本科优秀毕业论文
2015年度本科生毕业论文（设计）
用首次积分法求
Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确解
院 － 系： 数学学院
专 业： 数学与应用数学
年 级： 2011级 学生姓名： 熊志海 学 号： [1**********]3 导师及职称： 何 斌（教授）
2015年4月
2015 Annual Graduation Thesis (Project) of the College Undergraduate
The First Integral Method for
Solving Exact Solutions of
Drinfel’d-Sokolov-Wilson equation
Department: College of Mathematics
Major: Mathematics and Applied Mathematics
Grade: 2011
Student’s Name: Xiong Zhihai
Student No.: [1**********]6
Tutor: He Bin (Professor)
April, 2015
毕业论文（设计）原创性声明
本人所呈交的毕业论文（设计）是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文（设计）不包含其他个人已经发表或撰写过的研究成果。对本论文（设计）的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢意。
作者签名： 日期：
毕业论文（设计）授权使用说明
本论文（设计）作者完全了解红河学院有关保留、使用毕业论文（设计）的规定，学校有权保留论文（设计）并向相关部门送交论文（设计）的电子版和纸质版。有权将论文（设计）用于非赢利目的的少量复制并允许论文（设计）进入学校图书馆被查阅。学校可以公布论文（设计）的全部或部分内容。保密的论文（设计）在解密后适用本规定。
作者签名： 指导教师签名：
日期： 日期：
熊志海 毕业论文（设计）答辩委员会(答辩小组)成员名单
摘要
这篇文章利用首次积分法对Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程进行了研究，并借助前人某些辅助方程的研究结果得到了一些该方程在不同的参数条件下的精确解，其中包括各种行波解、椭圆函数解、双曲函数解等，显示了运用首次积分法求解非线性偏微分方程的有效性．结合辅助方程求解所得到的结果更为丰富，能解决一些其他学科所面临的不能解决的难题，非常具有理论价值和实用价值．因此能否求解或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发展，越来越多的科学工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣．论文由四章组成：第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展和研究现状，提出了本课题的研究意义和研究内容．第二章介绍了首次积分方法的思想和具体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善．第三章是利用首次积分方法求解Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程组并得到了方程的一些新的精确解．第四章是对本文所作的工作进行一个简单总结与展望．
关键词：Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程；首次积分法；辅助方程；精确解
ABSTRACT
In this paper, we apply using the first integral method solve the Drinfel’d-Sokolov-Wilson equation, and using the result of auxiliary equation to solve the Drinfel’d-Sokolov-Wilson equation directly. Under different parametric conditions, so some special exact traveling wave solutions are obtained for the equation. Meanwhile, it implies the effectiveness of the fist integral method to solve the nonlinear partial differential equationgs. It is the result of combination of auxiliary equation is more abundant, can solve some of the other subjects facing can't solve the problem, very has the theory value and practical value. Therefore whether or how to solve the nonlinear differential equation, with the development of scientific research, a growing number of scientific workers in this area of research have expressed great interest. The paper consists of four chapters: the first chapter mainly introduces the nonlinear partial differential equation of the research background, research progress and present situation, proposed this topic research significance and research content. The second chapter introduces the ideas and concrete steps of the first integral method, and added to the posterity to this method. The third chapter is using the first integral method for solving Drinfel' d - Sokolov - Wilson equations obtained some new exact solutions of the equations. The fourth chapter is the work of this paper made a simple summary and prospect.
