂E ,即E 为闭集。
c
,所以,x 是E c 的内点。故E c
4、证明:开集减闭集的差集仍为开集;闭集减开集的差集仍为闭集。
证明:记G 为开集,F 为闭集。由于G -F =G ⋂F ,F -G =F ⋂G ,且两个开集的交集仍为开集,两个闭集的交集仍为闭集,开集的余集是闭集,闭集的余集是开集,所以,
G -F =G ⋂F 是开集,F -G =F ⋂G 是闭集。
c
c
c
c
5、设f (x ) 是(-∞, +∞) 上的实值连续函数,则对任意实常数a ,E ={x f (x ) >a }为开集,F ={x f (x ) ≤a }为闭集。
证明:对任意x ∈E ={x f (x ) >a },有f (x ) >a ,由连续函数的局部保号性,存在
B (x , δ) ,使对任意y ∈B (x , δ) ,有f (y ) >a ,即y ∈E ,所以,B (x , δ) ⊂E ,即x 为E
的内点。所以E ={x f (x ) >a }为开集。又F ={x f (x ) ≤a }={x f (x ) >a }=E 是开集,所以,F ={x f (x ) ≤a }为闭集。
c c
6. 证明:R n 中任意闭集都可以表示成可数个开集的交。
证:设F ⊂R n 为任意一个闭集,令G n =
∞
x ∈F
U (x ,
1n
) , n ∈N ,则G n 均是
∞
n
开集,且F ⊂G n (∀n ∈N ) ,从而F ⊂
∞
G .下证:F
n =1
⊃
G .
n
n =1
对∀x 0∈
n =1
G n
,则对∀n ∈N , x 0∈G n ⇒∃x n ∈F ,使得x 0∈U (x n ,
1n
)
,即
d (x n , x 0)
1n
(∀n ∈N ) ,于是x n →x 0(n →∞) ,从而x 0∈F .但F 是闭集,
∞∞
n
所以x 0∈F =F
⇒
G
n =1
⊂F
,故
G
n =1
n
=F
.
因此,F 可以表示成可数个开集的交。证毕。
-1
7.f (x ) 是R上的连续函数,G 是开集,则f 证明: 若f
-1
(G ) ={x :f (x ) ∈G }一定是开集.
-1
(G ) =∅, 则结论成立;若f
-1
(G ) ≠∅, 则对∀x 0∈f
(G ), 即f
(x )∈G ,
又G 是开集,故∃ε>0, ∍(f (x 0)-ε, f (x 0)+ε)⊂G ,又f (x ) 在x 0连续,对上述
ε>0, ∃δ>0,使得当x ∈(x 0-δ, x 0+δ)时,有-ε
-1
(x )-f (x )
,可见,当
-1
)
时,f
(x )∈
G ,从而可知
(x -δ, x 0+δ)∈f (G )
,即
(G ) ={x :f ∈(x ) 是开集.G }