曲线系方程
曲线系方程
本章,我们将看到解析几何中最精彩部分, 曲线系。从字面看来似乎很恐
怖,其实没那么吓人,下面老师介绍下什么是曲线系。 一、直线系
首先,脑子里要有这个概念:所有一次式都是直线,所有直线都是一次式! 两条相交直线
过直线l1:A 1x +B1y+C1=0与
l2:A 2x+B2y+C2=0的交点的直线系方程 λ(A1x+B1y+C1)+
μ(A2x+B2y+C2)=0表示了所有经过l1和 l2交点的直线,给定参数的值,你就得到一条经过其交点的直线。特别的当λ=0,它表示的就是l2;当μ=0,它表示l1,所以当我们要求的直线确定不是l1 l2,只需要设一个参数 (A1x+B1y+C1)+ μ(A2x+B2y+C2)=0 (此μ不是上面的μ)
类型一 过定点的直线系方程
若直线过定点(a,b),那么方程可设为λ(y-b)+ μ(x-a)=0
类型二 平行直线系方程
与直线Ax+By+C=0,平行的直线系方程: Ax+By+λ=0 λ为参数 与直线Ax+By+C=0垂直的直线系方程Bx-Ay+λ=0
类型三:与距离相关直线系方程
与原点距离为定值R 的直线系方程: x cosA+y sinA=R, 在两坐标轴上结局和为定值R 的直线系方程:+
1、求经过两直线2x-3y=1, 3x+2y=2 的交点且平行于直线y+3x的直线方程?
2、经过点(3,2)的一条动直线分别交x 轴,y 轴于M 、N 两点,Q 是MN 中点,连接OQ 并延长到P, IOPI=2IOQI,求P 点的轨迹方程。 解:
点(3,2)可以理解为两条直线x-3=0和y-2=0的交点,则过(3,2)的直线方程可以设为 x-3+λ(y-2)=0 不包括y=2, 于是可知M (3+2λ,0),N(0,2+)
设点Q,P 的坐标分别为( ) 和(x,y) 那么 x=2 ,y=2 ,Q 为MN 中点,由中点公式,可得到
x=3+2λ ,y=2+, 消去参数可求得轨迹为 y=2+
3、在平面直角坐标系中,设三角形ABC 的顶点坐标分别为A (0,a ), B (b ,0), C (c ,0) ,
点P (0,p ) 在线段OA 上(异于端点),设a , b , c , p 均为非零实数,直线BP , CP 分别交
⎛11⎫⎛11⎫
AC , AB 于点E ,F ,一同学已正确算出OE 的方程: -⎪x + -⎪y =0,请你
⎝b c ⎭⎝p a ⎭
求OF 的方程:
解:
由截距式可得AB:+=1, CP: ,F 看作CP 和AB 交点,OF 可以设
为-1+λ(+-1)=0, 直线过原点,带入可以求得λ=-1,故方程为
(
4、在三角形ABC 中,AD 垂直BC 于D, 在AD 上任取一点H ,连接CH,BH 并延长,分别交AC ,BC 于E 、F ,连接FD,ED, 求证:角FDH=角EDH 证明:
设A (0,a ),B(b,0), C(c,0) ,H(0,h) AB :
+=1,
CH: +
DF 过AB,CH 的交点F, 其方程可以设为
( ) =0,DF 过原点,
故DF :( 同理可求DE :(
斜率互为相反数,所以角度相等。
5、M 为等腰直角三角形ABC 的腰AC 中点,CD 垂直BM 交AB 于D, 求证: 角BMC=角DMA 证明:
建立直角坐标系
设A (m,0),C(-m,0), B(-m,2m) BM:2x+y=0
由CD 垂直BM ,且过点C(-m,0) ,得 CD :x-2y=-m-2*0=-m AB:x+y=m
DM 经过AB 和CD 交点D, 且过原点M, 由两式联立可得 DM :2x-y=0 BM:2x+y=0,所以得证。
总结:使用直线系,关键就是在需要表达的直线上选好一个点,它是两条已知直线交点,然后利用垂直,已知比例关系,过某个点,求出直线方程
二、二次曲线系方程
方程 Ax2+By2+Cxy+Dx+Ey+F=0
表示的是二次曲线,高中涉及二次曲线包括圆、椭圆、双曲线、抛物线,以及退化的二次曲线,两条直线。现对退化2次曲线补充说明如下,我们知道 方程 A 1x+B1y+C1=0 和 A2x+B2y+C2=0 表示的是两条直线
