点线面位置关系知识点梳理及经典例题带解析

【知识梳理】

（1）四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内。 符号语言：A∈l,B∈l,且A∈α,B∈α ⇒ l∈α。 公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

三个推论：① 经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面 ② 经过两条相交直线，有且只有一个平面 ③ 经过两条平行直线，有且只有一个平面

它给出了确定一个平面的依据。

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线（两个平面的交线）。 符号语言：P∈α,且P∈β⇒α β=l,P∈l。

公理4：（平行线的传递性）平行与同一直线的两条直线互相平行。 符号语言：a//l,且b//l⇒a//b。

（2）空间中直线与直线之间的位置关系

1.概念 异面直线及夹角：把不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线。

已知两条异面直线a,b，经过空间任意一点O作直线a'//a,b'//b，我们把a'与b'所成的角（或直角）叫异面直线a,b所成的夹角。（易知：夹角范围0

定理：空间中如果一个角的两边分别与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。（注意：会画两个角互补的图形）

⎧⎧相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点;共面直线⎪⎨

2.位置关系：⎨ ⎩平行直线：同一平面内，没有公共点;

⎪

⎩异面直线：不同在任何一个平面内，没有公共点

（3）空间中直线与平面之间的位置关系

⎧直线在平面内（l⊂α）有无数个公共点⎪

直线与平面的位置关系有三种：⎨⎧直线与平面相交（l α=A）有且只有一个公共点

⎪直线在平面外⎨直线与平面平行（l//α）没有公共点

⎩⎩

（4）空间中平面与平面之间的位置关系

⎧两个平面平行（α//β）没有公共点

平面与平面之间的位置关系有两种：⎨

两个平面相交（α β=l）有一条公共直线⎩

直线、平面平行的判定及其性质 1.内容归纳总结

直线、平面平垂直的判定及其性质 1.内容归纳总结 （一）基本概念

1.直线与平面垂直：如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线l与平面α垂直，记作l⊥α。直线l叫做平面α的垂线，平面α叫做直线l的垂面。直线与平面的公共点P叫做垂足。 2. 直线与平面所成的角： 角的取值范围：0

3.二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角。这条直线叫做二面角的棱，这两个半平面叫做二面角的面。二面角的记法： 二面角的取值范围：0

【经典例题】

典型例题一

例1 简述下列问题的结论，并画图说明：

（1）直线a⊂平面α，直线b a=A，则b和α的位置关系如何？

（2）直线a⊂α

，直线b//a，则直线b和α的位置关系如何？ 分析：（1）由图（1）可知：b⊂α或b α=A； （2）由图（2）可知：b//α或b⊂α．

说明：此题是考查直线与平面位置关系的例题，要注意各种位置关系的画法与表示方法． 典型例题二

例2 P是平行四边形ABCD所在平面外一点，Q是PA的中点，求证：PC//平面BDQ．

分析：要证明平面外的一条直线和该平面平行，只要在该平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了． 证明：如图所示，连结AC，交BD于点O， ∵四边形ABCD是平行四边形

∴AO=CO，连结OQ，则OQ在平面BDQ内，线，

∴PC//OQ． ∵PC在平面BDQ外， ∴PC//平面BDQ．

且OQ是∆APC的中位

说明：应用线面平行的判定定理证明线面平行时，关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，怎样找这一直线呢？

由于两条直线首先要保证共面，因此常常设法过已知直线作一平面与已知平面相交，如果能证明已知直线和交线平行，那么就能够马上得到结论．这一个证明线面平行的步骤可以总结为：

过直线作平面，得交线，若线线平行，则线面平行．

典型例题三

例3 经过两条异面直线a，b之外的一点P，可以作几个平面都与a，b平行？并证明你的结论． 分析：可考虑P点的不同位置分两种情况讨论． 解：（1）当P点所在位置使得a，P（或b，P）本身确定的平面平行于b（或a）时，过P点再作不出与a，b都平行的平面；

（2）当P点所在位置a，P（或b，P）本身确定的平面与b（或a）不平行时，可过点P作a//a'，b'//b．由于a，b异面，则a'，b'不重合且相交于P．由于a' b'=P，a'，b'确定的平面α，则由线面平行判定定理知：

a//α，b//α．可作一个平面都与a，b平行．

故应作“0个或1个”平面．

说明：本题解答容易忽视对P点的不同位置的讨论，漏掉第（1）种情况而得出可作一个平面的错误结论．可见，考虑问题必须全面，应区别不同情形分别进行分类讨论．

典型例题四

例4 平面外的两条平行直线中的一条平行于这个平面，那么另一条直线也平行于这个平面． 已知：直线a//b，a//平面α，b⊄α． 求证：b//α．

证明：如图所示，过a及平面α内一点A作平面β． 设α β=c，

∵a//α， ∴a//c． 又∵a//b， ∴b//c．

∵b⊄α，c⊂α， ∴b//α．

说明：根据判定定理，只要在α内找一条直线c//b，根据条件a//α，为了利用直线和平面平行的性质定理，可以过a作平面β与α相交，我们常把平面β称为辅助平面，它可以起到桥梁作用，把空间问题向平面问题转化． 和平面几何中添置辅助线一样，在构造辅助平面时，首先要确认这个平面是存在的，例如，本例中就是以“直线及直线外一点确定一个平面”为依据来做出辅助平面的．

