土体主动.被动土压力概念及计算公式
主动土压力
挡土墙向前移离填土，随着墙的位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐减小，当墙后土体达到主动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力减至最小，称为主动土压力Pa。
被动土压力
挡土墙在外力作用下移向填土，随着墙位移量的逐渐增大，土体作用于墙上的土压力逐渐增大，当墙后土体达到被动极限平衡状态并出现滑动面时，这时作用于墙上的土压力增至最大，称为被动土压力Pp。上述三种土压力的移动情况和它们在相同条件下的数值比较，可用图6-2来表示。由图可知Pp＞Po＞Pa。
朗肯基本理论
朗肯土压力理论是英国学者朗肯（Rankin）1857年根据均质的半无限土体的应力状态和土处于极限平衡状态的应力条件提出的。在其理论推导中,首先作出以下基本假定。
(1)挡土墙是刚性的墙背垂直； (2)挡土墙的墙后填土表面水平；
(3)挡土墙的墙背光滑，不考虑墙背与填土之间的摩擦力。 把土体当作半无限空间的弹性体，而墙背可假想为半无限土体内部的铅直平面，根据土体处于极限平衡状态的条件，求出挡土墙上的土压力。
如果挡土墙向填土方向移动压缩土体，ζz仍保持不变，但ζx将不断增大并超过ζz值，当土墙挤压土体使ζx增大到使土体达到被动极限平衡状态时，如图6-4的应力园O3，ζz变为小主应力，ζx变为大主应力，即为朗肯被动土压力(pp)。土体中产生的两组破裂面与水平面的夹角为45︒-
ϕ。 2
朗肯主动土压力的计算
当z=H时pa=γHKa-2cKa
在图中，压力为零的深度z0，可由pa=0的条件代入式(6-3)求得
z0=
2cγa
(6-4)
在z0深度范围内pa为负值，但土与墙之间不可能产生拉应力，说明在z0深度范围内，填土对挡土墙不产生土压力。
墙背所受总主动土压力为Pa，其值为土压力分布图中的阴影部分面积，即
1
(γHKa-2cKa)(H-z0)2
(6-5)
122c2=γHKa-2cHKa+2γPa=
2)填土为无粘性土(砂土)时
根据极限平衡条件关系方程式，主动土压力为
ϕ
pa=γztg2(45︒-)=γzKa (6-6)
2
上式说明主动土压力Pa沿墙高呈直线分布，即土压力为三角形分布，如图6-6所示。墙背上所受的总主动土压力为三角形的面积，即
Pa=1γH2Ka (6-7)
2
Pa的作用方向应垂直墙背，作用点在距墙底H处。
朗肯被动土压力计算
从朗肯土压力理论的基本原理可知，当土体处于被动极限平衡状态时，根据土的极限平衡条件式可得被动土压力强度ζ1=pp，ζ3=ζz=rz，填土为粘性土时
pp=γztg2(45︒+)+2c⋅tg(45︒+)=γzKp+2cKp (6-8)
22
1
3
ϕϕ
填土为无粘性土时
pp=γztg2(45︒+)=γzKp (6-9)
2
ϕ
式中： Pp——沿墙高分布的土压力强度，kPa；
Kp——被动土压力系数，Kp=tg(45+
2
ϕ
2
)；
其余符号同前。
关于被动土压力的分布图形，分别见图6-7及图6-8。 填土为粘性土时的总被动土压力为
1
Pp=γH2Kp+2cHKp (6-10)
2
填土为无粘土时的总被动土压力为 1
Pp=γH2Kp (6-11)
2
作用方向和作用点的位置分别如图6-7、图6-8上所标示的方向和作用点；计算单位为
kN/m。
库伦土压力理论
基本原理
库伦于1776年根据研究挡土墙墙后滑动土楔体的静力平衡条件，提出了计算土压力的理论。他假定挡土墙是刚性的，墙后填土是无粘性土。当墙背移离或移向填土，墙后土体达到极限平衡状态时，填后填土是以一个三角形滑动土楔体的形式，沿墙背和填土土体中某一滑裂平面通过墙踵同时向下发生滑动。根据三角形土楔的力系平衡条件，求出挡土墙对滑动土楔的支承反力，从而解出挡土墙墙背所受的总土压力。
