26.1 二次函数(3)-
26.1二次函数
第3课时
教学目标 1.知识与技能
会作函数y=ax 2和y=ax2+c 的图象,并能比较它们的异同;理解a ,c 对二次函数图象的影响.能正确说出两函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标.了解抛物线y=ax2上下平移规律.
2.过程与方法
经历探索二次函数y=ax 2+c 的图象的画法和性质的过程,增强对二次函数图象的理解,体会数形结合的思想与方法..
3.情感、态度与价值观
进一步获得将表格、表达式、图象三者联系起来的经验,体会知识的转化、图象移动的理会,感受到数学数形之间转换的魅力.
教学重点难点 1.重点
作出函数y=ax 2和y=ax2+c 的图象,比较它们的异同,了解它们的性质. 2.难点
函数y=ax2+c 的图象与性质的理解,掌握抛物线的上下平移规律. 教与学互动设计
(一)创设情境 导入新课
导语一 回忆二次函数y=ax2的图象与性质.从而导人探求函数y=ax 2+c 的图象 导语二 一个长方形的长为x (cm) ,宽为
1
x (cm) ,则这个长方形的面积s(cm 2)与2
它的长x (cm)的关系如何?你能作出它的函数图象吗?这个图象与y=ax 2的图象有哪些区别?
【答案】y=
12
x (x>0)它的图象只是抛物线的一部分,而y=x 2的图象是一条抛物线. 2
导语三 比较函数y =x2与y=x2+l 中的系数有什么异同?猜想它们的图象有何关系?从而引人新课.
(二)合作交流 解读探究 1.二次函数y=ax 2+c的图象与性质
【做一做】在同一坐标系中,画出函数y=x 2-1和函数y=x 2+1的图象. 教师在学生做完以后,可提供如下解答过程. 解:先列表
然后描点画图,如图26-1-5
【想一想】抛物线y =x2+1,y=x2, y=x2-1有哪些相同点和不同点
相同点:①开口方向相同,它们的开口都向上 ②对称轴相同,它们都关于y 轴对称 ③形状大小相同.
不同点:顶点的位置不同,抛物线的位置也不同结合
【议一议】三个函数的形状相同,从哪些方向可以看出?
①用幻灯片展示,将抛物线y=x2向上平移1个单位后抛物线y=x2+1完全重合. ②观察两个图象中各5个点的特殊位置,在①的展示上可以看出这5个点可以通过平移重合情况,从而可推断出抛物线y=x2与y=x2+1完全重合
③从解析式和表格中数据也可以看出以上平移情况,从而可以肯定抛物线y=x2,y=x2+1的形状、大小完全相同.
【议一议】抛物线y=ax2与y=ax2±c 有何联系?
【答案】①抛物线y=ax 2±c 的形状与y=ax2的形状完全相同,只是位置不同.
向上平移向下平移222
②抛物线y=ax2−−−−y=ax+c. y=axy=ax-c →−−−−→c 个单位c 个单位
【练一练】教科书P10练习 【答案】①它们的图象略 ②见下表
22
③抛物线y=x 向上平移k(k>0)个单位后抛物线y=x +k完全重合.
22
(三)应用迁移 巩固提高
类型之一 函数y=ax2+c的图象特征与性质的运用
例1 抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状大小,开口方向都相同,且顶点坐标是(0,3),则其表达式为 y=-5x2+3 ,它是由抛物线y=-5x2向 上 平移 3 个单位得到的.
【分析】根据两抛物线的形状大小相同,开口方向相同,可确定a 的值,再根据顶点坐标(0,3),可确定c 的值,从而可判断平移方向.
解:抛物线y=ax 2+c 与y=-5x 2的形状、大小相同,开口方向也相同,∴a=-5. 又∵其顶点坐标为(0,3). ∴c=3.
∴y=-5x 2+3.它是由抛物线y=5x 2向上平移3个单位得到的.
【点评】①解这类题,必须根据二次函数y=ax 2+c 的图象与性质来解.a 确定抛物线的形式及开口方向,c 确定顶点的位置.
②抛物线平移多少个单位,主要看两顶点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位. (有时也可以比较两抛物线上横坐标相同的两点相隔的距离,从而确定平移的方向与单位长)
类型之二 求二次函数的解析式
例2 若抛物线y=ax 2+c 经过点(-1,2),(0,4),求该抛物线的解析式 【分析】抛物线经过点(-1,2),(0,4),那么这两点坐标满足函数关系式,故列方程组可求.
2
⎧⎧a =6⎪a (-1) +c =22
解:由已知条件得⎨,解得 ∴所求解析式为y=6x -4. ⎨2
c =-4⎪⎩⎩a 0+c =-4
【点评】二次函数y=ax 2+c 中有两个待定系数a 、c ,故通常需至两足对应值或图象上的两个点的坐标,列方程组可求出a 、c 的值
例3 已知抛物线y=ax 2+c向下平移2个单位后,所得抛物线为y=-3x 2+2. 试求a 、c 的值
【分析】这里a 、c 值可利用抛物线的特征和平移规律来求出. 解:根据题意知,⎨
⎧a =-3⎧a =-3
,解得⎨,
⎩c =4⎩c -2=2
【点评】可根据规律直接求出a 、c. (四)总结反思 拓展升华
【总结】本节所学知识是函数y =ax2物线y=ax 2上下平移规律.
所学的思想方法图象法、数形结合的思想.
【反思】若将抛物线y=2x 2+3绕其顶点旋转180,所得抛物
线的解析式为y=-2x 2【拓展】若抛物线y=ax 2+c与y=-2x2+5关于x 轴对称. 求a 、c 的值.
【答案】a=2,c= -5.草图如26-1-6
【点评】此类题通常画出草图,利用对称关系求出顶点坐标. 进而求出a 、c 的值 (五)当堂检测反馈
1. 抛物线y=-2x2-5的开口方向 向下 ,对称轴是 y 轴 ,顶点坐标 (0,-5).
图26-1-6
【分析】根据抛物线y =ax2+c 的特征解答即可.
2. 抛物线y =ax2+c与y=3x2的形状相同,且其顶点坐标为(0,1),则其表达式 为 y=3x2+1或y=-3x2+1.
解:∵抛物线y=ax 2+c 与y=3x 2的形状相同,故a=±3, 又∵其顶点坐标为(0,1),∴c=1. ∴所求抛物线y=3x2+1或y=-3x 2+1
【注意】两抛物线的形状相同时,它们的二次项系数的绝对值相等,故有两种情况 3. 抛物线y=-
121
x +7向 下 平移 10 个单位后得到抛物线y=-x 2-3 22
121
x +2与y=2x2+ 22
4. 下列各组抛物线中能够互相平移而彼此得到对方的是( D ) A.y=2x 2与y=3x2 B. y=
C.y=2x2与y=x 2+2 D.y=x 2+2与y=-x2-2, 【分析】根据a 的值相同判断即可
5.在同一直角坐标系中,一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+c的图象大致为( )
A
B D
解:根据图象知,只有B 中两个函数解析式中系数
a 和c 的正、负情况保持一致. 故选择B
6.若抛物线y =ax2+c 经过点
A(-3,2),B(0,1).求该抛物线的解析式
1⎧2
⎧⎪2=(-3) a +c ⎪a =
解:由已知得⎨,解得⎨3. 2
⎪⎩-1=0 a +c ⎪⎩c =-1
∴所求抛物线的解析式为y=
12
x -1. 3