那么 方程 (A 1x+B1y+C1)(A 2x+B2y+C2)=0 将表示这两条直线 并且方程展开后为一个二次式。原因很简单, 所有满足上述两条直线的点的坐标都满
A A
足这个方程,故它表示的是这两条直线,特别的,当1 2时,表示的是两条
B 1B 2平行线。
设两条2次曲线方程分别为 =0, =0, 都为2次曲线,那么所有经过 交点的二次曲线可以表示成: =0,同样如果能确定需要求的曲线不是 =0, =0,我们可以只设一个参数。
当我们知道曲线H=0,要求某些未知数,可以利用方程 =H,两边对比系数即可,同样,如果H 不为 本身,通过除以 或 ,可知上式两个待定系数可以放在任意两个方程前面,应依据实际情况放在适合计算的位置。
类型一 圆曲线系方程
1、若直线l:Ax+By+C=0与圆C : x2+y2 +Dx+Ey+F=0相较于A 、B 两点,则曲线系方程 (Ax+By+C)+ x2+y2 +Dx+Ey+F=0表示过A 、B 两点的所有圆
2、若圆 : x2+y2 + x+ y+ =0与 : x2+y2 + x+ y+ =0表示两个相交圆,则曲线系方程
(x2+y2 + x+ y+ )+ (x2+y2 + x+ y+ )=0,表示过 交点的所有圆,且 + 不等于0,等于0表示一条直线。
3、若( ) 表示圆 : x2+y2 + x+ y+ =0上任意一点,则曲线系方
程x 2+y2 + x+ y+ + 【(x- ) 2+(y- ) 2】=0,表示与 相切于( ) 的所有圆
6、已知圆C :x 2+y2 -2x+4y-4=0,问是否存在斜率为1的直线L ,使直线L 被圆C 截得的弦AB 为直径的圆经过原点,存在求出方程,不存在说明理由。
解:
假设存在L:其方程为y=x+b,则以AB 为弦的圆系方程为
x 2+y2 -2x+4y-4+ (x-y+b)=0,因为过圆点,整理可得 又因为圆心
,
y=x+b上, =b+3,带入 , 可以求得,
,或
7、求过两圆 : x2+y2 -2x-2y-14=0与 : x2+y2 =25的两交点圆中,面积最小的圆的方程
解:
设圆 、 相较于A 、B 两点,过A 、B 的曲线方程可以设为 x 2+y2 -2x-2y-14+ (x2+y2 -25)=0,当 ,此方程表示过A 、B 两点的直线,即 :2x-2y-11=0
当 不等于 ,此方程表示过A 、B 的所有圆( 除外 ,显然当以AB 为直径,此圆面积最小, 、 圆心分别为(1,1) 和(0,0),即两圆心所在直线方程为y-x=0,解方程组,x=y=
2
2
2
2
AB 中点为(
,
) ,而圆
x +y -2x-2y-14+ (x+y -25)=0,圆心为(
5,故面积最小圆方程为4x 2+4y2 -22x-22y+21=0
,解得 -带入方程,此圆的半径为r=
注:切记讨论圆系方程漏掉的哪个圆。 类型二 圆锥曲线系方程
+ =1(c
共焦点圆锥曲线系方程:
为焦半径,
为参数,当 大于0,
表示共焦点椭圆系;当大于负 的平方小于0,为共焦点双曲线;小于负c 的平方,无痕迹。
共离心率圆锥曲线方程: 为共离心率,双曲线变成减号
+ =
+ =
共顶点圆锥曲线方程:
共渐近线双曲线方程:
:
- =
类型三 用直线方程构成的二次曲线方程 若四条直线 :
+
=0 (i=1,2,3,4) ,相交于不共线四点
, L1和L2交于P1; L2和L3交于p2; L3和L4交于P3; L4和L1交于P4
则二次曲线方程
) ()=0,4 表示过此点的所有二次曲线
() ()+(
8、2010江苏高考
在平面直角坐标系xoy 中,如图,已知椭圆
的左、右顶
点为A 、B ,右焦点为F .设过点T (t ,m )的直线TA 、TB 与椭圆分别交于点M (x 1,y 1)、N (x 2,y 2),其中m >0,y 1>0,y 2<0. (1)设动点P 满足PF 2﹣PB 2=4,求点P 的轨迹; (2)设
,求点T 的坐标;
(3)设t=9,求证:直线MN 必过x 轴上的一定点(其坐标与m 无关).