主动土压力的计算 如图6-9所示挡土墙，已知墙背AB倾斜，与竖直线的夹角为ε，填土表面AC是一平面，与水平面的夹角为β，若墙背受土推向前移动，当墙后土体达到主动极限平衡状态时，整个土体沿着墙背AB和滑动面BC同时下滑，形成一个滑动的楔体△ABC。假设滑动面BC与水平面的夹角为α，不考虑楔体本身的压缩变形。
取土楔ABC为脱离体，作用于滑动土楔体上的力有：①是墙对土楔的反力P，其作用方向与墙背面的法线成δ角(δ角为墙与土之间的外摩擦角，称墙摩擦角)；②是滑动面PC上的反力R，其方向与BC面的法线φ角(φ为土的内摩擦角)；③是土楔ABC的重力W。根据静力平衡条件W、P、R三力可构成力的平衡三角形。利用正弦定理，得：
PW
=
sin(α-ϕ)sin180︒-(ψ+α-ϕ)所以 P=
Wsin(α-ϕ)
(6-12)
sin(ψ+α-ϕ)
其中 ψ=90°-(δ+φ)
假定不同的α角可画出不同的滑动面，就可得出不同的P值，但是，只有产生最大的P值的滑动面才是最危险的假设滑动面，P大小相等、方向相反的力，即为作用于墙背的主动土压力，以Pa表之。
对于已确定的挡土墙和填土来说，φ、δ、ε和β均为已知，只有α角是任意假定的，当α发生变化，则W也随之变化，P与R亦随之变化。P是α的函数，按
dP
=0的条件，用dα
数解法可求出P最大值时的α角，然后代入式(6-12)求得主动土压力的：
1Pa=γH2
2
cos2(ϕ-ε)
⎡sinϕ+εsinϕ-β⎤
cosεcos(ε+δ)⎢1+⎥
cosδ+εcosε-β⎣⎦
2
2
Pa=
1
γH2Ka2
(6-13)
式中：γ、φ——分别为填土的重度与内摩擦角；
ε——墙背与铅直线的夹角。以铅直线为准，顺时针为负，称仰斜；反时针为正，
称俯斜；
δ——墙摩擦角，由试验或按规范确定。我国交通部重力式码头设计规范的规定是：①俯斜的混凝土或砌体墙采用采用
ϕϕ
～。 32
ϕ22
～ϕ；②阶梯形墙采用ϕ；③垂直的混凝土或砌体233
β——填土表面与水平面所成坡角；
Ka——主动土压力系数，无因次，为φ、ε、β、δ的函数。可用下式计算；
Ka=
cos2(ϕ-ε)
⎡sin(ϕ+δ)sin(ϕ-β)⎤
cos2εcos(ε+δ)⎢1+⎥
cos(δ+ε)cos(ε-β)⎣⎦
1ϕ
Pa=γH2tg2(45︒-)
22
2
若填土面水平，墙背铅直光滑。即β=0，ε=0，φ 0=0时，公式(6-13)即变为
此式与填土为砂性土时的朗肯土压力公式相同。由此可见，在一定的条件，两种土压力理论
得到的结果是相同的。
由式(6-13)可知，Pa的大小与墙高的平方成正比，所以土压力强度是按三角形分布的。Pa的作用点距墙底为墙高的。按库伦理论得出的土压力Pa分布如图6-10所示。土压力的方向与水平面成(ε+δ)角。深度z处的土压力强度为
paz=
13
dPad⎛12⎫
= γzKa⎪=γzKa (6-14) dzdz⎝2⎭
注意，此式是Pa对铅直深度z微分得来，paz只能代表作用在墙背的铅直投影高度上的
某一点的土压力强度。
被动土压力的计算
被动土压力计算公式的推导，与推导主动土压力公式相同，挡土墙在外力作用下移向填土，当填土达到被动极限平衡状态时，便可求得被动土压力计算公式为
1
Pp=γH2Kp （6-15）
2
式中：KP——被动土压力系数，可用下式计算；
Kp=
cos2(ϕ+ε)
⎡sin(ϕ+δ)sin(ϕ+β)⎤
cos2εcos(ε-δ)⎢1-⎥
cos(ε-δ)cos(ε-β)⎣⎦
2
关于朗肯和库伦土压力理论的简单说明
1)朗肯和库伦土压力理论都是由墙后填土处于极限平衡状态的条件得到的。但朗肯理论求得是墙背各点土压力强度分布，而库伦理论求得是墙背上的总土压力。
2)朗肯理论在其推导过程中忽视了墙背与填土之间的摩擦力，认为墙背是光滑的，计算的主动土压力误差偏大，被动土压力误差偏小，而库伦理论考虑了这一点，所以，主动土压力接近于实际值，但被动土压力因为假定滑动面是平面误差较大，因此，一般不用库伦理论计算被动土压力。
3)朗肯理论适用于填土表面为水平的无粘性土或粘性土的土压力计算，而库伦理论只适用于填土表面为水平或倾斜的无粘性土，对无粘性土只能用图解法计算。