典型例题五

例5 已知四面体S-ABC的所有棱长均为a．求： （1）异面直线SC、AB的公垂线段EF及EF的长； （2）异面直线EF和SA所成的角．

分析：依异面直线的公垂线的概念求作异面直线SC、AB的公垂线段，进而求出其距离；对于异面直线所成的角可采取平移构造法求解．

SF、CF． 解：（1）如图，分别取SC、AB的中点E、F，连结

由已知，得∆SAB≌∆CAB． ∴SF=CF，E是SC的中点， ∴EF⊥SC．

同理可证EF⊥AB

∴EF是SC、AB的公垂线段．

在Rt∆SEF中，SF=∴EF=SF2-SE2

1a，SE=a．

22

32122

a-a=a． 442

（2）取AC的中点G，连结EG，则EG//SA．

∴EF和GE所成的锐角或直角就是异面直线EF和SA所成的角． 连结FG，在Rt∆EFG中，EG=由余弦定理，得

112a，GF=a，EF=a． 222

122212

a+a-a

EG+EF-GF=2． cos∠GEF==2⋅EG⋅EF212

2⋅a⋅a22

2

2

2

∴∠GEF=45．

故异面直线EF和SA所成的角为45．

说明：对于立体几何问题要注意转化为平面问题来解决，同时要将转化过程简要地写出来，然后再求值．

典型例题六

例6 如果一条直线与一个平面平行，那么过这个平面内的一点且与这条直线平行的直线必在这个平面内． 已知：直线a//α，B∈α，B∈b，b//a． 求证：b⊂α．

分析：由于过点B与a平行的直线是惟一存在的，因此，本题就是要证明，在平面α外，不存在过B与a平行的直线，这是否定性命题，所以使用反证法．

证明：如图所示，设b⊄α，过直线a和点B作平面β，且β α=b'． ∵a//α，∴b//α．

这样过B点就有两条直线b和b同时平行于直线a，与平行公理矛盾． ∴b必在α内．

说明：(1)本例的结论可以直接作为证明问题的依据． (2)本例还可以用同一法来证明，只要改变一下叙述方式．

如上图，过直线a及点B作平面β，设β α=b'．∵a//α，∴b//α． 这样，b与b都是过B点平行于a的直线，根据平行公理，这样的直线只有一条， ∴b与b重合．∵b⊂α，∴b⊂α．

典型例题七

例7 下列命题正确的个数是（ ）．

(1)若直线l上有无数个点不在平面α内，则l//α； (2)若直线l平行于平面α内的无数条直线，则l//α；

(3)若直线l与平面α平行，则l与平面α内的任一直线平行； (4)若直线l在平面α外，则l//α．

A．0个 B．1个 C．2个 D．3个

分析：本题考查的是空间直线与平面的位置关系．对三种位置关系定义的准确理解是解本题的关键．要注意直线和平面的位置关系除了按照直线和平面公共点的个数来分类，还可以按照直线是否在平面内来分类．

解：(1)直线l上有无数个点不在平面α内，并没有说明是所在点都不在平面α内，因而直线可能与平面平行亦有可能与直线相交．解题时要注意“无数”并非“所有”．(2)直线l虽与α内无数条直线平行，但l有可能在平面α内，所以直线l不一定平行α．(3)这是初学直线与平面平行的性质时常见错误，借助教具我们很容易看到．当l//α时，若m⊂α且m//l，则在平面α内，除了与m平行的直线以外的每一条直线与l都是异面直线．(4)直线l在平面α外，应包括两种情况：l//α和l与α相交，所以l与α不一定平行． 故选A．

说明：如果题中判断两条直线与一平面之间的位置关系，解题时更要注意分类要完整，考虑要全面．如直线l、m都平行于α，则l与m的位置关系可能平行，可能相交也有可能异面；再如直线l//m、l//α，则m与α的位置

'

'

'

'

'

'

关系可能是平行，可能是m在α内． 典型例题八

例8 如图，求证：两条平行线中的一条和已知平面相交，则另一条也与该平面相交．

已知：直线a//b，a 平面α=P．求证：直线b与平面α相交．

分析：利用a//b转化为平面问题来解决，由a//b可确定一辅助平面β，这样可以把题中相关元素集中使用，既创造了新的线面关系，又将三维降至二维，使得平几知识能够运用．

解：∵a//b，

∴a和b可确定平面β． ∵a α=P，

∴平面α和平面β相交于过点P的直线l．

∵在平面β内l与两条平行直线a、b中一条直线a相交，

∴l必定与直线b也相交，不妨设b l=Q，又因为b不在平面α内（若b在平面α内，则α和β都过相交直线b和l，因此α与β重合，a在α内，和已知矛盾）．

所以直线b和平面α相交．

说明：证明直线和平面相交的常用方法有：证明直线和平面只有一个公共点；否定直线在平面内以及直线和平面平行；用此结论：一条直线如果经过平面内一点，又经过平面外一点，则此直线必与平面相交（此结论可用反证法证明）．

典型例题九

例9 如图，求证：经过两条异面直线中的一条，有且仅有一个平面与另一条直线平行． 已知：a与b是异面直线．求证：过b且与a平行的平面有且只有一个．

分析：本题考查存在性与唯一性命题的证明方法．解题时要理解“有且只有”的含义．“有”就是要证明过直线b存在一个平面α，且a//α，“只有”就是要证满足这样条件的平面是唯一的．存在性常用构造法找出（或作出）平

面，唯一性常借助于反证法或其它唯一性的结论．

证明：(1)在直线b上任取一点A，由点A和直线a可确定平面β． 在平面β内过点A作直线a，使a//a，则a和b为两相交直线， 所以过a和b可确定一平面α． ∵b⊂α，a与b为异面直线， ∴a⊄α．

