旋转教材分析
第二十三章 旋转 教材分析 2007.9.13
一、本章地位
本章学习第三种图形变换——旋转. 旋转变换在平面几何中有着广泛的应用，特别是在解（证）有关等
腰三角形（主要是等腰直角三角形、等边三角形）以及正方形等问题时，更是经常用到的思维方法. 此前，学生已学习了平移、轴对称两种图形变换，对图形变换已具有一定的认识，通过本章的学习，学生对图形变换的认识会更完整，同时，也能对平移、轴对称有更深的认识. 二、课程学习目标 1、课标要求
⑴通过具体实例认识旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质．
⑵了解平行四边形、圆是中心对称图形．
⑶能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形． ⑷欣赏旋转在现实生活中的应用．
⑸探索图形之间的变化关系（轴对称、平移、旋转及其组合）． ⑹灵活运用轴对称、平移和旋转的组合进行图案设计． 2、2007年中考说明中对旋转的要求
基本要求：通过具体实例认识图形的旋转，探索它的基本性质，理解对应点到旋转中心的距离相等、对应点
与旋转中心连线所成的角彼此相等的性质；会识别中心对称图形.
略高要求：能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形，能依据旋转后的图形，指出旋转中心和旋转角. 较高要求：能运用旋转的知识解决简单的计算问题；运用旋转的知识进行图案设计；与其他变换共同解决实
际问题.
四、课时安排
23.1图形的旋转 2课时
23.2中心对称 3课时
23.3课题学习 图案设计 2课时 （建议1课时） 小结 1课时 （建议2课时）
五、学法教法建议
1、明确学习图形变换的大致思路 ⑴通过具体实例认识图形变换； ⑵探索图形变换的性质；
⑶依据图形变换的性质进行作图、计算和证明；
⑷利用图形变换进行图案设计； ⑸用坐标表示图形变换.
本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的. 关于⑸，本章只涉及用坐标表示中心对称. 2、注意联系实际
旋转与现实生活联系紧密，为此，在教学中应列举了大量实例来使学生认识和感受它们，增强学生对旋转的理解. 利用图形变换进行图案设计、解决实际问题又加强了图形变换与现实生活的联系．
3、注意培养动手操作的意识
教材在探索旋转的性质（P63探究）、中心对称的性质（P69探究）以及如何设计图案最美观（P78数学
活动1）等问题时，安排了转动硬纸板、转动三角板、转动模板等应用动手操作来探索结论的内容. 动手操作是解决问题的一种方法，应加强学生主动进行动手操作的意识. 4、注意探索结论
教材在发现旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的点的坐标特征、图形之间的变换关系、如何设计图案最美观、从坐标的角度揭示中心对称与轴对称的关系等问题中，设置了探究活动，注意结论的探索过程. 在教学中，应充分利用这些资源，进行开放式探究，重视培养学生观察、发现、归纳、说理等综合能力. 5、注意概念之间的联系 ⑴平移、旋转、轴对称
学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致，主要都是研究变换过程中的不变量，是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换，只改变图形的位置，不改变图形的
⑵旋转与中心对称
.
⑶中心对称与轴对称
.
与轴对称的关系. 作点A关于x轴的对称点B，作点B关于y
轴的对称点C，则点A与点C关于原点对称. 由此可知，将一
点作上述两次轴对称变换相当于作出这个点关于原点的对称点. ⑷两个图形成中心对称与中心对称图形
⑸中心对称图形与轴对称图形
6、注意用计算机辅助教学
利用几何画板的旋转功能，可以方便地作出一个图形绕某一点旋转某个角度后的图形.利用几何画板的度量功能，可以发现旋转变换中的不变量；关于原点对称的点的坐标特征. 进行图案设计时，利用计算机，可以让学生直观地看到改变旋转中心、旋转角会出现不同的效果. 同时利用计算机，可以直观地看到图形运动变换的过程. 7、从变换的角度重新认识几何图形，建立图形变换的意识. 图形变换是对几何图形认识方法上的一种改变，应有意识地从图形变换的角度分析图形. 平移、轴对称、
旋转变换，都可以在不改变图形性质的前提下，把图形移动，从而使问题的条件集中或者使图形更易于研究. 从图形变换的角度思考问题，可以使问题更加明确. 特别是当图形进行运动变化的时候，因为图形变换本身就是一种运动，从变换的角度更容易发现不变的量，从而更容易解决一般化的问题. 图形变换可以提供添加辅助线构造全等的方法，我们平时常见的辅助线：作平行线、截长补短、倍长中线等等，它们的实质就是在作平移、轴对称、旋转变换，目的是移动图形，集中条件，解决问题. 六、相关例题
1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角，探索图形之间的变换关系. 例1、如图1，ΔACB与ΔADE都是等腰直角三角形，∠ACB 和∠ADE都是直角，点C在AE上，如果ΔACB
经逆时针旋转后能与ΔADE重合.