Keywords: Drinfel’d-Sokolov-Wilson equation; the first integral method; auxiliary equation; exact solution
目录
1. 绪论 ........................................................................................................................... 1
1.1 研究背景及意义 ................................................................................................. 1
1.2 非线性方程的研究现状 ..................................................................................... 1
1.3 本文的主要内容 ................................................................................................. 2
2. 首次积分法的思想和基本步骤 ............................................................................... 3
2.1首次积分与除法定理 .......................................................................................... 3
2.2首次积分方法的步骤 .......................................................................................... 4
3.首次积分法求解Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程 .................................................... 6
3.1 Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程 ........................................................................... 6
4. 总结与展望 ............................................................................................................. 25
参考文献 ...................................................................................................................... 26
附录 .............................................................................................................................. 28
致谢 .............................................................................................................................. 31
用首次积分法求Drinfel’d-Sokolov-Wilson
方程的精确解
1. 绪论
1.1 研究背景及意义
在数学里，有一种非线性关系，那就是非线性现象．越来越多科学问题的研究，都离不开对非线性偏微分方程和非线性常微分方程的描述与研究，它广泛应用于地球科学、生命科学、工程技术、和应用数学的众多分支当中，如流体力学、基本粒子物理、非线性光学、地球化学、生物学等等，因此能否求解或如何求解非线性微分方程，关系到科学研究的深入和发展，越来越多的科学工作者在这一方面的研究都表示出了极大的兴趣．
由于非线性科学研究的深入和发展，人们对非线性现象的分析，从早期的只是从理论上对一些比较简单的非线性现象作了线性近似，到现在随着科学技术的发展，非线性科学也得到了迅速的发展．人们普遍认识到，非线性科学不仅是出于自然科学前沿的学科，而且是一门研究非线性现象共性的交叉学科，因此它又被誉为20世纪以来，继相对论和量子力学之后的第三次“科学革命” ．
越来越多的数学家和物理学家能够在前人的基础上不断的研究出求解非线性方程的新方法，得到的新的精确解能够帮助他们发现新的现象，从而解决一些相关的问题．研究精确解也能作为数值分析中求近似解的基础，解决一些其他学科所面临的不能解决的难题，因此求解非线性方程的精确解是非常具有理论价值和使用价值的．
1.2 非线性方程的研究现状
近年来，由于计算机的进步和发展，加快了非线性科学的发展．经过多年的研究，目前求非线性微分方程的精确解已经发展了许多方法. 如：广田提出的双线性方法[1]，Gardner, Greene, Miura等发现的反散射法[2]，王明亮教授和李志斌教授提出的齐次平衡法[3]， Malfliet提出的双曲正切函数法[4]，张鸿庆提出以代数化思想求解微分方程的理论，闫依据双曲函数法的构造思想提出了sine-cosine方法．Liu等人提出的雅克比椭圆函数展开法[6]，冯兆生教授运用可 1