又∵a//a，a⊂α，

∴a//α．

故经过b存在一个平面α与a平行．

(2)如果平面γ也是经过b且与a平行的另一个平面， 由上面的推导过程可知γ也是经过相交直线b和a的．

由经过两相交直线有且仅有一个平面的性质可知，平面α与γ重合， 即满足条件的平面是唯一的．

说明：对于两异面直线a和b，过b存在一平面α且与a平行，同样过a也存在一平面β且与b平行．而且这两个平面也是平行的（以后可证）．对于异面直线a和b的距离，也可转化为直线a到平面α的距离，这也是求异面直线的距离的一种方法． 典型例题十

例10 如图，求证：如果一条直线和两个相交平面都平行，那么这条直线和它们的交线平行．

已知：α β=l，a//α，a//β，求证：a//l．

分析：本题考查综合运用线面平行的判定定理和性质定理的能力．利用线面平行的性质定理，可以先证明直线a分别和两平面的某些直线平行，即线面平行可得线线平行．然后再用线面平行的判定定理和性质定理来证明a与l平行．

'

''

'

''

'

证明：在平面α内取点P，使P∉l，过P和直线a作平面γ交α于b． ∵a//α，a⊂γ，γ α=b， ∴a//b．

同理过a作平面δ交β于c． ∵a//β，a⊂δ，δ β=c， ∴a//c． ∴b//c．

∵b⊄β，c⊂β， ∴b//β．

又∵b⊂α，α β=l， ∴b//l． 又∵a//b， ∴a//l．

另证：如图，在直线l上取点M，

过M点和直线a作平面和α相交于直线l1，和β相交于直线l2．

∵a//α，∴a//l1， ∵a//β，∴a//l2，

但过一点只能作一条直线与另一直线平行． ∴直线l1和l2重合． 又∵l1⊂α，l2⊂β， ∴直线l1、l2都重合于直线l，

∴a//l． 说明：“线线平行”与“线面平行”在一定条件下是可以相互转化的，这种转化的思想在立体几何中非常重要． 典型例题十一

例11 正方形ABCD与正方形ABEF所在平面相交于AB，在AE、BD上各取一点P、Q，且AP=DQ．求证：PQ//面BCE．

分析：要证线面平行，可以根据判定定理，转化为证明线线平行．关键是在平面BCE中如何找一直线与PQ平行．可考察过PQ的平面与平面BCE的交线，这样的平面位置不同，所找的交线也不同．

证明一：如图，在平面ABEF内过P作PM//AB交BE于M， 在平面ABCD内过Q作QN//AB交BC于N，连结MN．

∵PM//AB，∴

PMPE

=． ABAE

又∵QN//AB//CD，

QNBQQNBQ

==，即． DCBDABBD

∵正方形ABEF与ABCD有公共边AB， ∴AE=DB．

∴

∵AP=DQ，∴PE=BQ． ∴PM=QN．

又∵PM//AB，QN//AB， ∴PM//QN．

∴四边形PQNM为平行四边形． ∴PQ//MN． 又∵MN⊂面BCE， ∴PQ//面BCE．

证明二：如图，连结AQ并延长交BC于S，连结ES．

∵BS//AD，∴

AQDQ

． =

QSQB

又∵正方形ABEF与正方形ABCD有公共边AB， ∴AE=DB，

∵AP=DQ，∴PE=QB．

∴

APDQAQ

==． PEQBQS

∴PQ//ES， 又∵ES⊂面BEC， ∴PQ//面BEC．

说明：从本题中我们可以看出，证线面平行的根本问题是要在平面内找一直线与已知直线平行，此时常用中位线定理、成比例线段、射影法、平行移动、补形等方法，具体用何种方法要视条件而定．此题中我们可以把“两个有公共边的正方形”这一条件改为“两个全等的矩形”，那么题中的结论是否仍然成立？ 典型例题十二

例12 三个平面两两相交于三条交线，证明这三条交线或平行、或相交于一点．

已知：α β=a，β γ=b，γ α=c．

求证：a、b、c互相平行或相交于一点．

分析：本题考查的是空间三直线的位置关系，我们可以先从熟悉的两条交线的位置关系入手，根据共面的两条直线平行或相交来推论三条交线的位置关系．

证明：∵α β=a，β γ=b， ∴a、b⊂β． ∴a与b平行或相交． ①若a//b，如图

∵b⊂γ，a⊄γ，∴a//γ．

又∵γ α=c，a⊂α，∴a//c． ∴a//b//c．

②若a与b相交，如图，设a b=O，

∴O∈a，O∈b．

又∵a=α β，b=β γ． ∴O∈α，O∈γ

又∵α γ=c，∴O∈c．

∴直线a、b、c交于同一点O．

说明：这一结论常用于求一个几何体的截面与各面交线问题，如正方体ABCD中，

M、N分别是CC1、A1B1的中点，画出点D、M、N的平面与正方体各面的交线，并说明截面多边形是几边形？

典型例题十三

例13 已知空间四边形ABCD，AB≠AC，AE是∆ABC的BC边上的高，DF是∆BCD的BC边上的中线，求证：AE和DF是异面直线．

证法一：（定理法）如图

由题设条件可知点E、F不重合，设∆BCD所在平面α．

⎧DF⊂α⎪A∉α⎪∴⎨⇒AE和DF是异面直线． ⎪E∈α⎪⎩E∉DF

证法二：（反证法）

若AE和DF不是异面直线，则AE和DF共面，设过AE、DF的平面为β． (1)若E、F重合，则E是BC的中点，这与题设AB≠AC相矛盾． (2)若E、F不重合，

∵B∈EF，C∈EF，EF⊂β，∴BC⊂β．

∵A∈β，D∈β，

∴A、B、C、D四点共面，这与题设ABCD是空间四边形相矛盾． 综上，假设不成立．

故AE和DF是异面直线．

说明：反证法不仅应用于有关数学问题的证明，在其他方面也有广泛的应用． 首先看一个有趣的实际问题：

“三十六口缸，九条船来装，只准装单，不准装双，你说怎么装？” 对于这个问题，同学们可试验做一做． 也许你在试验几次后却无法成功时，觉得这种装法的可能性是不存在的．那么你怎样才能清楚地从理论上解释这种装法是不可能呢？

