潮流雅可比矩阵的对称性指标
第32卷 第24期2008年12月25
日Vol.32 No.24Dec.25,
2008
潮流雅可比矩阵的对称性指标
徐志友1,刘瑞叶2,张启平3,李仁俊4
(1.天津大学电力系统仿真控制教育部重点实验室,天津市300072;2.哈尔滨工业大学电气工程及自动化学院,黑龙江省哈尔滨市150001;
3.华东电网有限公司,上海市200002;4.山东大学电气工程学院,山东省济南市250061)
摘要:针对潮流雅可比矩阵的对称性问题,根据零对角元素实矩阵与其对称及反对称矩阵奇异值之间的关系构造实矩阵的对称指标。指标间的比较不仅包括22范数(最大奇异值)和F2范数的比较,同时也包括奇异值加权和的比较。这些指标同样适用于复矩阵。IEEE30系统算例表明了其有效性。
关键词:潮流雅可比矩阵;对称性;对称阵;反对称阵;奇异值中图分类号:TM711
0 引言
比矩阵的对称性问题。认为潮流雅可比矩阵是准对称的[1],特别是当线路电阻为0时,潮流雅可比矩阵是完全对称的[2],不考虑有功功率变化得到的降阶雅可比矩阵是准对称的[3]或可认为是对称的[4],若忽略线路电阻,则降阶雅可比矩阵是对称的[5],但这些文献都没有给出衡量潮流雅可比矩阵对称程度的量化指标。虽然文献[3]根据矩阵的最大奇异值和最大特征值衡量矩阵的对称程度,但事实上这是衡量矩阵的正规程度。文献[6]也给出了一些指标,从实对称矩阵属于实正规矩阵的逆反命题的角度量化潮流雅可比矩阵的对称程度,且用来衡量实矩阵不对称程度的指标比较粗糙,并没有从根本上解决这一问题。文献[7]中提到潮流雅可比矩阵在临界点的对称性越好,所提出的算法精度就越高。若潮流雅可比矩阵的对称程度较高,将潮流雅可比矩阵由其相应的对称部分近似代替,则有关计算就比较简单。鉴于潮流雅可比矩阵对称性在静态电压稳定分析中的重要性并且影响到某些算法的精度,本文根据实对称阵的特征构造对称性指标,从而解决了潮流雅可比矩阵对称性的量化问题。潮流雅可比矩阵的最小奇异值通常用来衡量系统的静态电压稳定程度[829],本文采用奇异值衡量潮流雅可比矩阵的对称程度。
,是严格下三角矩阵,U是严格上三角矩阵。若
T
矩阵J对称,则L-UT=0,当L≠U时,可用L-T
U接近零矩阵的程度衡量矩阵J的对称性。显然
T
L-U的对角元素为0。就矩阵对称性而言,是对角线两侧元素的比较问题,所以应把对角元素的影响排除,即应在对角元素清零的基础上讨论矩阵本身的对称性,因此讨论矩阵J的对称性时可用矩阵J-diagJ代替矩阵J。以下零对角元素的矩阵称为零心矩阵。为表示简单,零心矩阵仍用矩阵J表示。
定义实矩阵J=JS+JAS[10],其中对称矩阵JS=(J+JT)/2,反对称矩阵JAS=(J-JT)/2。矩阵J是对称矩阵时,有J=JT=JS和JAS=0同时成立。
若潮流雅可比矩阵的对称程度较高,将J由其JS近似代替,则能简化有关计算。下面证明若线路|G|ν|B|,则零心潮流雅可比矩阵可近似地由其对称部分代替。
设节点i的功率方程如下:
n
Pi=ViGii+Vi
2
2
j≠i
V∑
n
j
(Gijcosδij+Bijsinδij)(Gijsinδij-Bijcosδij
)
(1)
Qi=-ViBii+Vi
j≠i
V∑
j
1 实对称阵与实反对称阵
设实矩阵的J=L+D+U[10],其中D是对角矩
收稿日期:2008204214;修回日期:2008209203。
式中:Pi和Qi分别为节点i的注入有功和无功功
率;Vi和Vj分别为节点i与节点j的电压幅值;Gii和Bii分别为节点的自电导和自电纳;Gij和Bij分别为节点i与节点j的互电导和互电纳;δij为节点i和节点j的电压相角差。
将零心潮流雅可比矩阵J分解为实对称阵JS
与实反对称阵JAS之和:
—21
—
2008,32(24)
J=
H
K
NL
=JS+JAS
T
(2)
式中:
JS
=2
H+HK+N
N+KL+L
TT
(3)
当i≠j时,JS元素如下:
2
=-ViVjBijcosδij=ViVjBijsinδij
(4)
=-ViVjBijsinδij=-ViVjBijcosδij
2
σ可知ΠJ‖i(J)=0,即‖F=0与J=0等价,进而
[12]
22范数‖J‖。因此,可2=σmax=0与J=0等价
用矩阵的奇异值衡量一个矩阵接近零矩阵的程度。
JAS越接近零矩阵,说明矩阵J的对称性越好。下面首先从JAS接近零矩阵条件的角度建立对称性指标,衡量矩阵J的对称性。2.1 建立对称性指标的依据
设JAS的奇异值对角矩阵为Σ=diag(σ1(JAS),σσ2(JAS),…,n(JAS))。
n
条件1:若JAS≠0,则σi(JAS)的权重为wi=:
n
n
2
i=1
σ(J∑
i
AS
)>0。设
σi=,则σi(JAS)的加)
2
Bij影响矩阵JS的4个子矩阵的非对角元素。
就实反对称阵JAS而言,
JAS=
H--T
--)
()=
i=1
wσ(J
ii
AS
)=
‖JAS‖ni=1
2
(8)
当i≠j时σ(J∑
i
AS
)
2
=ViVjGijsinδij=ViVjGijcosδij
(6)
=-ViVjGijcosδij=ViVjGijsinδij
2
2
2
因而,Gij影响矩阵JAS的4个子矩阵的非对角
元素。
综上,实对称阵JS只与节点的互电纳有关,而实反对称阵JAS只与节点的互电导有关。
对高压输电网,由于|Gij|ν|Bij|,对比矩阵JS
和JAS的各元素可知,i≠j时,|(JS)ij|µ|(JAS)ij|,可认为矩阵JS是零心潮流雅可比矩阵J的主项,因此矩阵JAS与矩阵JS相比,其作用可忽略不计,从而证明了零心潮流雅可比矩阵J是准对称阵,且可由实对称阵JS近似代替。若ΠGij=0,即导纳阵的实部等于0时,矩阵JAS是零阵,潮流雅可比矩阵是对称的[2]。
2 实矩阵的对称性指标
ΣVT[11],其矩阵J的奇异值分解形式为J=W
中,Σ是奇异值对角矩阵,W与V分别是左、右奇异向量矩阵。Σ=diag(σ1(J),σ2(J),…,σn(J)),σσ0,由矩阵的F2范数max=σ1(J)≥…≥n(J)=σmin≥
[11]
定义‖J‖得:F
n
n
n
‖J‖=
—22
—
2
F
i=1j=1
∑∑|
Jij|
2
=
i=1
σ∑
i
2
(7)
若JAS≠0,由式(8)可知,M(σ(JAS))恒不为0,
当JAS趋于零矩阵时,M(σ(JAS))也趋于0,反之亦然。即可用M(σ(JAS))表示JAS接近零矩阵的程度,因此JAS≈0的充要条件为:M(σ(JAS))≈0,当JAS=0时,补充定义M(σ(JAS))=0。
σ条件2:若maxσi(JAS)=0,即Πi(JAS)=0,则
根据式(7)可知,JAS=0,反之亦然。即‖JAS‖2=0是JAS=0的充要条件。
条件3:若‖JAS‖F=0,由式(7)可知,JAS=0,反之亦然。即‖JAS‖F=0是JAS=0的充要条件。
条件4:由JAS=0可知σi(J)=σi(JS),反之,由σi(J)=σi(JS)可知‖J‖F=‖JS‖F,另由
222[11]
‖JS‖JAS‖J‖可推得‖JAS‖F=F+‖F=‖F
0,进而JAS=0,即JAS=0与σi(J)=σi(JS)等价。当JAS=0时,补充定义M(σi(J)-σi(JS))=0。类似于条件1,JAS≈0的充要条件为:M
(σi(
J)-σi(JS))≈0。
根据反对称阵JAS的上述4个条件建立的指标越接近0说明JAS越接近零矩阵,进而说明J的对称性越好。参考上述4个条件,也可以从对称阵JS的角度对应地推导出条件5～条件8,建立类似的指标证明J的对称性。相关指标越接近1说明J的对称性越好。2.2 对称性指标
根据条件1～条件8建立8个指标I1～I8用于评估矩阵J的对称性,如表1所示。
I7和I8的分子表示2个矩阵的奇异值已按大小排序并对应相减。若矩阵JS是正定矩阵,λ(JS)
・学术研究・ 徐志友,等 潮流雅可比矩阵的对称性指标
为其特征值,则λ(JS)>0[11]。由|λ(JS)|=σ(JS)[11]
σ(J)[13],可知σ和λ(JS)≤0。因而i(J)-σi(JS)≥
I7与I8非负。
表1 对称性指标Table1 Symmetryindices
指标
I1I2I3I4I5I6I7I8
F2范数表示的I3与I1变化趋势一致,这表明用F2
范数表示指标具有一定的优势。I2,I3,I9,I10的曲
线对比如图2所示。
定义
(J))M(σ
取值范围
)[0,1+ε[0,1][0,1])[0,1+ε[0,1][0,1][0)[0,1+ε
依据条件1条件2条件3条件5条件6条件7条件4条件8
‖J‖2‖J‖F
(J))M(σ
‖J‖2‖J‖J‖F
(()J)()MJ)
注:ε是一个很小的正数。
I1～I3和I8是与反对称矩阵JAS相关的,I4～I7是与对称矩阵JS相关的。对于对称矩阵,I1～I3
和I7都等于0,I4～I6和I8都等于1,对于反对称
矩阵,I1～I3和I7都等于1,I4～I6和I8都等于0。
文献[6]也提到上述I2和I5,但本文采用了零心矩阵J。
3 仿真结果
以IEEE30系统[10]为例,假设全系统负荷以同一比例因子k增长,kmax=1.86。图1列出了雅可比矩阵对称性指标I1～I8随负荷增长的变化曲线。
从图1可以看出,I1～I3对应地小于I4～I6,并且I7远小于I8,这说明潮流雅可比矩阵的对称程度较高,这与前述证明的结论一致,其原因在于高压输电网具有XµR的特点。
