圆锥曲线极坐标方程的研究性学习_龙泊廷
2010年第2期 福建中学数学 41
圆锥曲线极坐标方程的研究性学习
龙泊廷 李腊英
湖南省怀化市第一中学 (418000)
2.运用极坐标方程探究圆锥曲线性质 椭圆、双曲线和抛物线可以统一定义为:与
性质1 过圆锥曲线的焦点F 的弦MN 的长一个定点(焦点)和一条直线(准线)的距离之
2ep 比等于常数(离心率)的点的轨迹.由于它们的
. 为|MN |=22
1e cos θ−离心率不同,所以这三种曲线的方程在直角坐标
证明 |MN |=|MF |+|NF | 系下很难统一,给研究有关问题(如焦半径问题)
ep ep 带来不便.极坐标系作为一种研究问题的方法,=+ 1−e cos θ1−e cos(π+θ) 在研究直线、圆、圆锥曲线、螺线、玫瑰线、圆
11⎛⎞柱面等方程形式极其简化,为此课标课程教材中=ep ⎜+⎟ 1−e cos θ1+e cos θ⎠⎝专门用一章介绍极坐标系及其应用,由于多种原
2ep
因这部分选修内容中没有圆锥曲线极坐标方程,=.
1−e 2cos 2θ
而高考中考查圆锥曲线性质是一个重点,其中有
性质2 MN 是过圆锥曲线焦点F 的弦,l 为
些问题若用极坐标方程求解极为便捷.本文介绍
F 对应的准线,且l 与F 所在的对称轴交于K ,
圆锥曲线极坐标方程,研究其若干性质,并用这
2e sin θ
则KF 平分∠MKN ,且tan ∠MKN =. 些性质速解一些高考题. 1−e 2sin 2θ
1.圆锥曲线极坐标方程及推导 |MB |ρsin θ
= 证明 因为tan ∠MKB =
以圆锥曲线的焦点为极点,过该焦点作相应|KB |p +ρcos θ准线的垂线,垂足与焦点连线的延长线为极轴建ep sin θ立极坐标系,则圆锥曲线方程统一的极坐标形式=1−e cos =e sin θ,
ep ep +p ,其中ρ为极径(焦半径),θ为为ρ=1−e cos θ1−e cos θ
ρsin θ
极角,p 为焦点到相应tan ∠NKB = p −ρcos θ
准线间的距离,e 为离ep sin θ
心率.
==e sin θ, 其推导过程如下:ep cos −p 1+e cos θ如图所示,设M 为曲线
所以tan ∠MKB =tan ∠NKB , 上任一点,F 为焦点,l
则∠MKB =∠NKB , 为相应准线,过点F 作FK ⊥l 于K ,作MB ⊥x 轴
2e sin θ于B 点,MA ⊥l 于A 点,|FM |=ρ,∠MFB =θ,. tan ∠MKN =tan 2∠MKB =22
θ−1sin e |MF |
则由圆锥曲线的统一定义得=e ,即ep
|MA |的焦点F 性质3 过圆锥曲线ρ=
1−e cos θ
ep ρ
=e ,所以ρ=…①. BD (若曲线为双曲线,作两条互相垂直的弦AC ,
1−e cos θp +ρcos θ
则四个点位于同一支上),则弦长和|AC |+|BD |
说明 当0
8ep
此时点F 表示左焦点,l 为左准线;当e >1时,的最小值
为(e ≠,最大值为
2−e 2
曲线方程①表示双曲线的右支,此时点F 表示右
2ep (2−e 2)
(e ≠1) .
焦点,l 为右准线,当e =1时,曲线方程①表示
1−e 2
开口向右的抛物线.
42 福建中学数学 2010年第2期
2ep
证明 由性质1可知,|AC |=,
1−e 2cos 2θ
2ep 2ep
=, 同理|BD |=22πe −θ1sin 22
1−e cos (θ+)
211
所以|AC |+|BD |=2ep (+
1−e 2cos 2θ1−e 2sin 2θ
2ep ⎡2−e 2(sin2θ+cos 2θ) ⎤⎣⎦ = 22242
1−e (sinθ+cos θ) +e sin θcos 2θ
2ep (2−e 2)
, =
422
1−e +e sin 2θ
4
π
当sin 2θ=1,即θ=时,
48ep
所求最小值为(e ≠;
2−e 2
当sin 2θ=0,即θ=0时,所求最值大为2ep (2−e )
(e ≠1) .
1−e 2
ep
的焦点
1−e cos θ
F 能作两条互相垂直的弦AC ,BD (若曲线为双
2
x 2y 2
C :2+2=1(a >b >0) ,其相应于焦点F (2,0) 的a b
准线方程为x =4.
