高一数学交集和并集测试题

交集、并集·典型例题

能力素质

例1 已知M ＝{y|y＝x 2＋1，x ∈R}，N ＝{y|y＝－x 2＋1，x ∈R}则M ∩N 是

[ ]

A ．{0，1}

B ．{(0，1)}

C ．{1}

D ．以上均不对

分析 先考虑相关函数的值域． 解 ∵M ＝{y|y≥1}，N ＝{y|y≤1}， ∴在数轴上易得M ∩N ＝{1}．选C ．

例2 已知集合A ＝{x|x2＋m x ＋1＝0}，如果A ∩R ＝∅，则实数m 的

取值范围是 A ．m ＜4

B ．m ＞4

C ．0＜m ＜4

＜4

[ ]

D ．0≤m

分析 ∵A ∩R ＝∅，∴A ＝∅．所以x ＋M x ＋1＝0无实数根，由

⎧⎪m ≥0，

⎨2

⎪⎩Δ＝(m) －4＜0，

2

可得0≤m ＜4． 答 选D ．

例3 设集合A ＝{x|－5≤x ＜1}，B ＝{x|x≤2}，则A ∪B ＝ A ．{x|－5≤x ＜1} C ．{x|x＜1}

≤2}

分析 画数轴表示

[ ]

B ．{x|－5≤x ≤2} D ．{x|x

⊂B ，也可以得到A ∪B ＝

得A ∪B ＝{x|x≤2}，A ∪B ＝B ．(注意A ≠

B) ．

答 选D ．

说明：集合运算借助数轴是常用技巧．

例4 集合A ＝{(x，y)|x＋y ＝0}，B ＝{(x，y)|x－y ＝2}，则A ∩B ＝________． 分析 A ∩B 即为两条直线x ＋y ＝0与x －y ＝2的交点集合．

⎧x ＋y ＝0，⎧x ＝1，解 由⎨ 得 ⎨

x －y ＝2y ＝－1．⎩⎩

所以A ∩B ＝{(1，－1)}．

说明：做题之前要搞清楚集合的元素是什么．

例5 下列四个推理：①a ∈(A∪B) ⇒a ∈A ；②a ∈(A∩B) ⇒a ∈(A

∪B) ；

③A ⊆B ⇒A ∪B ＝B ；④A ∪B ＝A ⇒A ∩B ＝B ，其中正确的个数

为

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

分析 根据交集、并集的定义，①是错误的推理． 答 选C ．

点击思维

例6 已知全集U ＝R ，A ＝{x|－4≤x ＜2}，B ＝{x|－1＜x

＝________．

[ ]

号的值．

解 观察数轴得，A ∩B ＝{x|－1＜x ＜2}，A ∩B ∩(例7 设A ＝{x∈R|f(x)＝0}，

B ＝{x∈R|g(x)＝0}，

U P) ＝{x|0＜x ＜2}．

f(x)

C ＝{x∈R|＝0}，全集U ＝R ，那么

g(x)

[ ]

A ．C ＝A ∪(

U R)

B ．C ＝A ∩(

U B)

C ．C ＝A ∪B

(

U A) ∩B

D ．C ＝

分析 依据分式的意义及交集、补集的概念逐步化归

C ＝{x∈R|

f(x)

＝0} g(x)

＝{x∈R|f(x)＝0且g(x)≠0}

＝{x∈R|f(x)＝0}∩{x∈R|g(x)≠0}＝A ∩(

U B) ．

答 选B ．

说明：本题把分式的意义与集合相结合．

例8 集合A 含有10个元素，集合B 含有8个元素，集合A ∩B 含有3个元素，则集合A ∪B 有________个元素．

分析 一种方法，由集合A ∩B 含有3个元素知，A ，B 仅有3个元素相同，根据集合元素的互异性，集合A ∪B 的元素个数为10＋8－3＝15．

另一种方法，画图1－10观察可得．

答 填15．

例9 已知全集U ＝{x|x取不大于30的质数}，A ，B 是U 的两个子集，且A ∩(

U B) ＝{5，13，23}，(

U A) ∩B ＝{11，19，29}，(

U A) ∩(

U B) ＝{3，7}求

A ，B ．

分析 由于涉及的集合个数，信息较多，所以可以通过画图1－11直观地求解．

解 ∵U ＝{2，3，5，7，11，13，17，19，23，29} 用图形表示出A ∩(

U B) ，(

U A) ∩B

及(

U A) ∩(U B) 得

U (A∪B) ＝{3，7}，A ∩B ＝{2，17}，所以

A ＝{2，5，13，17，23}， B ＝{2，11，17，19，29}．

说明：对于比较复杂的集合运算，可借助图形．

学科渗透

例10 设集合A ＝{x2，2x －1，－4}，B ＝{x－5，1－x ，9}，若A ∩B ＝{9}，求A ∪B ．

分析 欲求A ∪B ，需根据A ∩B ＝{9}列出关于x 的方程，求出x ，从而确定A 、B ，但若将A 、B 中元素为9的情况一起考虑，头绪太多了，因此，宜先考虑集合A ，再将所得值代入检验．

解 由9∈A 可得x 2＝9或2x －1＝9，解得x ＝±3或5．

当x ＝3时，A ＝{9，5，－4}，B ＝{－2，－2，9}，B 中元素违反互异性，故x ＝3应舍去；

当x ＝－3时，A ＝{9，－7，－4}，B ＝{－8，4，9}，A ∩B ＝{9}满足题意，此时A ∪B ＝{－7，－4，－8，4，9}

当x ＝5时，A ＝{25，9，－4}，B ＝{0，－4，9}，此时A ∩B ＝{－4，9}，这与A ∩B ＝{9}矛盾．

故x ＝5应舍去．

从而可得x ＝－3，且A ∪B ＝{－8，－4，4，－7，9}．

说明：本题解法中体现了分类讨论思想，这在高中数学中是非常重要的． 例11 设A ＝{x|x2＋4x ＝0}，B ＝{x|x2＋2(a＋1)x ＋a 2－1＝0}，若A ∩B ＝B ，求a 的值．

分析 由A ∩B ＝B ，B ⊆A ，而A ＝{x|x2＋4x ＝0}＝{0，－4}，所以

需要对A 的子集进行分类讨论．

解 假如B ≠∅，则B 含有A 的元素．

设0∈B ，则a 2－1＝0，a ＝±1，当a ＝－1时，B ＝{0}符合题意；当a ＝1时，B ＝{0，－4}也符合题意．

设－4∈B ，则a ＝1或a ＝7，当a ＝7时，B ＝{－4，－12}不符合题意．

假如B ＝∅，则x 2＋2(a＋1)x ＋a 2－1＝0无实数根，此时Δ＜0得a

＜－1．

综上所述，a 的取值范围是a ≤－1或a ＝1．

说明：B ＝∅这种情形容易被忽视．

高考巡礼

例12(1998年全国高考题) 设集合M ＝{x|－1≤x ＜2}，N ＝{x|x

－k ≤0}，若M ∩N ≠∅，则k 的取值范围是

A ．(－∞，2]

＋∞)

[ ]

B ．[－1，

C ．(－1，＋∞) D ．[－1，2] 分析 分别将集合M 、N 用数轴表示，可知：k ≥－1时，M ∩

N ≠ ．

答 选B ．

例13(2000年全国高考题) 如图1－12：U 为全集，M 、P 、S 是U 的3个子集，则下图中的阴影部分为________．

分析 利用交集、并集、补集的意义分析． 解 阴影部分为：(M∩P) ∩(

U S) ．

说明：你能否指出M ∩(P∪S) 是图形上的哪一区域？