相似三角形--证明
班级 姓名 日期 2015年 月 日
初三数学暑假自主学习讲义
相似三角形——证明
编写 胡华春 审核 支耀红
一.学习目标
1．熟练掌握相似三角形的证明方法；
2．运用相似三角形的性质证明相关结论．
二．典型例题
1．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B
（1）求证：△ADF∽△DEC；
（2）若AB=8，AD=6，
AF=4，求AE的长．
变式训练：如图，AB = 3AC，BD = 3AE，又BD∥AC，点B，A，E在同一条直线上.
(1) 求证：△ABD∽△CAE；
(2) 如果AC =BD，AD =22BD，设BD = a，求BC的长．
2．如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC=∠ACB=90°，E为AB的中点，
（1）求证：AC=AB•AD；
（2）求证：CE∥AD；
（3） 若AD=4，AB=6，求
的值． 2
变式训练：如图，在△ABC中，点D、E是边BC上的两点，且AD=AE，若∠BAC=110°，∠DAE=40°，
（1） 写出图中所有相似的三角形；
（2） 请你选取其中的任何一对加以证明．
（3） 若∠BAC=130°,当∠DAE= °时,(1)中的结论仍然成立.
B
E
C
3．在Rt△ABC，∠C=90°，D为AB边上一点，点M、N分别在BC、AC边上，且DM⊥DN．作MF⊥AB于点F，NE⊥AB于点E．
（1）特殊验证：如图1，若AC=BC，且D为AB中点，求证：DM=DN，AE=DF；
（2）拓展探究：若AC≠BC．
①如图2，若D为AB中点，（1）中的两个结论有一个仍成立，请指出并加以证明；
②如图3，若BD=kAD，条件中“点M在
BC边上”改为“点M在线段CB的延长线上”，其它条件不变，请探究AE与DF的数量关系并加以证明．
三．当堂训练
如图,Rt△ABC置于平面直角坐标系中，使直角顶点B与坐标原点O重合，边AB、BC分别落在y轴、x轴上，AB=9，CB=12．直线y=-4x+4交y轴、x轴分别于点D、E．点M是斜3
边AC上的一个动点，连接BM.点P是线段BM上的动点，始终保持∠BPE=∠BDE．
(1)直接写出点D和点E的坐标； (2)证明：∠BPE=∠ACB；
(3)设线段OP的长为y个单位，线段OM的长为x个单位，请你写出y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
(4)请你求出线段OP长度的最大值．