用反证法可以轻易地解决这个问题．假设这种装法是可行的，每条船装缸数为单数，则9个单数之和仍为单数，与36这个双数矛盾．只须两句话就解决了这个问题． 典型例题十四

例14 已知AB、BC、CD是不在同一平面内的三条线段，E、F、G分别是AB、BC、CD的中点，求证：平面EFG和AC平行，也和BD平行．

分析：欲证明AC//平面EFG，根据直线和平面平等的判定定理只须证明AC平行平面EFG内的一条直线，由图可知，只须证明AC//EF．

证明：如图，连结AE、EG、EF、GF． 在∆ABC中，E、F分别是AB、BC的中点． ∴AC//EF．于是AC//平面EFG． 同理可证，BD//平面EFG．

说明：到目前为止，判定直线和平面平行有以下两种方法：(1)根据直线和平面平行定义；(2)根据直线和平面平行的判定定理． 典型例题十五

例15 已知空间四边形ABCD，P、Q分别是∆ABC和∆BCD的重心， 求证：PQ//平面ACD．

分析：欲证线面平行，须证线线平行，即要证明PQ与平面ACD中的某条直线平行，根据条件，此直线为AD，如图．

证明：取BC的中点E．

∵P是∆ABC的重心，连结AE，

∶1，连结DE， 则AE∶PE=3∵Q为∆BCD的重心，

∶QE=3∶1， ∴DE

∴在∆AED中，PQ//AD．

又AD⊂平面ACD，PQ⊄平面ACD， ∴PQ//平面ACD．

说明：(1)本例中构造直线AD与PQ平行，是充分借助于题目的条件：P、Q分别是∆ABC和∆BCD的重心，借助于比例的性质证明PQ//AD，该种方法经常使用，望注意把握．

(2)“欲证线面平行，只须证线线平行”．判定定理给我们提供了一种证明线面平等的方法．根据问题具体情况要

熟练运用． 典型例题十六

例16 正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、G分别是BC、C1D1的中点如下图． 求证：EG//平面BB1D1D．

分析：要证明EG//平面BB1D1D，根据线面平等的判定定理，需要在平面BB1D1D内找到与EG平行的直线，要充分借助于E、G为中点这一条件．

证明：取BD的中点F，连结EF、D1F．

∵E为BC的中点，

∴EF为∆BCD的中位线，则EF//DC，且EF=∵G为C1D1的中点， ∴D1G//CD且D1G=

1

CD． 2

1

CD， 2

∴EF//D1G且EF=D1G， ∴四边形EFD1G为平行四边形，

∴D1F//EG，而D1F⊂平面BDD1B1，EG⊄平面BDD1B1， ∴EG//平面BDD1B1． 典型例题十七

例17 如果直线a//平面α，那么直线a与平面α内的（ ）．

A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线都不相交

解：根据直线和平面平行定义，易知排除A、B．对于C，无数条直线可能是一组平行线，也可能是共点线，∴C也不正确，应排除C．

与平面α内任意一条直线都不相交，才能保证直线a与平面α平行，∴D正确． ∴应选D．

说明：本题主要考查直线与平面平行的定义． 典型例题十八

例18 分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（ ）． A．一定平行 B．一定相交 C．一定异面 D．相交或异面

解：如图中的甲图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系； 如图中的乙图，分别与异面直线a、b平行的两条直线c、d是相交关系．

综上，可知应选D．

说明：本题主要考查有关平面、线面平行等基础知识以及空间想象能力． 典型例题十九

例19 a、b是两条异面直线，下列结论正确的是（ ）． A．过不在a、b上的任一点，可作一个平面与a、b平行

B．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b相交 C．过不在a、b上的任一点，可作一个直线与a、b都平行 D．过a可以并且只可以作一平面与b平行

解：A错，若点与a所确定的平面与b平行时，就不能使这个平面与α平行了． B错，若点与a所确定的平面与b平等时，就不能作一条直线与a，b相交． C错，假如这样的直线存在，根据公理4就可有a//b，这与a，b异面矛盾． D正确，在a上任取一点A，过A点做直线c//b， 则c与a确定一个平面与b平行，这个平面是惟一的． ∴应选Ｄ．

说明：本题主要考查异面直线、线线平行、线面平行等基本概念． 典型例题二十

例20 (1)直线a//b，a//平面α，则b与平面α的位置关系是_____________．

(2)A是两异面直线a、b外的一点，过A最多可作___________个平面同时与a、b平行． 解：(1)当直线b在平面α外时，b//α；当直线b在平面α内时，b⊂α． ∴应填：b//α或b⊂α．

(2)因为过A点分别作a，b的平行线只能作一条，

（分别称a，b）经过a，b的平面也是惟一的．所以只能作一个平面； 还有不能作的可能，当这个平面经过a或b时，这个平面就不满足条件了． ∴应填：1．

说明：考虑问题要全面，各种可能性都要想到，是解答本题的关键． 典型例题二十一

例21 如图，a//α，A是α的另一侧的点，B,C,D∈a，线段AB，AC，AD交α于E，F，G，若BD=4，

'

'

'

'