交换的代数理论，基于除法定理和Hilbert零点定理提出的首次积分方法该方法求得了很多非线性偏微分方程大量的精确解，例如Burgers-KdV方程[7]，n 1维空间中一种近似的Sine-Gorden方程[8]，(2+1)维Burgers-KdV方程[9]， Zhang等人在椭圆函数展开法和双曲正切函数法的基础上提出的F-展开法[10]．
1.3 本文的主要内容
本文利用首次积分法[7]并结合除法定理讨论了Drinfel’d-Sokolov-wilson组的精确解，给出在首次积分中y的次数为1和2两种情况下方程的行波解．特别地，并结合参照文献[14,15]得到更多Drinfel’d-Sokolov-wilson的行波解．
论文由四章组成，第一章主要介绍了非线性偏微分方程的研究背景、进展和研究现状，提出了本课题的研究意义和研究内容．第二章介绍了首次积分方法的思想和具体步骤，以及补充了后人对此方法的部分完善，第三章是利用首次积分方法求解drinfel’d-Sokolov-wilson方程组得到了方程的一些新的精确解，
第四章是对本文所作的工作进行一个简单总结与展望．
2
2. 首次积分法的思想和基本步骤
首次积分方法的基本思想是利用除法定理求出常微分方程的一个首次积分进而求得偏微分方程的精确解[16], 该方法是冯兆生于2002年提出[7] ．其主要思想是：首先作变换，将原偏微分方程（组）转化为常微分方程（组），然后通过积分，并作相应的计算，将方程组转化为二阶的常微分方程，再次作变换，将方程转化为一个常微分方程组，最后利用多项式整出原理，并借助于数学软件求出方程组的一些精确解．
2.1首次积分与除法定理
首次积分： 例如一阶常微分方程：
dyx
=, (2-1) dxy
将(2-1)变量分离得到
ydy=xdx, (2-2)
两边积分得
y2x2c
=+, (2-3) 222
因此(2-1)的通解为
y2-x2=c, (2-4) 将原方程的任一解y(x)代入(2-4)得到恒等式
ϕ(x,y)=y2-x2≡c, (2-5)
则(2-5)就成为原方程的一个首次积分. 以上结果很容易推广到一阶常微分方程组：
⎧dy1
⎪dx=f1(x,y1, ,yn),⎪dy
⎪2=f2(x,y1, ,yn),
⎨dx
⎪ ⎪dyn
=fn(x,y1, ,yn),⎪⎩dx
(2-6)
3
如果(2-6)的任何一个解y1(x),y2(x), ,yn(x)使得连续可微的函数φj(x,y1,
,yn)
≡cj,(j=1,2,,n)成立，则φj(x,y1,,yn)≡cj称为方程组(2-6)的n个首次积分
上的多项式，并且P(w,
z)在复数域
除法定理：设P(w,z),Q(w,z)式复数域
上不可约，如果在P(w,z)的所有零点处都有Q(w,z)=0，那么存在复数域上的多项式G(w,z)使得Q(w,z)=P(w,z)G(w,z)．
2.2首次积分方法的步骤
步骤一：设非线性偏微分方程
P(u,ux,ut,uxx,uxt,...)=0. (2-7)
通过行波变换(u(x,t)=u(ξ),ξ=x-ct)(c∈R),可化为下列二阶常微分方程：
Q(u,uξ,uξξ)=0. (2-8) 步骤二：引进新的独立变量X=u,Y=uξ,此时将常微分方程(2-8)化为一阶常微分方程组
⎧X'=Y,
(2-9) ⎨'
Y=fX,Y.()⎩
如果在相同条件下能获得(2-9)的一个首次积分，则可直接获得它的一般解．但通常情况下，这是非常难实现的，因为对于一个给定的平面自治系统，既没有一个系统的理论，也没有一种常规方法来获得它的一个首次积分．因此可以利用除法定理找到(2-9)的一个首次积分，它可以将(2-9)化成一阶可积的常微分方程组，然后直接积分就可以得到原方程的精确解． 步骤三：设首次积分为
q(X(ξ),Y(ξ))=∑ai(X(ξ))(Y(ξ))=0, (2-10)
i
mi=0
其中ai(X(ξ))(i=0,1,2, ,m)是复数域上关于X的待定多项式．由除法定理知在复数域上存在多项式h(X,Y)=α(X)+β(X)Y使得
dq
=[α(X)+β(X)Y]q(X,Y), (2-11)dξ
通过方程(2-11)可以确定多项式ai(X),α(X),β(X)，从而求出q(X,Y)的表达式．在通常情况下假设ai(X)≠0如有ai(X)=0,0≤i≤m，与已知条件矛盾，直接考虑下一种情况．在文献[18]中，当m=2时遇到ai(X)=0，此时将所得结果
4
m
代入首次积分∑ai(X)Yi=0，依然得到了原方程的精确解．本文如遇到此种情
i=0
况，借鉴了该方法．
⎧X'=Y,
步骤四：将∑ai(X)Y=0代入方程组⎨，求解常微分方程就可得
'Y=fX,Y,()i=0⎩
m
i
到原方程的精确解．
5
3.首次积分法求解Drinfel’d-Sokolov-wilson方程
3.1 Drinfel’d-Sokolov-wilson方程
考虑Drinfel’d-Sokolov-wilson方程：
⎧ut+αvvx=0,
(3-1) ⎨
v+βv+γuv+εuv=0,xxxxx⎩t
假设方程组(3-1)具有如下形式的行波解：
u(x,t)=u(ξ),v(x,t)=v(ξ),ξ=x-ct, (3-2)
将(3-2)代入(3-1)得到
-cuξ+αvvξ=0, (3-3) -cvγu+vξεuxξ+βvξξξ+
(3-4) v=0.
(3-3)式对ξ积分一次，积分常数为R2得；
Rαα
-cu+v2+R1=0,u=v2+1, (3-5)
22cc
将(3-5)代入(3-4)得到方程组(3-1)的等价方程
γRαγ
(c+1)vξ-βvξξξ-(+ε)v2vξ=0, (3-6)
cc2对（3-6）再对ξ积分一次得，并令R2=0得到方程组（3-1）的等价方程
vξξ=
γR11⎡αγ3⎤ (c+)v-(+ε)v. （3-7）⎥β⎢c3c2⎣⎦
令X=v,Y=vξ,则方程(3-6)等价于
⎧X'=Y,⎪
γR1αγ⎨'13 (3-8) Y=(c+)X-(+ε)X.⎪βc3cβ2⎩
假设(X=X(ξ)),(Y=Y(ξ))是方程组(3-8的非平凡解，q(X(ξ),Y(ξ))=
∑a(X(ξ))(Y(ξ))是复数域中不可约多项式，满足
q(X(ξ),Y(ξ))=∑a(X(ξ))(Y(ξ))=0, (3-9) 其中a(X(ξ))(i=0,1,2,,m)是关于X的待定多项式，则(3-9)称为(3-8)的首次
i
ii=0
m
i
ii=0
m
i
积分．
下面就m=1和m=2两种情况进行讨论．
6
情形一
设m=1，由(3-9)得到
a0(X)+a1(X)Y=0, (3-10) 注意到
dqdq是X和Y的多项式，并且q(X(ξ),Y(ξ))=0必然有=0. 根据除法定
dξdξ
理，在复数域
中存在一个多项式h(X,Y)=α(X)+β(X)Y,使得
