初中分式方程知识点及训练
二、分式方程
考点一:分式方程的概念
分式方程:分母里含有未知数的方程叫做分式方程.
注意:分式方程与整式方程都是含有未知数的等式,它们的根本区别就在于分母中是否含有未知数.
例1. 下列关于x的方程,其中不是分式方程的是 ( ) A.1ab1b1axax1xnxma1 B. C. D. xaaxbxabxmxn考点二:解分式方程
1. 解分式方程的基本思路是:把分式方程的分母去掉,使分式方程化成整式方程,再利用整式方程的解法求解.
2. 解分式方程的一般方法和步骤:
转化 解方程 代入最简公分母
整式方程 得出方程的解 (去分母) 验根
例2. 解方程:2x1 xx3
针对训练:
1. 解方程:
2. 解方程:
3. 解方程:
2x53 x22xx32 x11xx2x210. x1x
xx4. 解方程:20. x1x1
2
x15.解方程:x2
2x120. x
考点三:方程的增根
1.解分式方程产生增根的原因是将分式方程进行去分母造成的.根据等式的性质,等式的两边都乘以(或除以)同一个不为零的数(或整式),所得结果仍然是等式.这就是说,方程两边不能乘以(或除以)零.但解方程的过程中,因为事先一般不知道这个整式的值是否为零,如果在方程两边同时乘以的整式为零,就使方程产生了增根.
说明:分式方程的增根同时满足两个条件:其一是由分式方程化成的整式方程的根;其二是能使分式方程的最简公分母为零.
3. 增根在分式方程中的应用:由增根求参数的值.
解答思路:
(1) 将原方程化为整式方程(两边同时乘以最简公分母).
(2) 确定增根(题目已知或使分母为零的未知数的值)
(3) 将增根代入变形后的整式方程,求出参数.
2m3有增根,则m的值为( ) x44m
A. 2 B.2 C. 2 D.4 例3. 若关于x的方程
针对训练:
1. 若分式方程6
x1x1m1有增根,则它的增根是( ) x1
A.0 B.1 C. 1 D.1和1
a1的解是负数,则a的取值范围是 ( ) x1
A. a1 B. a1且a0 C. a1 D. a1且a0 例4.关于x的方程
针对训练:
1.已知关于x的方程2xm3的解是正数,则m的取值范围为 . x2
xm2
22.若关于x的方程无解,则m的值为 . x3x3
3.若方程32有负根,则k的取值范围是 . x3xk
例5.某花圃用花盆培育某种花苗,经过实验发现每盆的盈利与每盆的株数构成一定的关系,每盆植入3株时,平均单株赢利3元;以同样的栽培条件,若每盆每增加1株,平均单株赢利就减少0.5元.要使每盆的赢利达到10元,每盆应该植多少株?
针对训练:
1. 某工厂承担了加工2100个机器零件的任务,甲车间单独加工了900个零件后,由于任
务紧急,要求乙车间与甲车间同时加工,结果比原计划提前12天完成任务.已知乙车间的工作效率是甲车间的1.5倍,求甲、乙两车间每天加工零件各多少个?
2.为了提高产品的附加值,某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投入市场.现在有甲、乙两个工厂都具备加工能力,公式派出相关人员分别到这两个工厂了解情况,获得如下信息:
信息一:甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天; 信息二:乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.
根据以上信息,求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品?
3金泉街道改建工程指挥部对某路段工程进行招标,接到了甲、乙两个工程队的投标书.从投标书中得知:甲单独完成这项工程所需天数是乙队单独完成这项工程所需天数的2;若由3甲队先做10天,剩下的工程再由甲、乙两队合作30天可以完成.
(1) 求甲、乙两队单独完成这项工程各需要多少天?
(2) 已知甲队每天的施工费用为0.84万元,乙队每天的施工费用为0.56万元,工程预
算的施工费用为50万元.为缩短工期以减少对住户的影响,拟安排甲、乙两队合作完成这项工程,则工程预算的施工费用是否够用?若不够用,需要追加预算多少万元?请给出你的判断并说明理由.
4.大连国际动漫节开幕前,某动漫公司预测某种动漫玩具能够销售,就用32000元购进了一批这种玩具,上市后很快脱销,动漫公司又用68000元购进第二批这种玩具,所购数量是第一批购进数量的2倍,但每套进价多了10元.该动漫公司两次共购进了这种玩具多少套?