①请指出其旋转中心与旋转角度；
②用图1作为基本图形，经过怎样的旋转可以得到图2？
答案：①旋转中心：点A； 旋转角度：45°（逆时针旋转）
②以点A为旋转中心，将图1顺时针（或逆时针）
旋转90°三次得到图2.
例2、(2006四川眉山)数学课上，老师让同学们观察如图所示的图形， 问：它绕着圆心O旋转多少度后和它自身重合？甲同学说：45°； 乙同学说：60°；丙同学说：90°；丁同学说：135°. 以上四位同 学的回答中，错误的是（ B ）
A．甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁
例3、如图，在平面直角坐标系中，△ABC和△DEF为等边三角形，AB=DE，点B、C、D在x轴上，点A、
E、F在y轴上，下面判断正确的是（ A ）
A．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
B．△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
C．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的 D．△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
例4、以图1的边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后，
（
图1 B C D 2、利用旋转、中心对称的性质作图.
例5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1个
单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上 (每个小方格的顶点叫格点).画出△ABC绕点O 顺时针旋转
90°后的△A1B1C
1，并求AA1的长.
答案：AA1
=26
例6、(2007江苏扬州)如图，△ABC中A(-2，3)，B(-3，1)，
C(-1，2)．
⑴将△ABC向右平移4个单位长度，画出平移后的△A1B1⑵画出△ABC关于x轴对称的△A2B2C2；
⑶画出△ABC关于原点O对称的△A3B3C3；
⑷在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中，
△______与△______成轴对称，对称轴是______；
△______与△______成中心对称，对称中心的坐 标是______．
答案：⑷△A2B2C2与△A3B3C3成轴对称，对称轴是y轴．
△A3B3C3与△A1B1C成中心对称，对称中心的坐标是( 例7、如图，△A’B’C’是△ABC旋转后得到的图形，
请确定旋转中心、旋转角.
答案：∵对应点到旋转中心的距离相等，即OA=O A’ ∴O点在AA’的垂直平分线上 A ）
同理O点也在BB’的垂直平分线上
∴两条垂直平分线的交点O就是旋转中心，∠AOA’的度数就是旋转角． 例8、如图，已知△ABC与△DEF关于某一点对称，作出对称中心.
D
注：确定关于某点成中心对称的两个图形的对称中心的方法：
⑴利用中心对称的性质：对称点所连线段被对称中心所平分，所以连接任意一对对称点，取这条线段的中点，则该点即为对称中心.
⑵利用中心对称的性质：对称点所连线段都经过对称中心，所以连接任意两对对称点，则这两条线段的交点即为对称中心.
3、中心对称图形的概念.
例9、(2006江苏南京)下列图形中，是中心对称图形的是（ A ）
A.菱形 B.等腰梯形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形
例10、(2007湖南郴州)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ A ）
A． B． C． D．
例11、(2007上海)如图是4 4正方形网格，请在其中选取一个白色的单位正方形并涂黑，使图中黑色部分是一
个中心对称图形．
答案：
例12、已知：如图甲，试用一条直线把图形分成面积相等的两部分（至少三种方法）.
甲(3)
注：过中心对称图形的对称中心的任意一条直线，将该图形分成完全相同的两部分. 当然其面积也相等. 解决这
类问题时，关键是将图形转化成两个中心对称图形（如果原图形本身就是中心对称图形，则直接过对称中心作直线即可），再由两点确定一条直线，过两个对称中心画直线即满足条件. 4、综合利用平移、轴对称、旋转变换进行图案设计.
例13、请用4块图1中的图形设计一个中心对称图形，把设计的图形画在下面10×10的方格中．（要求：以点
O为对称中心）
图1
答案：
5
例
14、(2007江苏扬州)板沿OB
向旋转22°
例15、(2007山东日照)如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A
逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积 C'
等于
例16、(2007四川成都)如图，将一块斜边长为12cm，∠B=60°的 直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A’B’C’ 的位置，再沿CB向右平移，使点B’刚好落在斜边AB上，
那么此三角板向右平移的距离是6 23cm．
A’
C
D
B
3．
3
C(C’) 例17、(2007浙江义乌)如图1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图2），量得它们
的斜边长为10cm，较小锐角为30°，再将这两张三角纸片摆成如图3的形状，但点B、C、F、D在同一条直线上，且点C与点F重合（在图3 ~ 图6中统一用F表示）
A C E
D B F （图1） （图2） （图3）
小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决.