222[11]
由‖JS‖,可知F+‖JAS‖F=‖J‖F
‖JS‖‖JAS‖FF
≤1,≤1,且二者变化趋势相反,如
‖J‖‖J‖FF
图1中I3和I6曲线所示,从这个角度讲,I3和I6优于其他指标。由‖J‖≤‖JS‖+‖JAS‖,得+≥1,与图1一致。
‖J‖‖J‖FF
这里定义2个指标,I9=1-I5,I10=1-I
6。对比I2与I9,以及I3与I10可见,虽然都满足有界性
[11]
公式0≤|‖J‖
-‖JS‖|≤‖JAS‖,但只有用
图1 I1～I8随负荷因子k的变化曲线
Fig.1 CurvesofkversusindicesI1～I8
图2 I2,I3,I9,I10的曲线比较
Fig.2 ComparisionofcurvesofindicesI2,I3,I9,I10
—23—
2008,32(24
)
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IEEE30系统算例表明,用实矩阵的奇异值建立的衡量潮流雅可比矩阵的对称性指标是可行的,其中F2范数作为对称性的衡量指标效果最优。
需要补充说明的是,当复矩阵对角元素为实数时,将转置符号换成共轭转置符号,以上指标同样可衡量复矩阵的Hermite性质。
参考文献
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),女,博士,教授,主要研究方向:电力系刘瑞叶(1963—
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),男,教授级高级工程师,华东电网有限张启平(1959—
公司总工程师,主要研究方向:电网运行和电网技术发展及其管理。
IndicesforEvaluatingSymmetryofPowerFlowJacobianMatrix
XUZhiyou1,LIURuiye2,ZHANGQiping3,LIRenjun4
(1.KeyLaboratoryofPowerSystemSimulationandControlofMinistryofEducation,TianjinUniversity,Tianjin300072,China;2.HarbinInstituteofTechnology,Harbin150001,China;3.EastChinaGrid
CompanyLimited,Shanghai200002,China;4.ShandongUniversity,Jinan250061,China)
Abstract:InordertoevaluatethesymmetryofapowerflowJacobianmatrix,somesymmetryindicesareestablishedaccordingtotherelationamongthesingularvaluesofarealmatrixwithzerodiagonalelements,thecorrespondingsymmetricmatrixandtheantisymmetricmatrix.Thecomparisonsofindicesincludenotonlythecomparisonsof22normandF2norm,butalsothoseoftheweightedsumofsingularvalues.Theseindicesarealsoapplicabletocomplexmatrix.ThesimulationontheIEEE30systemshowstheeffectivenessoftheproposedindices.
Keywords:powerflowJacobianmatrix;symmetry;symmetricmatrix;skew2symmetricmatrix;singularvalue
《电力系统自动化》入选2008年度中国精品科技期刊
2008年12月9日,中国科学信息研究所召开2008年中国科学论文统计结果发布会。《电力系统自动化》总被引频次和
影响因子继续提升。会上,首次发布了300名2008年度中国精品科技期刊《电力系统自动化》,有幸入选。这是根据国家科技
部资助的“精品科技期刊发展战略研究项目”研究确定的科技期刊综合评价体系,并在全国范围内遴选产生的。
《电力系统自动化》能够取得上述成绩离不开各级领导的支持、离不开各位编委的帮助、离不开业内专家、学者的关爱,在此表示衷心的感谢!
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