CF=4，AF=5，则EG=___________．

解：∵a//α，EG=α 平面ABD． ∴a//EG，即BD//EG， ∴

EFFGAFEF+FGEGAF

=====． BCCDACBC+CDBDAF+FC

AF⋅BD5⨯420

==．

AF+FC5+4920

∴应填：．

9

则EG=

说明：本题是一道综合题，考查知识主要有：直线与平面平行性质定理、相似三角形、比例性质等．同时也考查了综合运用知识，分析和解决问题的能力．

【课堂练习】

1.若直线a不平行于平面α，则下列结论成立的是（ ）

A. α内所有的直线都与a异面； B. α内不存在与a平行的直线； C. α内所有的直线都与a相交； D.直线a与平面α有公共点. 2.已知两个平面垂直，下列命题

①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线； ②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线； ③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；

④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面. 其中正确的个数是（ ） A.3 B.2 C.1 D.0

3.空间四边形ABCD中，若AB=AD=AC=CB=CD=BD，则AC与BD所成角为

A、300 B、450 C、600 D、900 4. 给出下列命题：

（1）直线a与平面α不平行，则a与平面α内的所有直线都不平行； （2）直线a与平面α不垂直，则a与平面α内的所有直线都不垂直； （3）异面直线a、b不垂直，则过a的任何平面与b都不垂直； （4）若直线a和b共面，直线b和c共面，则a和c共面

其中错误命题的个数为（ ） （A）0 （B） 1 （C）2 （D）3

5．正方体ABCD-A1B1C1D1中，与对角线AC1异面的棱有（ ）条 A 3 B 4 C 6 D 8 6. 点P为ΔABC所在平面外一点，PO⊥平面ABC，垂足为O，若PA=PB=PC，则点O是ΔABC的（ 外心 （C）重心 （D）垂心 D1 C1 7.如图长方体中，AB=AD=2，CC1=2，则二面角 A1

C1—BD—C的大小为（ ）

（A）300 （B）450 （C）600 （D）900

8.直线a,b,c及平面α,β,γ,下列命题正确的是（ ）

A、若a⊂α，b⊂α,c⊥a, c⊥b 则c⊥α B、若b⊂α, a//b 则 a//α C、若a//α,α∩β=b 则a//b D、若a⊥α, b⊥α 则a//b 9.平面α与平面β平行的条件可以是（ ）

A.α内有无穷多条直线与β平行； B.直线a//α,a//β

C.直线a⊂α,直线b⊂β,且a//β,b//α D.α内的任何直线都与β平行 10、 a, b是异面直线，下面四个命题：

①过a至少有一个平面平行于b； ②过a至少有一个平面垂直于b；

（A）内心 B）

）（

③至多有一条直线与a，b都垂直；④至少有一个平面与a，b都平行。

其中正确命题的个数是（ ）Ａ ０ Ｂ １ Ｃ ２ Ｄ ３

选择题答题表

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

11.已知直线a//平面α，平面α//平面β，则a与β的位置关系为 . 12．已知直线a⊥直线b, a//平面β,则b与β的位置关系为 .

13如图，ABC是直角三角形，∠ACB=90︒，PA⊥平面ABC，此图形中有个直角三角形

P

14.α、β是两个不同的平面，m、n是平面α及β之外的两条不同直线, 给出四个论断：

① m ⊥ n ②α⊥β ③ m ⊥β ④ n ⊥α

以其中三个论断作为条件，余下一个论断作为结论，写出你认为 A 正确的一个命题：______________________________________.

三、解答题（本大题共3小题，每小题10分，共30分）

15．如图，PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC 求证：AB⊥ BC

P

A

16．在三棱锥S-ABC中，已知AB=AC， O是BC的中点，平面SAO⊥平面ABC 求证：∠SAB=∠SAC

17，AE⊥PB，AB⊥BC，AF⊥PC,PA=AB=BC=2（1）求证：平面AEF⊥平面PBC；

—A的大小；（3）求三棱锥P—AEF的体积.

A

B P

F

A C

B

【课后作业】

一、选择题

1． 给出下列关于互不相同的直线m、l、n和平面α、β的四个命题：

①若m⊂α,l⋂α

=A,点A∉m,则l与m不共面；

②若m、l是异面直线，l//α,m//α,且n⊥l,n⊥m,则n⊥α； ③若l//α,m//β,α//β,则l//m；

④若l⊂α,m⊂α,l⋂m=点A,l//β,m//β,则α//β.

其中为假命题的是 A．①

B．②

C．③

D．④

2.设α,β,γ为两两不重合的平面，l,m,n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：

①若α③若α

⊥γ||β

，β，l

⊥γ，则α||β；②若m⊂α，n⊂α，m||β，n||β，则α||β；

，则m||

⊂α，则l||β；④若α β=l，β γ=m，γ α=n，l||γ

A．1 B．2 C．3 D．4

3．已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：

①若m②若α

⊥α,m⊥β,则α//β； ⊥γ,β⊥α,则α//β；

③若m⊂α,n⊂β,m//n,则α//β；

β,n//α,则α//β。其中真命题是

C．③和④

D．①和④

④若m、n是异面直线，m⊂α,m//β,n⊂A．①和②

B．①和③

m、n及平面α，下列命题中的假命题是 4．已知直线l、

⊥α，n//α，则l⊥n.

C．若l⊥m，m//n，则l⊥n. D．若l//α，n//α，则l//n.

A．若l//m，m//n，则l//n. B．若l

5．在正四面体P—ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论中不成立的是 A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 6．有如下三个命题：

①分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线； ②垂直于同一个平面的两条直线是平行直线； ③过平面α的一条斜线有一个平面与平面α垂直． 其中正确命题的个数为

A．0 B．1 C．2 D．3 7．下列命题中，正确的是

A．经过不同的三点有且只有一个平面

B．分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线 C．垂直于同一个平面的两条直线是平行直线

D．垂直于同一个平面的两个平面平行

8．已知直线m、n与平面α,β，给出下列三个命题： ①若m//α,n//α,则m//n; ②若m//α,n ③若m⊥α,m//β,则α 其中真命题的个数是

A．0 B．1 C．2 D．3

⊥α,则n⊥m;

⊥β.