dq∂qdX∂qdY
=+=⎡α(X)+β(X)Y⎤a0(X)+a1(X)Y=0⎤, (3-11)⎡⎣⎦⎣⎦dξ∂Xdξ∂Ydξ
即
'(X)+a0'(X)Y]Y [a0(X)β(X)+a1(X)α(X)]Y+a1(X)β(X)Y2+a0(X)α(X) =[a0⎡1⎤γRαγ+a1(X)⎢(c+1)X-(+ε)X3⎥,
c3cβ2⎣β⎦比较上式两边Y的各次幂系数，得到
'(X)=a1(X)β(X), (3-12) a0
'(X)=a0(X)β(X)+a1(X)α(X), (3-13) a0
⎡1⎤γRαγ
a1(X)⎢(c+1)X-(+ε)X3⎥=a0(X)α(X). (3-14)
c3cβ2⎣β⎦由方程(3-12)可得出a1(X)是常数且β(X)=0,不失一般性，可以a1(X)=1, 从而方程(3-13)、(3-14)化为
'(X)=α(X), (3-15) a0
⎡1γR1αγ3⎤(c+)X-+εX)⎢β⎥=a0(X)α(X) . (3-16) c3cβ2⎣⎦平衡a0(X)、α(X)的次数，可以得到α(X)的次数只能为1，否则如果
∂⎡⎣α(X)⎤⎦=m>1, 由方程(3-15)推出∂⎡⎣α0(X)⎤⎦=m+1,方程(3-16)推出m=1与m>1矛盾．类似的如果∂[α(X)]=0可以推出∂⎡⎣α0(X)⎤⎦=1, 由方程(3-16)推出矛
盾．
设α(x)=Ax+B,由方程(3-15)得 A
a0(X)=X2+BX+D, (3-17)
2
7
其中D是积分常数．将a0(X)、α(X)代入方程(3-15)并取Xi(i=0,1,2,3)的系数为 零，得到
⎧BD=0，⎪
⎪2AD+B2=1(c+γR1),
βc⎪
(3-18) ⎨
⎪3AB=0,⎪⎪2-α⎩
2A=
3cβ(γ
2+ε),解方程组(3-18)，可得
B=0,D=
1BA(c+γR1c),A2=-α
6cβ(c+γR1c
), 将(3-19)代入(3-10)式，得到方程组(3-8)的一个首次积分
Y=
-12A⎡⎢⎣X2+2cβA(c2+γR)⎤1⎥⎦
. 两边平方得
2
A2X4Y=4+A21
cβ(c+γR1)X2+c2β
2(c2+γR21). ⎡dF(ξ)⎤
2
利用辅助方程⎢⎣dξ⎥
⎦
=pF4(ξ)+qF2(ξ)+r，通过查表一，知，当 ⎧⎪p=A2
=k2,⎪4⎪⎨q=A(c2
+γR1)=-(1+k2), ⎪cβ⎪⎪⎩
r=122
c2β2(c+γR1)=1,
c2+γR2
时，即A=±2k,β=1c,Rc1=γ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=ns(ξ,k),
⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2cns2
(ξ,k)+ c,当k→1时，解（3-23）变为
8
(3-19) (3-20) 3-21）
3-22） 3-23） （ （ （
⎧v(ξ)=tan(ξ),⎪
R1 （3-24）⎨α2
u(ξ)=tan(ξ)+,⎪2cc⎩
当k→0时，解（3-23）变为
⎧v(ξ)=sin(ξ),⎪
R （3-25）⎨α2
⎪⎩
u(ξ)=2csin(ξ)+1c.当
⎧⎪p=A2
=-1,⎪4⎪⎨q=A(c2
+γR1)=2-k2, ⎪cβ⎪⎪⎩
r=1222
c2β2(c+γR1)=k-1,
2即A=2i,β=
Rc2
1=
γ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=dn(ξ,k),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2
2cdn(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-27）变为
⎧⎪
v(ξ)=sech(ξ),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2csech2
(ξ)+ c, 当
⎧A2
⎪p==1,⎪4⎪⎨
q=A(c2+γR2⎪cβ1)=-(1+k), ⎪⎪⎩
r=1c2β2
(c2+γR1)2=k2,A=±2,β=c2+γR2
即1cck,R1=γ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=ns(ξ,k),
⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2cns2
(ξ,k)+c,3-26）
3-27） 3-28） 3-29） 3-30） 9
（ （ （（（
且当k→1时，解（3-30）变为
⎧v(ξ)=coth(ξ),⎪
R1 (3-31) ⎨α2
u(ξ)=coth(ξ)+,⎪2cc⎩
当k→0时，解（3-30）变为
⎧v(ξ)=csch(ξ),⎪
R （3-32）⎨α2
⎪⎩u(ξ)=2ccsch(ξ)+1c.当
⎧⎪p=A2
=k2-1⎪4⎪⎨q=A(c2
+γR21)=2-k ⎪cβ⎪⎪⎩
r=122
c2β2(c+γR1)=-1
=±β=22
即AcR1=γ，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=nd(ξ,k),
⎨⎪⎩
u(ξ)=α2cnd2
(ξ,k)+R1c, 且当k→1时，解（3-34）变为
⎧⎪
v(ξ)=cosh(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2ccosh2
(ξ)+c. 当
⎧⎪p=A2
=1-k2,⎪4⎪⎨q=A(c2
+γ⎪cβR1)=2-k2, ⎪⎪⎩
r=122
c2β2(c+γR1)=1,
=±β=c2+γR2
即A1cc,R1=γ
，方程（3-1）的解为
10
3-33）
3-34） 3-35） 3-36）
（ （ （ （
⎧v(ξ)=sc(ξ,k),⎪
R1 （3-37）⎨α2
u(ξ)=sc(ξ,k)+,⎪2cc⎩
且当k→1时，解（3-37）变为
⎧v(ξ)=sinh(ξ),⎪
R （3-38）⎨α2
⎪⎩
u(ξ)=2csinh(ξ)+1c,当k→0时，解（3-37）变为
⎧⎪
v(ξ)=tan(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2
2ctan(ξ)+c.当
⎧⎪p=A2
=1,⎪4⎪⎨
q=A(c2+γR1)=2-k2, ⎪cβ⎪⎪⎩
r=1c2β2
(c2+γR1)2=1-k2,2
即A=±2,β=
2R1=
