高数第八章 多元函数 复习题答案
第八章 一、单项选择题:
多元函数微分学 复习题答案
A )
1、以下各式中不正确的有(
1+x 2+y 2y
=0A 、lim B 、lim =1 22x →∞22x →0x +y x +y y →∞y →1
C 、lim
x →1
y →0
ln(x +e y ) x 2+y 2
=ln 2 D 、lim
xy
不存在
x →0x 2+y 2y →0
2、设z =e
sin x
∂2z
= ( cos y ,则
π∂y ∂x 02
B )
A 、0 B 、-1 C 、1 D 、e
22
3、设函数z =ln +x +y ,则它在点(1, 1) 处的全微分dz = ( A )
A 、(dx +dy ) B 、dx +dy C 、3(dx +dy ) D 、2(dx +dy )
13
4、f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处具有连续偏导数是f (x , y ) 在点(x 0, y 0) 处可微的( B ) A. 必要条件 B. 充分条件 C. 充要条件 D. 无关条件
∂z xy
=( D ) 5、函数z =xe ,则∂x
xy xy
A.xye B.x e C.e D.(1+xy )e
2
xy
xy
6、函数z =xy 在(0,0)处( D )
A.(0, 0)不是驻点 B.有极小值 C. 有极大值 D. 无极值
7. 函数z =f [x , y ]∂z ∂z
, 在点[x , y ]连续, 是函数在该点可微的(∂x ∂y
B ) ;
A . 必要条件; B . 充分条件; C .. 充要条件; D . 无关条件.
二、填空题:
sin xy 2
1、lim = ; 2(x , y ) →(2,0)y
∂z 2、设z =y +e ,则
∂y
x 2
xy
2
1+e = ;
(1,2)
3、函数
z =
1-x -y
2
2
+ln(x 2+y 2-1)
的定义域是
{(x , y ) |1
4、函数z =x 2y 2在点(2, -1) 处当∆x =0. 02, ∆y =-0. 01时的全微分,dz =6 5
、
函
数
z =
4x -y 2
ln -x -y
2
2
的连续区域为
2y
{(x , y ) |x 2+y 2
4
6、设z =z (x , y )是由方程x =ln
∂z z
= ; 确定的隐函数,则∂x y
⎧xy 22
, x +y ≠0⎪22
7、函数f (x , y ) =⎨x +y 在点(0,0)处 不连续 ;
⎪0, x 2+y 2=0⎩
(填写“连续”或“不连续”)
8、若函数z =f (x , y ) 可微,y =x 2, 则函数z =f (x , x 2) 的全导数
dz
=dx
f +2xf
' x '
y
z =1,1)处的全微分dz =1
(dx +dy ) 3
1x
10、设z =ln(1+) ,则dz =(dx -dy ) ;
2y (1, 1)
⎛1⎫x +y 11、lim 1+⎪
x →∞x ⎝⎭y →0
12. 各偏导数的存在只是全微分存在的
x 2
必要
——————
条件而不是充分
——————
条件;
三、计算题:
1、设z =u v , u =3x 2+y 2, v =4x +2y , 求
∂z ∂z , 。 ∂x ∂y
解:
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=vu v -1⋅6x +u v ln u ⋅4∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
6x (4x +2y ) 22
=(3x 2+y 2) 4x +2y [+4ln(3x +y )]22
3x +y
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=vu v -1⋅2y +u v ln u ⋅2 ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y
2y (4x +2y ) 22
=(3x 2+y 2) 4x +2y [+2ln(3x +y )]22
3x +y
x 2∂2z
2、设z =tan , 求;
y ∂x ∂y
22
∂z 2x 2x 2x 2x 解:=sec ⋅=sec ∂x y y y y
2∂2z 2x 2x x 2x 2x 22x 2x ∴=-2sec +⋅2⋅sec ⋅sec tan (-2)] ∂x ∂y y y y y y y y
2
2x 4x x 22x =-2sec (1+tan )
y y y y
xe y ∂z ∂z ∂2z
3、设z =2,求. , ,
y ∂x ∂y ∂x ∂y
∂z e y
解:=2
∂x y ,
∂z xe y ⋅y 2-2y ⋅xe y xe y , ==3(y -2) 4
∂y y y
y
y
2
y
y
∂z ∂e e ⋅y -2y ⋅e e =(2) ==(y -2) 43
∂x ∂y ∂y y y y
∂z ∂z
,. ∂x ∂y
,
4、已知z =u 2v -uv 2, u =x cos y , v =x sin y ,求
解:
∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=(2uv -v 2) cos y +(u 2-2uv ) sin y ∂x ∂u ∂x ∂v ∂x
=(sin2y -sin 2y ) x 2cos y +(cos2y -sin 2y ) x 2sin y ∂z ∂z ∂u ∂z ∂v =⋅+⋅=(2uv -v 2)(-x sin y ) +(u 2-2uv ) x cos y ∂y ∂u ∂y ∂v ∂y =-(sin2y -sin 2y ) x 3sin y +(cos2y -sin 2y ) x 3cos y =x 3[(cos2y -sin 2y ) cos y -(sin2y -sin 2y ) sin y ]
