组合变形与强度理论

组合变形和强度理论习题及解答

题1．图示，水平放置圆截面直角钢杆（? ABC

p ），直径d =100mm ，l =2m ，2

q =1k N m ，[σ=160MPa ]，试校核该杆的强度。

解：

1）各力向根部简化，根截面A 为危险面 扭矩：M

nA

=

123

ql ，弯矩 M zA =+ql 2，剪力Q A =2ql 22

11M ZA 48ql 233

W =p d W =p d =2) s =， ，， p 3

3216W p d

M n 8ql 2

扭转剪应力：t ===10.18MPa ， 3

W P p d

3) s r 3=

=64.42MPa

∴梁安全

题2、 平面曲杆在C 端受到铅重力P 作用。材料的

[σ]=160MPa。若P=5KN，l =1m，a=0.6m。试根据第四强度理论设计轴AB 的直径d. 解：属于弯扭组合变形

危险面A 处的内力为：

M z =5kN ? m

T 3kN m

M r 4=d =

5.63kN m

=71mm

题3、平面曲拐在C 端受到铅垂力P 作用，材料的[σ]=160MPa，E=2.1⨯10MPa ，杆的直径d=80mm，l =1.4m，a=0.6m，l 1=1.0m。若P=5KN (1) 试用第三强度理论校核曲拐的强度。 (2) 求1-1截面顶端处沿45︒方向的正应变。

5

。

B 解：

（1）危险A 上的内力为：M z =5? 1.4 T =5? 0.6

7kN m

3kN m

M r 3=

7.62kN ? m M r 3

W z

p

? 80332

5.03 104mm 4

7.62´106

s r 3===151MPa

W z 5.03´104

曲拐安全 （2）1-1截面内力：M z =5kN ? m

, T 3kN m 顶点的应力状态

5´106

s ==99.4

MPa 4

5.03´103´106

t ==29.8MPa

2创5.03104

s

+t =79.52MPa 2

s

s b =-t =19.88MPa

2s a =

e a =

题4. 图示一悬臂滑车架，杆AB 为18 号工字钢，其长度为l =2.6m 。试求当荷载F =25kN 作用在AB

79.5219.88

-0.28=3.52 10-4 55

2.1创102.110

B

解：18号工字钢W =1. 85? 10-4m 3, A AB 杆系弯庄组合变形。

30. 6 10-4m 2

M 中F BC cos 300s max =+

W A

å

M A =0, F BC sin 300. l =F ?

l

M 中=F BC sin 30?

2s max =

16. 25´10

+-4

1. 85创10

3

l

, F BC 25kN 212. 625=16. 25kN . m

22

=87. 83+7. 07=94. 9MPa (压) 4

25创10330. 610

题5. 砖砌烟囱高h =30m ，底截面m -m 的外径d 1=3m ，内径d 2=2m ，自重

P =2000kN ，受q =1kN /m 的风力作用。试求：

（1）烟囱底截面上的最大正应力；

（2）若烟囱的基础埋深h 0=4m ，基础及填土自重按P 2=1000kN 计算，土壤的许用应力

[s ]=0.3MPa 圆形基础的直径D 应为多大？

注：计算风力时，可略去烟囱直径的变化，把它看作是等截面的。

解：烟囱底截面上的最大正应力：

qh 2132

创110 303

P 2000´10

s max =+1=+4

22

1 W A p (3-2) p (3-24) ´

4643/2

=0. 508MPa +0. 212MPa (压)

土壤中的最大正应力s s

max

max

h qh (+h 0) P 1+P 2=+

p D 2p D 2432

3

[s ]

1创103

30? (

30

4)

(2000+1000) 106

s max =+４0. 310

p D 2p D 2432

3. 82创1065. 81106 即 +４0. 3106

23D D

即 0.3D3-3. 82D -5. 81=0解得：D =4. 17m

题6. 受拉构件形伏如图，已知截面尺寸为40mm ´5mm ，承受轴向拉力F =12kN 。现拉杆开有切口，如不计应力集中影响，当材料的[s ]=100MPa 时，试确定切口的最大许可深度，并绘出切口截面的应力变化图。

F

解：

s max =

F M + A W

3

[s ]