9．已知a、b、c是直线，β是平面，给出下列命题： ①若a

⊥b,b⊥c,则a//c；②若a//b,b⊥c,则a⊥c；

③若a//β,b⊂β,则a//b；④若a与b异面，且a//β,则b与β相交；

⑤若a与b异面，则至多有一条直线与a，b都垂直. 其中真命题的个数是

A．1

B．2

C．3

C．30对

D．4

D．36对

10．过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有

A．18对 B．24对

P、Q、R分别是11．正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB、AD、B1C1

的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是

A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 12．不共面的四个定点到平面α的距离都相等，这样的平面α共有

A．3个 B．4个 C．6个 D．7个 13．设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m

A．α

⊥β的一个充分条件是

B．αD．n

⊥β,α⋂β=l,m⊥l ⊥γ,β⊥γ,m⊥α

⋂γ=m,α⊥γ,β⊥γ⊥α,n⊥β,m⊥α

C． α

14．设α、β 为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l⊂α，m⊂⊥m，则α⊥β．那么

A．①是真命题，②是假命题 B． ①是假命题，②是真命题 C． ①②都是真命题 D．①②都是假命题 15．对于不重合的两个平面α与β，给定下列条件：

β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l

①存在平面γ，使得α、β都垂直于γ；②存在平面γ，使得α、β都平行于γ；

③α内有不共线的三点到β的距离相等；④存在异面直线l、m，使得l//α，l//β，m//α，m//β，

其中，可以判定α与β平行的条件有 A．1个

B．2个

C．3个

D．4个

二、填空题1．已知平面α,β和直线m，给出条件：①m//α；②m时，有m//β；

（ii）当满足条件 时，有m

⊥α；③m⊂α；④α⊥β；⑤α//β

.（i）当满足条件

⊥β

2．在正方形

ABCD-A'B'C'D'中，过对角线BD'的一个平面交AA'于E，交CC'于F，则

'

一、四边形BFD二、四边形BFD三、四边形BFD四、四边形BFD

E一定是平行四边形 E有可能是正方形

E在底面ABCD内的投影一定是正方形 E有可能垂直于平面BB'D

'

'

'

3．下面是关于三棱锥的四个命题：

①底面是等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． ②底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥． ③底面是等边三角形，侧面的面积都相等的三棱锥是正三棱锥．

④侧棱与底面所成的角相等，且侧面与底面所成的二面角都相等的三棱锥是正三棱锥． 其中，真命题的编号是____________．（写出所有真命题的编号） 4．已知m、n是不同的直线，α,β是不重合的平面，给出下列命题：

①若α

//β,m⊂α,n⊂β,则m//nm,n⊂α,m//β,n//β,则α//β

③若m⊥α,n⊥β,m//n,则α//β

④m、n是两条异面直线，若m//α,m//β,n//α,n//β,则α//β

上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号5． 已知m、n是不同的直线，α,β是不重合的平面，给出下列命题：

① 若m//α，则m平行于平面α② 若α//β,m⊂α,n⊂β,则m//n③若m⊥α,n⊥β,m//n,则α//β

α//β,m⊂α,则m//β上面命题中，真命题的序号是____________(写出所有真命题的序号6．连接抛物线上任意四点组成的四边形可能是

①菱形 ④平行四边形

②有3条边相等的四边形 ⑤有一组对角相等的四边形

③梯形

三、计算题

1． 如图1所示，在四面体P—ABC中，已知PA=BC=6，PC=AB=10，AC=8，PB=2在线段AB上，且EF⊥PB. （Ⅰ）证明：PB⊥平面CEF； （Ⅱ）求二面角B—CE—F的大小.

.F是线段PB上一点，CF=

15

34，点E17

2．如图，在五棱锥S—ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，

BC=DE=3，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120⑴ 求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）； ⑵ 证明：BC⊥平面SAB；

⑶ 用反三角函数值表示二面角B—SC—D

3． 已知三棱锥P—ABC中，E、F分别是AC、AB的中点,△ABC，△PEF 都是正三角形，PF⊥AB.

（Ⅰ）证明PC⊥平面PAB；（Ⅱ）求二面角P—AB—C的平面角的余弦值； （Ⅲ）若点P、A、B、C在一个表面积为12π的球面上，求△ABC的边长.

4. 已知正三棱锥P-ABC的体积为72

，侧面与底面所成的二面角的大小为60 。

（1）证明：PA⊥BC；（2）求底面中心O

5．如图,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1 中

,

AB=AD=2,DC=

AA1AD⊥DC，AC⊥BD垂足为E

(Ⅰ)求证BD⊥

AD与AC1;(Ⅱ)求二面角A1-BD-C1的大小;(Ⅲ)求异面直线

BC1

6．如图, 在直三棱柱ABC-A1B1C1中，(Ⅱ) 求证AC1 平面CDB1; (Ⅲ)求异面直线

AC=3,BC=4,AB=5,AA1=4 ，点D为AB(Ⅰ)求证AC⊥BC1;

1

AC1与B1CA

7．如图，正三角形ABC的边长为3，过其中心G作BC边的平行

线，分别交AB、AC于B1、C1．将∆AB1C1沿B1C1折起到∆A1B1C1的位置，使点A1在平面BB1C1C上的射影恰是线段BC的中点M．求：（1）二面角A1

-B1C1-M的大小；（2）异面直线A1B1与CC1所成角的大小（用反三角函数表示）．

8．如图，正三棱锥S—ABC中，底面的边长是3，棱锥的侧面积等于底面积的2倍，M是BC的中点.求：（Ⅰ）（Ⅱ）二面角S—BC—A的大小； （Ⅲ）正三棱锥S—ABC的体积.