cγ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=cs(ξ,k),⎨⎪⎩
u(ξ)=α2
R1 2ccs(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-41）变为
⎧⎪
v(ξ)=csch(ξ),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2ccsch2
(ξ)+ c,当k→0时，解（3-41）变为
⎧⎪
v(ξ)=cot(ξ),⎨R1 ⎪⎩u(ξ)=α2
2ccot(ξ)+c.当
3-39） 3-40）
3-41） 3-42） 3-43） 11
（ （ （（ （
⎧A2
=k2,⎪p=4⎪⎪A2q=(c+γR1)=-(1+k2), (3-44) ⎨
⎪cβ⎪⎪⎩
r=1c2β2
(c2+γR1)2=1,即A=±2k,β=c2+γR1c,Rc2
1=γ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=cd(ξ,k),
⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2
2ccd(ξ,k)+c,且当k→0时，解（3-45）变为
⎧⎪
v(ξ)=cos(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2ccos2
(ξ)+ c.当
⎧⎪p=A2
=1,⎪4⎪⎨q=A(c2
+γR1)=-(1+k2), ⎪cβ⎪⎪⎩
r=1222c2β2(c+γR1)=k,
即A=±2,β=c2+γR1ck,Rc2
1=γ
，方程（3-1）的解为
⎧⎪
v(ξ)=dc(ξ,k),
⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2cdc2
(ξ,k)+c,且当k→0时，解（3-48）变为
⎧⎪
v(ξ)=sec(ξ),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2csec2
(ξ)+c. 情形二
设m=2，由(3-8)得到
12
3-45）3-46）3-47）3-48）3-49） （ （ （ （ （
a0(X)+a1(X)Y+a2(X)Y2=0, (3-50) 方程(3-50)变
dq∂qdX∂qdY
⎡=+=⎡α(X)+β(X)Y⎤a0(X)+a1(X)Y+a2(X)Y2=0⎤⎣⎦⎣⎦, dξ∂Xdξ∂Ydξ
比较上式左右两边Y的各次幂系数得到：
Y0的系数:
⎡1⎤γRαγ
a1(X)Y'=a0(X)α(X)=a1(X)⎢(c+1)X-(+ε)X3⎥, （3-51）
βc3cβ2⎣⎦
Y1的系数：
a2'(X)=a2(X)β(X), （3-52）
Y2的系数：
a1'(X)=a2(X)α(X)+a1(X)β(X), (3-53)
Y3的系数：
a0'(X)=-2a2(X)Y'+a1(X)α(X)+a0(X)β(X). (3-54)
由方程(3-52)可得出a2(X)必为常数且β(X)=0，不失一般性，取a2(X)=1,
第一种情形：当a1(x)=0；α(x)=0时，取a2(X)=1，β(X)=0，代入到（3-51） （3-52）、（3-53）、（3-54）得
a1'(X)=α(X), （3-55） a0'(X)=-2Y'+a1(X)α(X), （3-56）求得 a0(X)=
-1
β
(c+
γR1
c
)X2+
αγ
(+ε)X4+R2 (R2为常数)，将6cβ2
a0(X);a1(X);a2(X)代入（3-50）得到
γR12-αγ1'24
⎡⎤Y=(+ε)X+(c+)X-R2. （3-57） ⎣⎦6cβ2βc
令p=
γR-αγ1
(+ε),q=(c+1),r=-R2，则当 6cβ2βc
13
-αγ⎧2
p=p=(+ε)=k,⎪6cβ2⎪
γR11⎪
q=(c+)=-(1+k2), （3-58）⎨
⎪
βc⎪⎪r=R2=-1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβk2
,β=-(1+k2)
,R2=-1,方程（3-1）有解为 ⎧⎪
v(ξ)=ns(ξ,k),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2cns2
(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-59）变为
⎧⎪
v(ξ)=tan(ξ),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2ctan2
(ξ)+c,当k→0时，解（3-59）变为
⎧⎪
v(ξ)=sin(ξ),⎨R1 ⎪⎩u(ξ)=α2csin2
(ξ)+c.当
⎧⎪p=p=-α(γ+ε)⎪
6cβ2=-k2,⎪
⎨q=1(cγR1)=2k2-1, ⎪
β+
c⎪⎪r=R2=1-k2,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=6cβk2,β=2k2-1
,R2
=1-k2，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=cn(ξ,k),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2ccn2
(ξ,k)+ c,且当k→1时，解（3-63）变为
14
3-59） 3-60） 3-61） 3-62） 3-63） （（ （ （ （
⎧v(ξ)=sech(ξ),⎪
R1 （3-64）⎨α2
u(ξ)=sech(ξ)+,⎪2cc⎩
当k→0时，解（3-63）变为
⎧v(ξ)=cos(ξ),⎪
R （3-65）⎨α2
⎪⎩u(ξ)=2ccos(ξ)+1c.当
⎧⎪p=p=-α(γ+ε)=-1,⎪
6cβ2⎪
⎨
q=1(c+γR1)=2-k2, ⎪
βc⎪⎪r=R2=k2-1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=6cβ,β=2-k2
,R2
=k2-1，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=dn(ξ,k),
⎨⎪⎩
u(ξ)=α2cdn2
(ξ,k)+R1c, 且当k→1时，解（3-67）变为
⎧⎪
v(ξ)=sech(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2csech2