x -y ∂2z 5、设z =,求;
x +y ∂x ∂y
∂z (x +y ) -(x -y ) 2y 解:==2
∂x (x +y ) (x +y ) 2
,
∂2z 2(x +y ) 2-2(x +y ) ⋅2y 2(x 2-y 2) 2(x -y ) ===44
∂x ∂y (x +y ) (x +y ) (x +y ) 3
xy 1
6、设z =⎰
∂z ∂z ∂2z
; e dt ,求,,
∂x ∂y ∂x ∂y
t 2
xy 2∂z t ' (xy ) 2' x 2y 2
解:=(⎰e dt ) x =e ⋅(xy ) x =ye ∂x 1
xy 2∂z t ' (xy ) 2' x 2y 2
; =(⎰e dt ) y =e ⋅(xy ) y =xe
1∂y
∂2z x 2y 2x 2y 22x 2y 2
=e +ye ⋅2x y =e (1+2x 2y 2) ∂x ∂y
7、设方程xyz -xz -yz =1确定函数z =f (x , y ) ,求
∂z ∂z ,; ∂x ∂y
解:设F (x , y , z ) =xyz -xz -yz -1
F x =yz -z F y =xz -z F z =xy -x -y F x ∂z yz -z z (1-y )
∴=-=-=, ∂x Fz xy -x -y xy -x -y
F y ∂z xz -z z (1-x ) =-=-=. ∂y F z xy -x -y xy -x -y
8、设f (x , y ) =(x +y ) e
22
-arctan
y x
∂2f ,求;
∂x ∂y
y -2y y y
---∂f x x x
解:=2xe +(x 2+y 2) e ⋅[-]=e (2x +y )
y ∂x
1+() 2
x 1
y y y ---∂2f x (2x +y ) x x x
∴=e +(2x +y ) e ⋅[-]=e [1-22]
y ∂x ∂y x +y 1+() 2x
y
y 2-x 2-xy -x =22e
x +y
9、设方程x 3+y 3+z 3+xyz -6=0确定函数z =z (x , y ) ,求在点(1,2) 处的偏导数
∂z ∂z , ; ∂x ∂y
解:设F (x , y , z ) =x 3+y 3+z 3+xyz -6F x =3x 2+yz
F y =3y 2+xz
F z =3z 2+xy
F x ∂z 3x 2+yz ∂z 3-21
∴=-=-2则|x =1, y =2, z =-1=-=- ∂x Fz ∂x 553z +xy
F y ∂z 3y 2+xz ∂z 12-111=-=-2则|x =1, y =2, z =-1=-=-∂y F z ∂y 553z +xy
10、设由方程sin(x -2y +3z ) =x -2y -3z 确定的函数z =z (x , y ) ,求
∂z ∂z
, ; ∂x ∂y
解:设F (x , y , z ) =sin(x -2y +3z ) -x +2y +3z
F x =cos (x -2y +3z ) -1F y =cos (x -2y +3z )(-2) +2F z =cos (x -2y +3z ) ⋅3+3
F x ∂z cos(x -2y +3z ) -11-cos(x -2y +3z )
∴=-=-=∂x Fz 3cos(x -2y +3z ) +33cos(x -2y +3z ) +3
F y ∂z -2cos(x -2y +3z ) +22cos(x -2y +3z ) -2=-=-=∂y F z 3cos(x -2y +3z ) +33cos(x -2y +3z ) +3
11、求由方程xy +sin z +y -2z =0确定的函数z =z (x , y ) 的全微分dz .
.
解:设F (x , y , z ) =xy +sin z +y -2z F x =y F y =x +1
F z =cos z -2
F y F x ∂z y y ∂z x +1x +1
∴=-=-=, =-=-=∂x Fz cos z -22-cos z ∂y F z cos z -22-cos z ∂z ∂z y x +1则dZ =. dx +dy =dx +dy
∂x ∂y 2-cos z 2-cos z
12、设ln
x 2+y 2=arctan
y dy
,求. x dx
解:方程两边分别对x 求导:
y ' ⋅x -y
21y 12x +2y ⋅y ' x +yy ' xy ' -y 22ln(x +y ) =⇒⋅22=⇒22=22, y 22x 2x +y x +y x +y 1+()
x
x +y
即x +yy ' =xy ' -y , 经整理得:y ' =
x -y
四、证明题:
1. 设z =f (x 2+y 2), f 可微,求证:y
∂z ∂z
-x =0 ∂x ∂y
证明:
∂z ∂z
=f ' ⋅2x =2xf ' =f ' ⋅2y =2yf ' ∂x ∂y
∂z ∂z
∴左式=y ⋅-x ⋅=2xyf -2xyf ' =0=右式,证毕。
∂x ∂y
y 1∂z 1∂z z
其中可导,求证: f (u ) , +=
f (x 2-y 2) x ∂x y ∂y y 2
2. 设z =
证明: z =yf -1(x 2-y 2)
∂z 2xyf ' ∴=-yf -2⋅f ' ⋅2x =-2
∂x f
f +2y 2f '
-yf ⋅f ' ⋅(-2y ) =
f 2
1∂z 1∂z 2yf ' 12yf ' 11z
则左式=⋅+⋅=-2++2===2=右式,证毕。
y y x ∂x y ∂y yf yf f f
y ⋅z
∂z =f ∂y
-1
-2