AM

SM

的值；

【参考答案】

课堂参考答案

1.D；2.C；3.D；4.D；5.C；6.B；7.A；8.D；9.D；10.C

11.平行或在平面内； 12. 平行或在平面内； 13.4； 14.若②③④则① 17.（2）45°

课后作业答案 一、选择题

1．C 2. B 3．D 4．D 5． C 6．C 7．C 8．C 9．A 10．D 11．D 12．B 13．D 14．D 15．B 二、填空题

1．③⑤ ②⑤ 2．①③④ 3．①，④ 4．③④ 5．③④ 6．②③⑤

三、计算题

2

1.[解]（I）证明：∵PA

+AC2=36+64=100=PC2

∴△PAC是以∠PAC为直角的直角三角形，同理可证

△PAB是以∠PAB为直角的直角三角形，△PCB是以∠PCB故PA⊥平面

ABC

又∵S∆PBC

=

11

|PC||BC|=⨯10⨯6=30 22

而

11|PB||CF|=⨯2⨯=30=S∆PBC 2217

故CF⊥PB,又已知EF⊥PB ∴PB⊥平面CEF

（II）由（I）知PB⊥CE, PA⊥平面ABC

∴AB是PB在平面ABC上的射影，故AB⊥CE

在平面PAB内，过F作FF1垂直AB交AB于F1，则FF1⊥平面ABC， EF1是EF在平面ABC上的射影，∴EF⊥EC 故∠FEB是二面角B—CE—F二面角B—CE—F的大小为arctan

∠FEB=cot∠PBA=

AB105

== AP63

5

3

2.[解]（Ⅰ）连结BE，延长BC、ED交于点F，则∠DCF=∠CDF=60，

∴△CDF为正三角形，∴又BC=DE，∴BFE为正三角形，

∴∠FBE=∠FCD=60，∴BE//CD

所以∠SBE（或其补角）就是异面直线CD与SB0

∵SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2， ∴SB=2

2，同理SE=22，

又∠BAE=120，所以BE=23，从而，cos∠SBE=

64

，

∴∠0

CD与SB所成的角是0

(Ⅱ) 由题意，△ABE为等腰三角形，∠BAE=120，∴∠ABE=30，又∠FBE =60， ∴∠ABC=90，∴BC⊥BA∵SA⊥底面ABCDE，BC⊂底面ABCDE，

∴SA⊥BC，又SA BA=A， ∴BC⊥平面B-SC-D的大小π

-3.[解]（Ⅰ）证明： 连结CF.

PE=EF=

11

BC=AC,∴AP⊥PC. 22

CF⊥AB,PF⊥AB,∴AB⊥平面PCF.

PC⊂平面PCF,∴PC⊥AB.∴PC⊥平面PAB. （Ⅱ）解法一： AB⊥PF,AB⊥CF,

a

∴∠PFC为所求二面角的平面角. 设AB=a，则AB=a，则PF=EF=a,CF=a∴cos∠PFC==.

223a2

解法二：设P在平面ABC内的射影为O. ∆PAF≌∆PAE,∴∆PAB≌∆PAC. 得PA=PB=PC. 于是O是△ABC的中心. ∴∠PFO为所求二面角的平面角. 设AB=a，则PF

=

a1OF,OF=⋅a. ∴cos∠PFO==. 232PF3

（Ⅲ）解法一：设PA=x，球半径为R. PC⊥平面PAB,PA⊥PB,

∴3x=2R. 4πR2=12π，∴R=.得x=2.∴∆ABC的边长为22.

解法二：延长PO交球面于D，那么PD是球的直径. 连结OA、AD，可知△PAD为直角三角形. 设AB=x，球半径为R.

4πR2=12π,∴PD=2. PO=OFtan∠PFO=

62x,OA=⋅x, 632

∴(

326

x)=x(2-x).于是x=22.∴∆ABC的边长为22. 366

4. [证明]（1）取BC边的中点D，连接 ∴ PA⊥BC.

AD、PD， 则AD⊥BC，PD⊥BC，故BC⊥平面APD.

（2）如图， 由（1）可知平面PBC⊥平面APD，则∠PDA是侧面与底面所成二面角的平面角. 过点O作OE

⊥PD,E为垂足，则OE就是点O到侧面的距离.

设OE为h，由题意可知点O在∴ ∠PDO=60，OP=2h.

AD上，

OD=

2h3=

,∴BC=4h,

3

(4h)2=4h2， 418332

h，∴ h=3. 即底面中心O到侧面的距离为3. ∵ 723=⋅4h⋅2h=

33

∴ S∆ABC

5. [解] （I）在直四棱柱ABCD－AB1C1D1中，

∵AA1⊥底面ABCD．∴ AC是A1C在平面ABCD上的射影． ∵BD⊥AC．∴ BD⊥A1C； （II）连结A1E，C1E，A1 C1． 与（I）同理可证BD⊥A1E，BD⊥C1E，

∴ ∠A1EC1为二面角A1－BD－C1的平面角．

∵ AD⊥DC，∴ ∠A1D1C1=∠ADC＝90°， 又A1D1=AD＝2，D1C1= DC＝2∴ A1C1＝4，AE＝1，EC＝3，∴ A1E＝2，C1E＝2

2

2

2

，AA=且 AC⊥BD，

1

，

在△A1EC1中，A1C1＝A1E＋C1E， ∴ ∠A1EC1＝90°， 即二面角A1－BD－C1的大小为90°． （III）过B作 BF//AD交 AC于 F，连结FC1，

则∠C1BF就是AD与BC1所成的角． ∵ AB＝AD＝2， BD⊥AC，AE＝1， ∴ BF=2，EF＝1，FC＝2，BC＝DC， ∴ FC1=

7，BC

1

BFC

1

中，cos∠C1BF

=

∴ ∠CBF

=arccos=

51

即异面直线AD与BC1

所成角的大小为

．

解法二：D为坐标原点，DA,DC,DD1所在直线分别为x轴，

y轴，z轴，建立空间直角坐标

连结

A1E,C1E,AC11.