(ξ)+c. 当
⎧⎪p=p=-α(γ+ε)=1,⎪
6cβ2⎪
⎨q=1(γR1)=-(1+k2), ⎪
βc+
c⎪⎪r=R2=k2,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ,β=-(1+k2)
,R2
=k2，方程（3-1）的解为 3-66） 3-67） 3-68） 3-69） 15
（（（ （
⎧v(ξ)=ns(ξ,k),⎪
R1 （3-70）⎨α2
u(ξ)=ns(ξ,k)+,⎪2cc⎩
且当k→1时，解（3-70）变为
⎧v(ξ)=coth(ξ),⎪
R (3-71) ⎨α2
⎪⎩
u(ξ)=2ccoth(ξ)+1c,当k→0时，解（3-70）变为
⎧⎪
v(ξ)=csch(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2ccsch2
(ξ)+ c.当
⎧⎪p=p=-α(γ+ε)=1-k2,⎪
6cβ2⎪
⎨
q=1(c+γR1)=2k2-1, ⎪
βc⎪r=R2⎪2=-k,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ(1-k2),β=2k2
-1
,R2=-k2，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=nc(ξ,k),⎨⎪α2
R1 ⎩
u(ξ)=2cnc(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-74）变为
⎧⎪
v(ξ)=cosh(ξ),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2ccosh2
(ξ)+ c,当k→0时，解（3-74）变为
⎧⎪
v(ξ)=sech(ξ),⎨R1 ⎪⎩u(ξ)=α2
2csech(ξ)+c.当
16
3-72） 3-73） 3-74） (3-75) 3-76） （ （ （ （
-αγ⎧2
p=p=(+ε)=k-1,⎪6cβ2⎪
γR11⎪
（3-77） q=(c+)=2-k2,⎨
⎪
βc⎪⎪r=R2=-1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ(k2
-1),β=2-k2
,R2=-1，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=nd(ξ,k),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2cnd2
(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-78）变为
⎧⎪
v(ξ)=cosh(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2ccosh2
(ξ)+ c.当
⎧⎪p=p=-αγ⎪
6cβ(2+ε)=1-k2,⎪
⎨q=1(γR1)=2-k2, ⎪
βc+
c⎪⎪r=R2=1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=6cβ(k2
-1),β=2-k2
,R2=1，方程（3-1）的解为⎧⎪
v(ξ)=sc(ξ,k),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2csc2
(ξ,k)+ c,且当k→1时，解（3-81）变为
⎧⎪
v(ξ)=sinh(ξ),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2csinh2
(ξ)+ c,当k→0时，解（3-81）变为
3-78） 3-79） 3-80） 3-81） 3-82） 17
（ （ （ （ （
⎧v(ξ)=tan(ξ),⎪
R1 （3-83）⎨α2
u(ξ)=tan(ξ)+.⎪2cc⎩当
-αγ⎧22p=p=(+ε)=-k(1-k),⎪6cβ2⎪
γR11⎪
（3-84） q=(c+)=2k2-1,⎨
⎪
βc⎪⎪r=R2=1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβk2(k2-1),β=2k2
-1
,R2=1，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=sd(ξ,k),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2csd2
(ξ,k)+ c,且当k→1时，解（3-85）变为
⎧⎪
v(ξ)=sinh(ξ),⎨R1 ⎪⎩
u(ξ)=α2csinh2
(ξ)+ c,当k→0时，解（3-85）变为
⎧⎪
v(ξ)=sin(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2csin2
(ξ)+ c.当
⎧⎪p=p=-αγ⎪
6cβ(2+ε)=1,⎪
⎨q=1(cγR1)=2-k2, ⎪
β+
c⎪r=R2=1-k2⎪,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ,β=2-k2
,R2
=1-k2方程（3-1）的解为 18
3-85） 3-86） 3-87） 3-88） （（ （（
⎧v(ξ)=cs(ξ,k),⎪
R1 （3-89）⎨α2
u(ξ)=cs(ξ,k)+,⎪2cc⎩
且当k→1时，解（3-89）变为
⎧v(ξ)=csch(ξ),⎪
R （3-90）⎨α2
⎪⎩
u(ξ)=2ccsch(ξ)+1c,当k→0时，解（3-89）变为
⎧⎪
v(ξ)=cot(ξ),⎨R1 ⎪⎩u(ξ)=α2
2ccot(ξ)+c.当
⎧⎪p=p=-αγ2⎪
6cβ(2+ε)=k,⎪
⎨
q=1(c+γR1)=-(1+k2), ⎪
βc ⎪⎪r=R2=1,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβk2
,β=-(1+k2)
,R2=1，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=cd(ξ,k),⎨⎪⎩
u(ξ)=α2
R1 2ccd(ξ,k)+c,且当k→0时，解（3-93）变为
⎧⎪
v(ξ)=cos(ξ),⎨R1 ⎪⎩u(ξ)=α2ccos2
(ξ)+ c.
