角平分线定理在几何证明题中的妙用
角平分线定理在几何证明题中的妙用
冯爱雪
利用角平分线的有关定理,我们不但可以用尺规作图的方法将角二、四、八、…等分,而且还可以利用它们简捷地证明几何问题。
例1 如图1,OC平分AOB,P是OC上一点,D是OA上一点,E是OB上一点,且PD=PE,求证:PDOPEO180。
分析:要证PDOPEO180,PDO、PEO在图形的不同位置,又无平行线使它们联系起来,但若考虑设法把其中的一个角转化为另一个角的邻补角,问题便可以解决。由于OC是角平分线,故可过P点作两边的垂线,构造出两个直角三角形,再证明这两个三角形全等即可。
证明:过点P作PMOA,PNOB,垂足分别为M、N
因OC是角平分线,PMOA,PNOB,故PM=PN
由PD=PE,PM=PN,得RtPMDRtPNE
MDPNEP
则PEOMDP,而MDPPDO180
PDOPEO180
点拨:遇到角平分线问题,我们可以过角平分线上的一点向这个角的两边引垂线,以便充分运用角平分线定理。
例2 如图2,在ABC中,BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P。过点P作AB、AC(或延长线)的垂线,垂足分别是M、N。求证:BM=CN。
分析:要证BM=CN,由图形特征可构造以BM、CN为边的两个三角形,并证明这两个三角形全等。考虑BAC的平分线与BC边的垂直平分线相交于点P,于是连接PB、PC,则利用垂直平分线和角平分线的知识即可解决。
证明:因AP是角平分线,PMAB,PNAC,故PM=PN
又因PD是BC的垂直平分线,故PB=PC
因PB=PC,PM=PN,故RtPBMRtPCN
BMCN
点拨:这是一道垂直平分线与角平分线的综合运用问题。上述解答省去了两次全等的证明,相信同学们一定能体会到线段的垂直平分线定理与角平分线定理在几何证明中的重要性。