A1E,BD⊥C1E,

与(1)同理可证,BD⊥∴∠A1EC1为二面角

A1-ED-C1的平面角.

由

3A1C1E,

22

13EC1=(-∴得EA1=(,22 39

EA1⋅EC1=--+3=0, ∴EA1⊥EC1,即EA1⊥EC1.∴二面角A1-ED-C1的大小为90 （Ⅲ）

44

如图,由D(0,0,0),A(2,0,0),

C1B

得AD=(-2,0,0),BC1=(-∴

AD,BC1AD⋅BC1=6,AD=2,BC1=

∴cosAD,BC1==∵异面直线AD与BC1所成角的

=

ADBC1大小为解法三：（Ⅰ）同解法一.（Ⅱ）如图,建立空间直角坐标系,坐标原点为E.连结

A1E,C1E,AC11.

与（Ⅰ）同理可证BD⊥

A1E,BD⊥C1E,

∴∠A1EC1为二面角A1-BD-C1

由E(0,0,0),A1(0,-1C1

得EAEC1= 1=(0,-1

∵EAEC1=-3+3=0,∴EA1⊥EC1即EA1⊥EC1,∴二面角A1-BD-C1的大小为901

6.[解]（I）直三棱柱ABC－A1B1C1，底面三边长AC=3，BC=4，AB=5，

∴ AC⊥BC，且BC1在平面ABC内的射影为BC，∴ AC⊥BC1； （II）设CB1与C1B的交点为E，连结DE，

∵ D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴ DE//AC1， ∵ DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1， ∴ AC1//平面CDB1； （III）∵ DE//AC1， ∴ ∠CED为AC1与B1C所成的角， 在△CED中，ED=

1

2

AC 1=

52

，CD=

12

AB=

52

，CE=

12

CB1=2

2，

∴

cos∠CED=

85

2⋅2

=

，

A.

1

∴ 异面直线 AC1与 B1C

所成角的余弦值

5

1

32

,2,0)

解法二： ∵直三棱锥

ABC-A1B1C1底面三边长AC=3,BC=4,AB=5，

1

AC,BC,CC1C(0,0,0),A(3,0,0),C(0,0,4),B(0,4,0),B(0,4,4),D(

(Ⅰ) AC1=(-3,0,0),BC1=(0,4,4),∴AC1⋅BC1=0,∴AC1⊥BC(Ⅱ)设CB1与C1B的交点为E，则E(0,2,2)

3

DE=(-,0,2),AC1=(-3,0,4),

2

1 ∴DE=AC1,∴DE//AC1

2

DE⊂平面CDB1,AC1

⊄平面CDB1,

∴AC1//平面CDB

AC1 CB1∴cos==

(Ⅲ

) AC1=(-3,0,4),CB 111=(0,4,4),|AC1||CB1|

∴异面直线

AC1与B1C

7.[解] （Ⅰ）连接AM，A1G

∵G是正三角形ABC的中心，且M为BC的中点， ∴A，G，M三点共线，AM⊥BC．∵B1C1∥BC， ∴B1C1⊥AM于G，即GM⊥B1C1，GA1⊥B1C1， ∴∠A1GM是二面角A1—B1C1—M的平面角．

∵点A1在平面BB1C1C上的射影为M，∴A1M⊥MG，∠A1MG=90°在Rt△A1GM中，由A1G=AG=2GM得∠A1GM=90°即二面角A1—B1C1—M的大小是60°

（Ⅱ）过B1作C1C的平行线交BC于P，则∠A1B1P等于异面直线A1B1与CC1所成的角．

由PB1C1C是平行四边形得B1P=C1C=1=BP，PM=BM—BP=

1

,AB=AB=2． 2

11

1

∵A1M⊥面BB1C1C于M，∴A1M⊥BC，∠A1MP=90°．在Rt△A1GM中，A1M=A1G·sin60

=⋅

3=. 22

在Rt△A1MP中，A1P

2

315

=A1M2+PM2=()2+()2=.

222

2

A1B1+B1P2-A1P2

=在△ABP中，由余弦定理得cos∠A1B1P=

2⋅A1B1⋅B1P

1

1

22+12-

5

=5，

2⋅2⋅18

∴异面直线A1B1与CC1所成角的大小为arccos

5

. 8

8.[解] （Ⅰ）∵SB=SC，AB=AC，M为BC中点， ∴SM⊥BC，AM⊥BC. 由棱锥的侧面积等于底面积的2倍，即3⨯形ABC的中心，G在AM上，GM

11AM3BC⨯SM=2⨯BC⨯AM,得=.（Ⅱ）作正三棱锥的高SG，则G为正三角22SM2

是二面角S—BC—A的平面角.在Rt△SGM中，∵

=

1

AM.∵SM⊥BC，AM⊥BC，∴∠SMA3

SM=

22

AM=⨯3=3GM=2GM,∴∠SMA=∠SMG=60°即二面角S—BC—A的大小为60°。 33

（Ⅲ）∵△ABC的边长是3，∴AM=

333

,GM=,SG=GMtg60 =⋅=, 2222

∴VS-ABC

119339=S∆ABC⋅SG=⋅⋅=. 33428