3-91） 3-92） 3-93） 3-94） 19
（ （（ （
当
-αγ⎧
p=p=(+ε)=1,⎪6cβ2⎪
γR11⎪
q=(c+)=2k2-1, （3-95）⎨
⎪
βc⎪⎪r=R2=-k2(1-k2),⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ,β=2k2-1
,R2
=-k2(1-k2)，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=ds(ξ,k),
⎨⎪⎩
u(ξ)=α2
R1 2cds(ξ,k)+c,且当k→1时，解（3-96）变为
⎧⎪
v(ξ)=csch(ξ),⎨⎪R1 ⎩
u(ξ)=α2
2ccsch(ξ)+c,当k→0时，解（3-96）变为
⎧⎪
v(ξ)=csc(ξ),⎨⎪R1 ⎩u(ξ)=α2
2ccsc(ξ)+c.当
⎧⎪p=p=-α(γ+ε)=1,⎪
6cβ2⎪
⎨
q=1(c+γR1)=-(1+k2), ⎪
βc⎪r=R2⎪2=k,⎩
(γ
+δ)
c+γR1即α=-6cβ,β=,R=k2-(1+k2)
2
，方程（3-1）的解为 ⎧⎪
v(ξ)=dc(ξ,k),
⎨⎪α2
R1 ⎩
u(ξ)=2cdc(ξ,k)+c,20
（3-96） 3-101） 3-102） 3-103） 3-104） （ （ （ （
且当k→0时，解（3-104）变为
⎧v(ξ)=sec(ξ),⎪
R1 （3-105）⎨α2
u(ξ)=sec(ξ)+.⎪2cc⎩
第二种情况，取a2(X)=1，β(X)=0，代入到（3-51）（3-53）（3-54）化简
a1'(X)Y'=a0(X)α(X). （3-106） a1'(X)=α(X). （3-107） a0'(X)=-2Y'+a1(X)α(X). （3-108）
平衡a0(X);a1(X);α(X)的系数可得∂[α(X)]=0;或∂[α(X)]=1；因为如果
∂[α(X)]=m>1,由(3-51)推出∂[α1(X)]=m+1,由(3-52)推出∂⎡⎣α0(X)⎤⎦=2m+2,从（3-50）知两边的次数项系数是m+4=3m+2得到m=1与m>1矛盾．
当∂[α(X)]=1时∂[a1(X)]=2，不妨设
α(X)=AX+B;a1(X)=
1
AX2+BX+C，代入到（3-107）可得到 2
⎡1⎤αγ1
a0(X)=⎢A2+(+ε)⎥X4+ABX3
6cβ22⎣8⎦⎡1γR⎤11
+⎢B2+AC-(c+1)⎥X2+BCX+D,
2βc⎦⎣2
（3-109）
其中B;C;D为常数，将a0(X);a1(X)代入到（3-105）化简并取Xi(i=0,1,2,3，4)的系数为零得到
12αγ
A+(+ε)=0,83cβ252αBγAB+(+ε)=0,82cβ2
γRA+4αCγ
B2A+AC-(c+1)+(+ε),
（3-110） 2βc3cβ2
γR1332A
B+ABC-(c+1)=0,22βc
γRC
AD+B2C-(c+1)=0,
βc
BD=0,
21
解得A=-4;B=0;C=0;D=0;c=
1
-α(γ+2ε)
，因此可知
12β
a0(X)=X4-
β
(c+
γR1
c
)X2;a1(x)=-2X. （3-111）
代入（3-50）得
Y=X2, (3-112)
将（3-111）两边平方得
Y2=X4±3+
2
1
β
(c+
γR1
c
)X2. (3-113)
⎛dz⎫234
=az(ξ)+bz(ξ)+cz(ξ)，当a,b,c有满足辅助方程 ⎪
⎝dξ⎭
∆=b2-4ac,ω=±1时，表三就是这个方程的解．
由（3-113
）可知令c=1;b=±a=
1
β
(c+
γR1
c
)由此知
∆=0,c=1,ω=±1因此查表三可知，当∆=0,a>0时，方程（3-1）的解为
⎧⎪
⎪v(ξ)=+ω⎪⎨
γR11⎪
α(c+)⎪βc
(1+ω⎪u(ξ)=±
8c⎩
⎧⎪
⎪v(ξ)=+ω⎪⎨
γR11⎪
α(c+)⎪βc
(1+ω⎪u(ξ)=±
8c⎩
当只需要a>0时，即为
1
)),
（3-114
）
))2+
R1
,c
)),
（3-115）
))2+
R1.c
β
(c+
γR1
c
)>0，即β
γR1
c