只做第三问
设MN :x=ky+n, 故我们只要求出n 易知 TA:y=(x+3)
TB: :y=(x-3)
AB: y=0
因为椭圆过二次曲线TA TB 与二次曲线AB*MN的四个交点,A,B,M,N ,所以有
【y- 】
项系数得- - 过(1,0)
总结:反设斜率是因为直线MN 可以竖着,不能横着,利用二次型的步骤 1、找出4个点,他们为两个二次曲线交点
2、找出另外一个过这四个点的二次曲线,构造等式; 3、对比系数,求未知数
x 2y 29、椭圆C :2+2=1,
e=,过右焦点F 且垂直于长轴的弦长为1,
a b 21)求椭圆方程C
2)设C 的左右顶点A ,B ,点P 为直线x=1上一动点,PA 、PB 交C 于M 、N ,
x 2
解:1)+y 2=1,过程略
42) 设 P(1,a ) PA y =
a -0a
(x+2) =(x+2)
1-(-2) 3
PB y =-a (x-2)
则 PA·PB (3y-ax-2a )(y+ax-2a)=0 则过A 、B 、 M、N 四点的二次曲线系方程为
x 2y 2
λ(3y -ax -2a )(y+ax -2a )+μ(2+2-1) =0
a b
观察M 、N 、A 、B 四点,我们发现,它们也是另一条二次曲线上的点:AB ·MN ,即x 轴与直线MN! 注意 x轴的直线方程为 y=0! 故,我们只需设出MN 方程 y=kx+b 由上述曲线系方程我们得到
x 2y 2
λ(3y -ax -2a )(y+ax -2a )+μ(2+2-1) =(y y -kx -b )
a b
我们只要分别找出k 、b 即可,对比系数我们得到
-k =3a λ-a λ=2a λ
-b =-6a λ-2a λ=-8a λ
y =-2a λx +8a λ=-2a λ(x -4) , 恒过点(4,0) 证毕。
故MN :
y 2
=1在y 轴正半轴上的焦10、(2011全国卷) 已知O 为坐标原点,F 为椭圆C :x +2
2
点,过 F 且斜率为
的直线l 与C 交于A 、B 两点, 点P 满足++=0. (Ⅰ)证明:点P 在C 上;
(Ⅱ)设点P 关于点O 的对称点为Q ,证明:A 、P 、B 、Q 四点在同一圆上。
解:第一问省略,直接做第二问 由1可知P (
,
),因为P 、O 、Q 三点共线,易求得PQ
的方程为
,又直线AB 方程为
x+1;
故直线AB 、PQ 的二次方程为
x+y-1)=0 A 、P 、B 、Q 的曲线系方程为
(2 )=0
即
x+y-2
= ,带入原式,化简得4 +4
因为
+ -4 大于0,所以此方程表示一个圆,故
A 、P 、B 、Q 四点共圆
A=C≠0,B=0,D ²+E²-4F>0。
最后一个问题
一条直线与一个二次曲线交于A 、B 两点,那么我们可以用0A 表示这个曲线
设直线AB 的方程为 y=kx+m
曲线方程为: ax ²+ by²+cxy+dx+ey+f=0 可以将直线变形成
利用它将曲线方程配成二次,得
ax ²+ by²+cxy+dx*
)=0 ,观察下这个式子,A 、B 在他 上面,他一定能分解成A (y- )(y- ), 这就是过原点两条直线! 如果不能理解,还可以这样看:两边同除x ²,视其为关于的二次方程,解出来的两根就是 ,
由此我们可以得出0A 就是
ax ²+ by²+cxy+dx*
)=0 ! , 就是他们的斜率
由A (y- )(y- )可知
* = x ² 项的系数除y ²项系数; + = -(xy得系数除以y ²的系数) 所有系数均由ax ²+ by²+cxy+dx*
11、抛物线y ²=2px, 过原点的两条直线OA,OB 交抛物线于A 、B 两点,证明AB 过x 轴上一定点。
证明: 设AB : x=my+n )=0 ! 给出。
0A : y²-2px*
(2p,0)
=0, 由OA 垂直OB, * = -1,n=2p ,从而AB, 过定点