12创103

x

10-3

12´106即 +４10010(40-x)创510-65? (40x ) 2 10-9

6

整理得 x2-128x +640=0解得：x =5. 25mm

题7. 试确定图示各截面的截面核心边界。

解：① 截面几何

A =b 2-

p 2p d =(8002-创5402) 10-44

=4. 11 10-1m 2

6

b 4p 4

I y =I z =-d

12641p =(? 8004创5404) 10-1264=2. 996 10-2m 4

I y

22i y =i z ==0. 0729m 2

A

② 截面核心

12

设中性轴为AB 边，a y =400mm , a z = i z 20. 0729y 1=-=-=-0. 182m -3

a y 400´10z 1=0

相应荷载作用点为点1；利用对称性，同样可得荷载作用点2 , 3 , 4 。因此截面核心为点1 ,

2 , 3 . 4 组成的正方形，该正方形的对角线长度：

l 13=0. 182? 2

0. 364=364mm

题8. 试确定图示各截面的截面核心边界。

解:① 截面几何

y y 0

p d 2p A ==创400210-6=6. 283 10-2m 2

2´48

2d 2创40010-3

z 0===8. 49 10-2m

3p p d 4p I z ==创400410-12=6. 283 10-4m 4

2创64264

2

I y =I y 0-Az 0 =6. 283? 10-4

6. 283创10-

2

8. 492 10-

4

=1. 754 10-4m 4I 6. 283´i =z =

A 6. 283´I y 1. 754´2

i y ==

A 6. 283´

2z

10-4-22

=1. 00 10m 10-210-4-32

=2. 79 10m 10-2

-2

② 截面核心

设中性轴为AB 边，a z =-8.49? 10m , a y

，则相应的荷载作用点1的坐标为:

2. 79´10-3

z 1=-=-=+0. 0329m

a z -8. 49 10-2y 1=0

分别设中性轴与点A 、B 和C 相切，则其截跟以及相应的荷载作用点2 , 3 和4 的坐标分别为：中性轴截距：a z =? , a y

2

i y

? 200mm ; a z 115mm , a y =

相应点坐标：

z 2, 3=0, y 2, 3=? 50mm ; z 4-24. 3mm , y 4=0.

中性轴由点A 的切线绕角点A 转至AB 边和由AB 边绕角B 转至点B 的切线，相应的荷载作用点的轨迹为直线，故分别以直线连接点1 、2 和点1 、3 。中性轴从点A 的切线沿半圆孤ACB 过渡到B 点的切线（始终与圆周相切）, 则相应的荷载作用点的轨迹必为一曲线，于是以适应的曲线连接点2 、4 、3 即得该截面的截面核心，如图中阴影区域所示，为一扇形面积。

题9. 曲拐受力如图示，其圆杆部分的直径d =50mm 。试画出表示A 点处应力状态的单元体，求其主应力及最大切应力。

解：A 点所在的横截面上承受弯矩和扭矩作用，其值

M y =3. 2创10390? 10-T =3. 2创10

3

3

288N . m 448N . m

140? 10

-3

它们在点A 分别产生拉应力和切应力，其应力状态如图，其中

s =t =

M y W y

=

32´288

=23. 5 106Pa 3-9

p 创5010

18. 3MPa T 16´4486

==18. 3? 10Pa 3-9W p p 创5010s ? 2

s 1, 3=

23. 5

? 2MPa

=11. 8? 21. 7s 2=0t

max =

33. 5-9. 95

s 1-s 333. 5+9. 95

==21. 7MPa 22

注：剪力在A 点的切应力为零。

10. 试校核图示拉杆头部的剪切强度和挤压强度。已知图中尺寸D =32mm , d =20mm 和。

h =12mm ，杆的许用切应力[t ]=100MPa ，许用挤压应力[s bs ]=240MPa 。

F s =50KN

F s 50创10350103

解：t ====66. 3MPa

A s p dh p 创2012 10

F b s 50创103200109

s C ====102MPa

p A b s

322-202）p ´6254

11. 两直径d =100mm 的圆轴，由凸缘和螺栓连接，共有8 个螺栓布置在D 0=200mm 的圆周上 ，如图所示。已知轴在扭转时的最大切应力为70MPa ，螺栓的许用切应力[t ]=60MPa 。试求螺栓所需的直径d 1。

T 10T ´109

解： t max ==４70106 36

p ´100p ´10

´

10-9

1670´103p T ==13. 8醋103N m

16

8F s 创10010-3=T =13. 8 10313. 8´103

F s =

8创10010-3F

t =s ４60106

A d 1=

12. 一托架如图所示。已知外力F =35kN ，铆钉的直径d =20mm ，铆钉与钢板为搭接。试求拉最危险的铆钉剪切面上切应力的数值及方向。

19. 1mm

解；(l)在F 力作用下，因为每个铆钉直径相等．故每个铆钉上所受的力F sy =F

-3

22510力偶作用下，四个铆钉上所受的力应组成力偶与之平衡。 (2)在M =F 创

F sx 1¹F sx 2

2F sx 1r 1+2F sx 2r 2=M F sx 1r

=1

F sx 2r 2

联解式（l ）、（2）得

(1) (2)

F sx 1=F sy 1=F s =

Mr 1

(2-6? r 12F

=8. 75KN 4

2r )

22

=31. 5KN

32. 7KN

32. 7´103

t max ==104MPa

p ´202

´10-6

4

13. 平均半径为尺的四分之一圈弧的平面曲杆，在自由端承受水平和铅垂方向的两集中力P ，如图所示，试作曲杆的轴力、扭矩和弯矩图。

解：（1）列内力方程

由截面法，可得任一截面上的内力分量（不考虑剪力）为

N =P cos q ; M t =PR (1-cos q ); M s =PR sin q ; M z =PR (cosq -1)

（2）轴力、扭矩和弯矩图

由内力方程，可得袖力、扭矩和弯矩(M z , M g ) 分别如图所示。

轴力图 扭矩图 弯矩图