时，方程（3-1）的解
22
⎧⎪
⎪⎪v(ξ)=⎪
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎪γR1
⎪α(c+1)3sech4)
R1βc⎪u(ξ)=+.2⎪c⎡⎤⎪⎥⎢
⎪γR3
2c⎢3(c+1)3+2ω)+tanh2)⎥⎪⎢β⎥c⎪⎢⎥
⎪⎣⎦⎩
（3-116）
⎧⎪
⎪⎪⎪v(ξ)=
⎪⎪⎪⎪
⎪
⎨
⎪γR131
⎪α3(c+)coth4)
R1βc⎪u(ξ)=+,2⎪c⎡⎤⎪⎥⎢
⎪2⎢3(c+γR1)3+2ω2c)+coth)⎥⎪3
⎢β⎥c⎪⎢⎥
⎪⎣⎦⎩
（3-117）
⎧γR11
⎪
4(c+)e
βc⎪v(ξ)=,2⎪⎛γR
1⎪ e
-
4(c+1)⎪ βc⎝⎪
⎪2 （3-118） ⎨⎡⎤⎪⎢⎥γR11⎪4(c+)e⎢⎥
α⎢⎪βc⎥-
R1.u(ξ)=2⎪⎥2c⎢⎛
c⎪γR1⎢ e-4(c+1)⎥⎪⎢ βc⎥⎪⎝⎣⎦⎩
γR
当a>0,c>0时，即c=1,β
c
⎧⎪
γR1⎪-(c+1)sech2
)
⎪⎪v(ξ)=
⎪⎪⎪⎪
⎨2
⎡⎤⎪
⎢⎥⎪γR1⎢⎥⎪-(c+1)sech
2)
⎥R1⎪u(ξ)=α⎢
+,⎪2cc⎪⎪
⎪⎩
（3-119）
⎧⎪
γR1⎪(c+1)csch2)
⎪v(ξ)=⎪
⎪⎪⎪⎪
⎨2
⎡⎤⎪
⎢⎥⎪γR1⎢⎥⎪-(c+1)csch2)
⎥R1⎪u(ξ)=α⎢
+.⎪2cc⎪⎪⎪⎩
（3-120）
4. 总结与展望
本文利用首次积分法求得Drinfel’d-Sokolov-Wilson方程的精确行波解，从开题到完成整个过程并非一帆风顺，虽然许多常见的非线性波动方程均可用这种方法处理.但是大部分是很难得到首次积分，而且同一个方程可能得到的首次积分会不一样，也就是不唯一，但是如果得到了首次积分，运用首次积分方法可以方便、快捷地求出某些非线性演化方程的精确孤波解，与传统方法较之主要的优势是避免了大量复杂和繁琐的计算，提供精确和简单行波解的表达式．因此首次积分法在解决某些非线性方程的复杂孤波解时是一种有效并且有着巨大潜力的方法．
本文的研究只是初步很浅的得到一些精确解，只研究了m=1和m=2两种情况，当m=3时情况就会更加复杂，首次积分的形式可能会更多，得到的精确解应该会更多，但是由于本人的实力有限，很难得到m=3的首次积分，实在很遗憾，这要是首次积分的不足之处，也许在不久的将来，会有人在这一方面做出突破，得到更好的结果．
对于本文的工作，作者提出以下三方面的后续研究：
第一：能否系统的归纳出那些方程可以运用首次积分法求解会简单方便． 第二：关于首次积分法能否结合其他的一些辅助方程方法得到更为精确的解．
第三：当m比较大是能否有所突破使得计算推演更为简便快捷．
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附录
⎡dF(ξ)⎤42
=pF(ξ)+qF(ξ)+r解，
表一：辅助方程的⎢⎥
⎣dξ⎦
2
表二：椭圆函数与双曲函数、三角函数的关系
表三：辅助方程(X'(ξ))=AX2(ξ)+BX(ξ)+CX(ξ)的解，其中∆=B2-4AC.
3
4
2
致谢
首先，感谢我的母校红河学院这四年来对我的栽培，特别感谢数学学院为我提供了良好的学习环境和指导教育，还要感谢各位领导、老师们对我的关怀和指导，使得我在这四年中学到了很多宝贵的知识和进入社会前的指导.
本次毕业论文设计从论文的选题到设计的完成都是在何斌老师的悉心教导下完成的。在整个过程中何老师给予了我耐心指导，纠正我的不良习惯和作风，让我在制作毕业论文的过程中深深的体会到科研过程的不易，改变了我生活中懒散，随意的做事风格，俗话说见贤思齐，何老师的生活作风和治学态度表示崇高的敬意，严格律己，质朴淡泊，求真务实，这些高贵的品质将会影响我一生。
感谢我的父母，谢谢您们对我学业的支持，谢谢您们对我的关爱和教育，因为您们，才会有今天的我，无论未来怎样，由衷的感谢您们，我才能顺利的完成学业。
感谢数学学院的全体老师，谢谢你们传授给我知识，特别的感谢易老师对我生活上、思想上、学习上的的帮助。谢谢您们，可爱的老师。
还要感谢我的同学们，没有您们的帮助和支持，我的学习和生活都会一团糟，在此由衷的谢谢您们。