⑴将图3中的△ABF沿BD向右平移到图4的位置，使点B与点F 重合，请你求出平移的距离； ⑵将图3中的△ABF绕点F顺时针方向旋转30°到图5的位置，A1F交DE于点G，请你求出线段FG的长度；
⑶将图3中的△ABF沿直线AF翻折到图6的位置，AB1交DE于点H，请证明：AH=DH
（图4） （图5） （图6）
答案：⑴平移的距离为5cm
5cm 2
⑶证△AHE≌△DHB1（AAS） ∴AH=DH
⑵FG
6、运用图形变换的思想解决问题. 例18．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD，连结DC，以DC为边作等边△DCE．B、
E在C、D的同侧，若AB＝2，则BE＝
A B
D
E
注：从图形变换的角度思考问题，可以使问题简化，一目了然.
例19、如图，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB于P，若四边形ABCD的面积是
16，求DP的长.
F D
C
APB
例20、(2007朝阳一模)已知：如图①，△ABC是等边三角形，四边形BDEF是菱形，其中DF=DB，连接AF、
CD．
⑴观察图形，猜想AF与CD之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不必证明；
⑵将菱形BDEF绕点B 按顺时针方向旋转，使菱形BDEF的一边落在等边△ABC内部，在图②中画出一个变换后的图形，并对照已知图形标记字母，请问：⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
⑶在上述旋转过程中，AF、CD所夹锐角的度数是否发生变化？若不变，请你求出它的度数，并说明你的理由；若改变，请说明它的度数是如何变化的．
图② 图①
F答案：⑴AF=CD．
⑵变换后的菱形BDEF如图，结论AF=CD仍然成立． ⑶不变化；60°．
注：从图形变换的角度解决运动变化的问题，更容易发现不变的量，从而容易解决一般化的问题.
例21、如图，已知梯形ABCD中，AD∥BC，∠B = 90°，AD = 3，BC = 5，AB = 1，把线段CD绕点D逆时针
旋转90 °到DE位置，连结AE，则AE的长为 25 .
E
AB
C
例22、如图，设P是等边三角形ABC内一点，PB=3，PA=4，PC=5，求∠APB的度数.
答案：∠APB=150°
注：PA、. 根据旋转的性质“对应点到旋转中B心的距离相等”，旋转后可得到等腰三角形，如果旋转60°，可得到等边三角形．
例23、如图，在四边形ABCD中，∠ABC＝30°，∠ADC＝60°，AD=CD. 求证：BD2=AB2+BC2.
例24、如图，已知△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90，E、F是BC边上点，且∠EAF=45°.
D
C
B
求证：BE2+CF2=EF2
A
B
E
F
C
例25、(2007朝阳二模)已知：如图1，Rt ABC中，∠ACB=90°， D为AB中点，DE、DF分别交AC于E,
交BC于F，且DE⊥DF.
⑴如果CA=CB，求证：AE2+BF2=EF2；
⑵如图2，如果CA
例26、(2006黑龙江)已知∠AOB=90°，在∠AOB的平分线OM上有一点C，将一个三角板直角顶点与点C重
合，它的两条直角边分别与OA、OB（或它们的反向延长线）相交于点D、E. 当三角板绕点C旋转到
CD与OA垂直时(如图1)，易证：OD+OE=2OC. 当三角板绕点C旋转到CD与OA不垂直时，在图2、图3这两种情况下，上述结论是否还成立？若成立，请给与证明；若不成立，线段OD、OE、OC之间又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需要证明.
图
2
答案：图2结论：OD+OE=2OC
图3结论：OE-OD=2OC
，．将一个最短边长大于2例27、(2007北京)在平面直角坐标系xOy中，OEFG为正方形，点F的坐标为(11)
的直角三角形纸片的直角顶点放在对角线FO上．
⑴如图，当三角形纸片的直角顶点与点F重合，一条直角边落在直线FO上时，这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分（即阴影部分）的面积为 ；
⑵若三角形纸片的直角顶点不与点O，F重合，且两条直角边与正方形相邻两边相交，当这个三角形纸片与正方形OEFG重叠部分的面积是正方形面积的一半时，试确定三角形纸片直角顶点的坐标（不要求写出求解过程），并画出此时的图形．
例28、如图，已知△ABC．
⑴请你在BC边上分别取两点D，E（BC的中点除外），连结AD，AE，写出使此图中只存在两对面积相．．．．．
等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； ⑵请你根据使⑴成立的相应条件，证明：AB+AC>AD+AE．
C
B
D
E
C
图1
图2