(Ⅰ)求椭圆C 的方程; (Ⅱ)已知过点F 1(−2,0) 倾斜角为θ的直线交椭圆C 于A ,
B ,求证:|AB |=
;
2−cos 2θ
(Ⅲ)过点F 1(−2,0) 作两条互相垂直的直线分别交椭圆C 于A ,B 两点和D ,E ,求|AB |+|DE |的最小值.
a 2
=4,解 (Ⅰ)由题意得c =2,c
a 2=b 2+c 2,所以a 2=8,b 2=4,则椭圆C 的方x 2y 2
=1; 程为+
84
(Ⅱ
)e =
性质4 若过圆锥曲线ρ=
c ==, a a 2b 2p =−c ==2,
c c
2ep = 22
1−e cos θ由性质1知,|AB |=
曲线,则四个点位于同一支上),则四边形ABCD
的面积的最小值为
2e 2p 2
(e ≠1) . 1−e 2
8e p
(e ≠,最大值为
(2−e 2) 2
2
2
(Ⅲ)由性质3得,所求最小值
为
8ep =. 2
2−e 3
证明 由性质1可得四边形ABCD 的面积为
1
|AC |⋅|BD | 22ep 2ep =⋅ 22
1−e cos θ1−e 2sin 2θ
2e 2p 2
=,
1422
1−e +e sin 2θ
4
π
当sin 2θ=1,即θ=时,所求面积的最小
4
8e 2p 2
(e ≠; 值为
(2−e 2) 2
S =
例2(2007年高考安徽卷·文18) 设点F 是
B 为抛物线G 上抛物线G :x 2=4y 的焦点,设A ,
异于原点的两点,且满足FA ⋅FB =0,延长AF ,BF 分别交抛物线G 于点C ,D ,求四边形
ABCD 面积的最小值.
解 由于e =1,p =2,AC ⊥BD ,所以由性质4得四边形ABCD 面积的最小值为
8e 2p 2
=8p 2=32. 22
(2−e )
例3(2005年高考全国卷Ⅱ·文22)
y 2
P ,Q ,M ,N 四点都在椭圆x +=1上,F 为椭
2
圆在y 轴正半轴上的焦点.已知PF 与FQ 共线, MF 与FN 共线,且PF ⋅MF =0.求四边形PMQN
2
当sin 2θ=0,即θ=0时,所求面积的最大
2e 2p 2
(e ≠1) . 值为
1−e 2
的面积的最小值和最大值.
解 由于a 2=2,b 2=1,所以c =
1,e =
,
3.性质的若干应用
例1 (2008年高考安徽卷·文22) 已知椭圆
2010年第2期 福建中学数学 43
b 2p ==1,由条件知PQ ⊥MN ,四边形PMQN 的
c
8e 2p 216
S min ==由性质4可知,,面积记为S ,
(2−e 2) 29S max
2e 2p 2==2. 1−e 2
x 2y 2
b =a −c =27,椭圆方程为+=1;
3627
1
(Ⅱ)证明 e =,p =12−3=9,椭圆的
29
极坐标方程为ρ=,
2−cos θ
111
++则
|FP |||||FP FP 123
2
2
2
例4(2007年高考重庆卷·理22)中心在原
点O 的椭圆的右准点为F (3,0) ,右准线l 的方程为x =12.
(Ⅰ)求椭圆的方程; (Ⅱ)在椭圆上任取三个不同点P 1、P 2、P 3,
11
使∠P +1FP 2=∠P 2FP 3=∠P 3FP 1,
|FP |||FP 12
1
为定值,并求此定值. +
|FP 3|
a 2
=12,得a =6,解 (Ⅰ)c =3,c
=
2−cos θ
+92=. 3
2−cos(
2π2π+θ) 2−cos(−θ) 33+ 99
以上例题运用极坐标解法比运用直角坐标
系下方程解法明显简单方便,因而较好诠释了极坐标的应用价值,充分体现了极坐标的工具性优势.
到底怎样才是“相互独立”
沈继峰
湖北省安陆第二中学(432600)
在改卷过程中发现,第(I )问学生的求解结在本市高三“二统”考试中有这样一道试题:
1+1+2+1某研究所试制出一大批特种陶瓷刀,他们从这批
= 果基本上都是正确的,即P (y =5) =
50产品中随机抽取了50个样本,检测它们的硬度
10+7+14和耐磨度.硬度和耐磨度各分为5个档次,检测,P (x ≥3,.对于第(II )y =3) ==105025结果如下表.如表中所示硬度为5、耐磨度为4
问,绝大部分学生这样解:
的刀具有3把.若在该批产品中任选一把刀具,
事件“从这一大批产品中任意取出3把刀具,
其硬度记为x ,耐磨度记为y .
则这3把刀具至少有2把的耐磨度为5”包含2个
(I )试根据这50个样本估y =5的概率是多
基本事件.即事件A :取出的3把刀具中有2把
少?x ≥3且y =3的概率是多少?
的耐磨度为5,事件B :取出的3把刀具的耐磨
(II )若从这一大批产品中任意取出3把刀
度都为5.
具,则这3把刀具至少有2把的耐磨度为5的概
21
C 5C 45
, 而P (A ) =45=C 501960
C 31, P (B ) =35=C 501960
23故P =P (A ) +P (B ) =. 980这种解法乍一看,似乎有其合理性,至少从
算式看,学生是读懂了上表的.但仔细一思考,