南航研究生矩阵论复习讲义

第一章线性空间与内积空间

1.线性空间、维数、基与坐标

(1)线性空间V 中存在加法和数乘运算，且加法和数乘运算满足8个条件；

(2)线性空间V 中线性无关向量的最大个数n 称为V 的维数,记为dim (V ) = n ; V 中任意n 个线性无关向量称为V 的一组基；

(3)如果α1, α2, , αn 是线性空间V 中的n 个线性无关向量,且V 中任一向量都可由其线性表示,则α1, α2, , αn 是V 的一组基且dim (V ) = n ；

ε' 1, ε' 2, , ε' n 是(4)设ε1, ε2, , εn 是线性空间V 的一组基,

V 的n 个向量,则存在n 阶方阵T ,使得

(ε' 1, ε' 2, , ε' n ) =(ε1, ε2, , εn ) T ,

, ε' n 也是V 的一组基；当且仅当T 可逆时,ε' 1, ε' 2,

(5)设ε1, ε2, , εn 是线性空间V 的基,则向量α在这组基

T 下的坐标(x 1, x 2, , x n ) 是如下线性组合的系数向量:

α=x 1ε1+x 2ε2+ +x n εn .

2.线性子空间

(1)设V 是线性空间,W 是V 的非空子集，则W 是V 的子空间的充分必要条件是

∀k ∈P , ∀α, β∈W ⇒k α, α+β∈W ;

(2)设α1, α2, , αs 是线性空间V 的一组向量，

W =L (α1, α2, αs ) ={k 1α1+k 2α2+ +k s αs |k i ∈P },则W 是V 的子空间；

(3)设α1, α2, , αs 与β1, β2, , βt 是线性空间V 的两组向

量,则L (α1, α2, , αs ) =L (β1, β2, , βt ) 的充分必要条件是α1, α2, , αs 与β1, β2, , βt 等价；

（4）dim(L(α1, α2, , αs )) =rank (α1, α2, , αs );

(5)设V 1, V 2是线性空间V 的两个子空间，则V 1∩V 2和V 1 +V 2也是V 的子空间；

(6)如果V 1和V 2是线性空间V 的有限维子空间,则

dim (V 1) +dim (V 2) =dim (V 1+V 2) +dim (V 1∩V 2).

3.直和的判别法

(1)V 1 + V 2中任意向量的分解式唯一；

(2)V 1+ V 2中零向量的表法唯一；

(3)V 1∩V 2={0};

(4)dim(V 1+V 2) =dim(V 1) +dim(V 2).

第二章

1.线性变换的定义线性映射与线性变换

设V 是数域P 的线性空间，A 是V 到自身的一个映射，如果A (α+β) =A (α) +A (β), ∀α, β∈V

A (k α) =k A (α), ∀α∈V , k ∈P

则称A 是V 的线性变换.

2.线性变换的性质

如果A , B 是V 的线性变换，k ∈P , 则A +B , AB , k A 也是V 的线性变换.

3.线性变换的矩阵表示

(1)设ε1, ε2, , εn 是线性空间V 的一组基,A 是V 的线性变换，则

⎧A (ε1) =a 11ε1+a 21ε2+ +a n 1εn ⎪⎪A (ε2) =a 12ε1+a 22ε2+ +a n 2εn ⎨ ⎪⎪⎩A (εn ) =a 1n ε1+a 2n ε2+ +a nn εn

即A (ε1, ε2, , εn ) =(ε1, ε2, , εn ) A ;

(2)n 维线性空间的线性变换与n 阶矩阵一一对应；

(3)同一个线性变换在不同基下的矩阵一定相似.

4.线性变换的值域与核

ε1, ε2, , εn 是V 的设A 是n 维线性空间V 的线性变换，

一组基，A 在这组基下的矩阵是A ，则

（1）A 的核为Ker(A ) ={α∈V |A (α) =0};

（2）A 的值域为R (A ) ={A (α) |α∈V };

（3）R (A ) =L (A (ε1), A (ε2), , A (εn ));

（4）dim(R (A )) = rank( A );

（5）dim(R (A )) + dim(Ker(A )) = n .

5.矩阵A 可对角化的充分必要条件

（1）A 有n 个线性无关的特征向量；

（2）设A 的全部互异特征值为λ1, λ2, , λr ，则

dim(V λ1) +dim(V λ2) + +dim(V λr ) =n ;

（3）A 的每一个特征值的几何重数等于代数重数；

（4）A 的初等因子都是一次式；

（5）A 的最小多项式m (λ) 没有重零点.

