机械优化设计试题及答案

计算题

1．试用牛顿法求fX8x125x22的最优解，设X01010。

T

T

初始点为X01010，则初始点处的函数值和梯度分别为

fX01700

16x14x2200，沿梯度方向进行一维搜索，有

fX1404x10x12

10200102000

X1X00fX00

10140101400

0为一维搜索最佳步长，应满足极值必要条件

fX1minfX0fX0





min81020002410200010140051014002

min









010600000596000， 从而算出一维搜索最佳步长 0

59600

0.0562264

1060000

1020001.2452830

则第一次迭代设计点位置和函数值X1 

1014002.1283019

fX124.4528302，从而完成第一次迭代。按上面的过程依次进行下去，便可

求得最优解。

2、试用黄金分割法求函数f

20



的极小点和极小值，设搜索区间

a,b0.2,1（迭代一次即可）

解：显然此时，搜索区间a,b0.2,1，首先插入两点1和2，由式 1b(b 2a(b

a)1a)

0.6181

0.618

0. 21

0.5056

.20

0.20.6944

,f229.4962。 计算相应插入点的函数值f140.0626

因为f1f2。所以消去区间a,1，得到新的搜索区间1,b， 即1,ba,b0.5056,1。 第一次迭代：

插入点10.6944， 20.50560.618(10.5056)0.8111

相应插入点的函数值f129.4962,f225.4690，

由于f1f2，故消去所以消去区间a,1，得到新的搜索区间则形成新的搜索区间1,ba,b0.6944至此完成第一次迭代，,1。1,b，

继续重复迭代过程，最终可得到极小点。

2

3．用牛顿法求目标函数fX16x1225x2+5的极小点，设X022。

T

解：由 X0

f

x32x64

T101 22，则fX

f50x2100x2

2fx2

1

2fX02

f

x2x12fx1x2320



2f0502x2

，其逆矩阵为

1

1

2fX032

0

0 150



0

640 1100050

T

1

123210200因此可得：XXfXfX2

0



fX15，从而经过一次迭代即求得极小点X00，fX5

20

4.下表是用黄金分割法求目标函数 f的极小值的计算过程，请完成

下表。

5、 求二元函数f(x1,x2)=x12+x22-4x1-2x2+5在x0=[0 0]T处函数变化率最大的方向和数值？ 解：由于函数变化率最大的方向是梯度方向，这里用单位向量P表示函数变化率最大和数值是梯度的模IIf(x0)II 。求f(x1,x2)在x0点处的梯度方向和数值，计算如下：

f

x2x1

f(x0)=1=

f2x2x2x0

44

= 2x02

IIf(x0)II =(

f2f

)()2=(4)2(2)225 x1x2

2

 1

4

f(x0)2P=f(x0)2



在x1x2平面上画出函数等值线和x0（0,0）点处的梯度方向P，如图2-1所示。从图中可以看出，在x0点函数变化率最大的方向P即为等值线的法线方向，也就是同心圆的半径方向。

6、 用共轭梯度法求二次函数f(x1,x2)=x12+2x22-4x1-2 x1x2 的极小点及极小值？ 解： 取初始点 x0 11

T

则 g0=f(x0)

2x12x244

2

4x2x21x0

4

2

取 d0=-g0=沿d0方向进行一维搜索，得

14140

x=x+0d=0

12120

1

(0)0 其中的0为最佳步长，可通过f（x1）=min1(),1



求得 0=

1

1

4

141402

则 x = 0=1 

121202

为建立第二个共轭方向d1，需计算 x1 点处的梯度及系数0值，得

g1=f（x1）=

2x12x241



4x22x1x12

g1g0

22

0

从而求得第二个共轭方向



51 204

1142

d1=-g1+0d=3

2422

再沿d1进行一维搜索，得

22221

x=x+1d1=11313

12222

2

1

(1)0 其中的1为最佳步长，通过f（x2）=min2(),2



求得

1=1

222214

则 x= 11313=

122222

2

计算 x2点处的梯度

g2=f（x2）=

2x12x240

0 

4x22x1x20

22



24

说明x2点满足极值必要条件，再根据x2点的海赛矩阵

G(x2)=

是正定的，可知x2满足极值充分必要条件。故x2为极小点，即

4

x*x2

2

而函数极小值为f(x*)8。 7、求约束优化问题

Minf(x)=(x1-2)2+(x2-1)2 s.t. h(x)=x1+2x2-2=0 的最优解？

解： 该问题的约束最优解为x*1.6

*

0.2,f(x*)0.8。

T

由图4-1a可知，约束最优点x为目标函数等值线与等式约束函数（直线）的切点。 用间接解法求解时，可取2=0.8，转换后的新目标函数为

(x,2)(x12)2(x21)20.8(x12x22)

可以用解析法求min(x,2)，即令0，得到方程组



2(x12)0.80 x1



2(x21)1.60 x2

解此方程组，求得的无约束最优解为：x*1.60.2,(x*,2)0.8其结果和原约束最

T

优解相同。图4-1b表示出最优点x*为新目标函数等值线族的中心。

图4-1

a）目标函数等值线和约束函数关系 b）新目标函数等值线