二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用
摘要：本文主要通过一些典型例题讲解了二阶线性微分方程解的结构以及在求齐次方程通解中的应用，包括：常数变易法、刘维尔公式法、观察法等。
关键词：解的结构齐次方程通解特解
定义：二阶线性微分方程的一般形式为y″+p（x）y′+q（x）y=
f（x），（1）其中f（x）称为自由项或非齐次项。当f（x）≠0时，方程（1）称为非齐次的，当f（x）≡0时，方程（1）成为y″+p（x）y′+
q（x）y=0，（2）称为齐次的。p（x），q（x）为常数时，称为二阶常系数线性微分方程。下面笔者就对二阶线性微分方程解的结构在求齐次方程通解中的应用作一探讨。
1 二阶线性微分方程解的结构
定理（二阶齐次线性微分方程的通解结构）：如果y1（x），
y2（x）是方程（2）的两个线性无关的解，则Y=c1y1+c2y2(c1，c2为任意常数)也是方程的解。
例1:验证y1=c1cosx+c2sinx （c1，c2为任意常数）是方程
y″+y=0的通解。
证：将y1=cosx，y2=sinx分别代入原方程，容易验证它们都是方程y″+y=0的解。因为■=■=tanx不是常数，即y″+y=0的两个解。y1=cosx，y2=sinx是线性无关的。
因此，由定理知: y=c1cosx+c2sinx是方程y″+y=0的通解。
例2:验证y1=x2，y2=x2lnx都是线性齐次方程x2y″-3xy′+4y=0的解，并写出该方程的通解。
解：因为y1′=2x，y1″=2，则x2y1″-3xy1′+4y1=2x2-6x2+4x2=0，
所以y1=x2是方程的解。
又因为y2′=2xlnx+x，y2″=2lnx+3，则
x2y2″-3xy2′+4y2=x2（2lnx+3）-3x（2xlnx+x）+4x2lnx=0，