第三章λ矩阵与矩阵的Jordan 标准形

1.数字矩阵A 与B 相似的条件

（1）存在数字矩阵P 与Q ，使得λI −A =P (λI −B ) Q ;

（2）它们的特征矩阵λI -A 和λI -B 相抵；

（3）它们有相同的不变因子；

（4）它们有相同的行列式因子；

（5）它们有相同的初等因子.

2. 矩阵的最小多项式

（1）矩阵A 的最小多项式m (λ) 能整除A 的任一化零多项式；

（2）矩阵A 的最小多项式能整除特征多项式f (λ) ；

（3）λ0是A 的特征值的充分必要条件是m (λ0) =0；

（4）相似的矩阵具有相同的最小多项式；

（5）矩阵A 的最小多项式为其最后一个不变因子.

3.矩阵的不变因子、行列式因子和初等因子的求法

（1）化λI -A 为Smith 标准形：

λI −A ≅diag(d 1(λ), d 2(λ), , d n (λ)),

则d 1(λ), d 2(λ), , d n (λ) 是A 的n 个不变因子；

（2）令⎧D 1(λ) =d 1(λ), ⎪⎪D 2(λ) =d 1(λ) d 2(λ), ⎨ ⎪⎪⎩D n (λ) =d 1(λ) d 2(λ) d n (λ),

则D 1(λ), D 2(λ), , D n (λ) 是A 的n 个行列式因子；

（3）将矩阵A 的不变因子d 1(λ), d 2(λ), , d n (λ) 进行标准分解，则全体一次因式的方幂

(λ−λ1) , (λ−λ2) , , (λ−λs ) n 1n 2n s

即为A 的全部初等因子.

4. Jordan 标准形的求法

（1）求矩阵A 的初等因子

(λ−λ1) , (λ−λ2) , , (λ−λs ) ; n 1n 2n s

（2）对A 的每个初等因子(λ−λi ) 构造Jordan 块：

0⎞⎛λi 1⎟⎜λi ⎟⎜J i =; ⎜ 1⎟⎟⎜0λi ⎠n ×n ⎝i i n i

（3）A 的Jordan 标准形为J =diag (J 1, J 2, , J s ).

第四章

1.满秩分解矩阵的因子分解

设m ×n 矩阵A 的秩为r ≥1，则存在m ×r 列满秩矩阵B 和r ×n 行满秩矩阵C , 使得A = BC .

2.三角分解

（1）LU 分解：设A 的各阶顺序主子式非零，则存在唯一的单位下三角矩阵L 和上三角矩阵U , 使得A = LU .

（3）设A 是m ×n 矩阵且rank (A ) =r >0，则A 有分解式：

A =QR ,

其中Q 是m ×r 列正交规范矩阵, R 是r ×n 行满秩矩阵.

4. Schur 定理(正交分解)

（1）设A 是n 阶复矩阵，则存在n 阶酉矩阵U 和n

H 阶上三角矩阵R , 使得U AU = R ；

（2）设A 是n 阶实矩阵，则存在n 阶正交矩阵Q 和

T n 阶块上三角矩阵R , 使得Q AQ = R .

5.奇异值分解

设A 是m ×n 实（复）矩阵，且rank (A ) = r ，则存在m 阶正交（酉）矩阵V 和n 阶正交（酉）矩阵U ，使得

⎛Σ0⎞⎞⎛Σ0⎞⎛H ⎟⎜⎟⎜⎟, =V AU =⎜V AU ⎜00⎟⎟⎜00⎟⎜⎠⎠⎝⎠⎝⎝T

其中Σ=diag (σ1, , σr ), 且σ1, , σr 是A 的正奇异值.

6.正规矩阵的性质

（1）n 阶矩阵A 酉相似于对角矩阵的充分必要条件为

A 是正规矩阵；

（2）设A , B 均为n 阶正规矩阵且AB =BA ，则存在n

H H 阶酉矩阵U ，使得U AU 与U BU 同时为对角矩阵；

（3）若A 是正规矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量正交；

（4）若A 是正规矩阵，则A 的奇异值是A 的特征值的模.

第五章Hermite 矩阵与正定矩阵

1. Hermite 矩阵的性质

(1) 如果A 是Hermite 矩阵，则对正整数k ，A k 也是Hermite 矩阵；

(2) 如果A 是可逆Hermite 矩阵，则A 是Hermite 矩阵；

(3) 若A , B 是Hermite 矩阵，则AB 是Hermite 矩阵的充分必要条件是AB = BA ；

(4) 若A 是Hermite 矩阵，则对任意方阵S ，S AS 也是Hermite 矩阵；H -1

（5）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的所有特征值全是实数；

（6）设A 为n 阶Hermite 矩阵，则A 的属于不同特征值的特征向量互相正交；

（7）A 为n 阶Hermite 矩阵的充分必要条件是存在酉矩阵U 使得

H U AU =Λ=diag (λ1, λ2, , λn ),

其中λ1, λ2, , λn 均为实数.

2. Hermite 矩阵正定的判别方法

(1)A 的n 个特征值均为正数；

(2) 存在n 阶可逆矩阵P , 使得P AP = I ；

(3) 存在n 阶可逆矩阵Q , 使得A = Q Q ；

(4) 存在n 阶可逆Hermite 矩阵S , 使得A = S ；

（5）A 的顺序主子式均为正数，即2H H

Δk (A ) >0, k =1, , n ;

（6）A 的所有主子式全大于零.

4. Hermite 矩阵半正定的判别方法

(1)A 的n 个特征值均为非负数；

⎛I r （2）存在n 阶可逆矩阵P 使得P AP =⎜⎜0⎝H 0⎞⎟; ⎟0⎠

(3) 存在秩为r 的矩阵Q 使得A =Q Q ; H

（4）存在秩为r 的n 阶Hermite 矩阵S , 使得A =S ;

(5)A 的所有主子式均非负. 2

5.矩阵不等式

(1) A ≥B ⇔A −B ≥0;

n H H (2) A ≥B ⇔∀x ∈C , 有x Ax ≥x Bx ;

(3) 设A =diag (a 1, , a n ), B =diag (b 1, , b n ), 则A ≥B (A >B ) ⇔a i ≥b i (a i >b i )(i =1, 2, , n );

(4) A ≥B (A >B ) ⇔对任意n 阶可逆矩阵P 都有

P AP ≥P BP (P AP >P BP );

(5)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵且A ≥0, B >0，则

B ≥A ⇔ρ(AB ) ≤1; B >A ⇔ρ(AB )

(6)设A 是n 阶Hermite 矩阵,则λmin (A ) I ≤A ≤λmax (A ) I ;

(7)设A 是Hermite 非负定矩阵，则A ≤tr(A ) I ；

(8)设A , B 均为n 阶Hermite 矩阵,且AB = BA ,则

A >B >0⇒A >B ; A ≥B ≥0⇒A ≥B ; 2222

(9) 设A >0, C >0且AC =CA , 则AC >0;

(10) 设A ≥0, C ≥0且AC =CA , 则AC ≥0.

第八章

1.加号逆的定义

广义逆矩阵

设A ∈R m ×n ,则G =A +的充分必要条件是:

（1）AGA =A ;

（2）GAG =G ;

（3）(AG ) =AG ;

（4）(GA ) =GA .

T

T

2.加号逆在方程组中的应用

(1) 方程组Ax =b 相容的充要条件是AA b =b ; (2) 若Ax =b 相容, 则其通解是

++n

x =A b +(I −A A ) y , ∀y ∈R ; (3) 若Ax =b 相容, 则x =A b 是其极小范数解;

+

+

(4) 若Ax =b 不相容, 则其最小二乘解的通式是

++n

x =A b +(I −A A ) y , ∀y ∈R ; (5) 若Ax =b 不相容, 则其极小最小二乘解是x =A b .

+

3.加号逆在矩阵方程中的应用

(1)矩阵方程AXB = C 有解的充分必要条件是

AA CB B =C ;

+

+

(2)如果AXB = C 有解，则其通解是

++++

X =A CB +Y −A AYBB , ∀Y . 4.加号逆的计算

(1) 若A 列满秩, 则A =(A A ) A ; (2) 若A 行满秩, 则A =A (AA ) ;

(3)设A 的满秩分解为A = BC ,则

A =C B =C (CC ) (B B ) B .

+

+

+

T

T −1

T

−1

T

+T −1T

+T T −1