排列组合和二项式定理及概率统计知识点
排列组合二项定理 知识要点
一、两个原理.
1. 乘法原理、加法原理. 2. 可以有重复元素的排列. .......
从m个不同元素中,每次取出n个元素,元素可以重复出现,按照一定的顺序排成一排,那么第一、第二……第n位上选取元素的方法都是m个,所以从m个不同元素中,每次取出n个元素可重复排列数m·m·… m = mn.. 例如:n件物品放入m个抽屉中,不限放法,共有多少种不同放法? (解:m种)
二、排列.
1. ⑪对排列定义的理解.
定义:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素,按照一定顺序排成一列,叫做从n个不同......元素中取出m个元素的一个排列. ⑫相同排列.
如果;两个排列相同,不仅这两个排列的元素必须完全相同,而且排列的顺序也必须完全相同.
⑬排列数.
从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素排成一列,称为从n个不同元素中取出m个元素的
m
一个排列. 从n个不同元素中取出m个元素的一个排列数,用符号An表示.
n
⑭排列数公式:
Amn(n1)(nm1)
n!
(mn,n,mN)
(nm)!
注意:nn!(n1)!n! 规定0! = 1
mmmm1mm1mm10
An 规定CnCnAnnAnn1 1AnAmCnAnmAn1
2. 含有可重元素的排列问题. ......
对含有相同元素求排列个数的方法是:设重集S有k个不同元素a1,a2,…...an其中限重复数为n1、n2……nk,且n = n1+n2+……nk , 则S的排列个数等于n
n!
.
n1!n2!...nk!
例如:已知数字3、2、2,求其排列个数n(12)!3又例如:数字5、5、5、求其排列个
1!2!数?其排列个数n3!1.
3!
三、组合.
1. ⑪组合:从n个不同的元素中任取m(m≤n)个元素并成一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.
Amn(n1)(nm1)n!m
⑫组合数公式:Cn Cnm
m!m!(nm)!Am
m
n
⑬两个公式:①CnC
m
nmn;
②C
m1mm
CCnnn1
①从n个不同元素中取出m个元素后就剩下n-m个元素,因此从n个不同元素中取出 n-m个元素的方法是一一对应的,因此是一样多的就是说从n个不同元素中取出n-m个元素的唯一的一个组合.
(或者从n+1个编号不同的小球中,n个白球一个红球,任取m个不同小球其不同选法,
1m1m
分二类,一类是含红球选法有CmnC11Cn一类是不含红球的选法有Cn)
②根据组合定义与加法原理得;在确定n+1个不同元素中取m个元素方法时,对于某一元素,只存在取与不取两种可能,如果取这一元素,则需从剩下的n个元素中再取m-1个元
1
素,所以有Cmn,如果不取这一元素,则需从剩余n个元素中取出m个元素,所以共有
Cn种,依分类原理有C
m
m1mm
CCnnn1.
⑭排列与组合的联系与区别.
联系:都是从n个不同元素中取出m个元素.
区别:前者是“排成一排”,后者是“并成一组”,前者有顺序关系,后者无顺序关系. ⑮①几个常用组合数公式 012nCnCnCnn2 n
024135CnCnCnCnCnCn2n1mmmm1CmnCm1Cm2CmnCmn1k1kCknCnn1
11k1
CkCnn1
k1n1
②常用的证明组合等式方法例. i. 裂项求和法. 如:
123n1n111
1) (利用2!3!4!(n1)!(n1)!n!(n1)!n!
ii. 导数法. iii. 数学归纳法. iv. 倒序求和法.
m1mC3C4C5CnCn1. v. 递推法(即用CmnCnCn1递推)如:
33334
vi. 构造二项式. 如:(Cn)(Cn)(Cn)C2n
证明:这里构造二项式(x1)n(1x)n(1x)2n其中xn的系数,左边为
01n12n2n00212n2
C2n CnCnnCnCnCnCnCnCn(Cn)(Cn)(Cn),而右边
0212n2n
n
四、排列、组合综合.
1. I. 排列、组合问题几大解题方法及题型: ①直接法.
22
②排除法. n个不同座位,例:A、B两个不能相邻,则有排列法种数为An. An1
1A2
③捆绑法:在特定要求的条件下,将几个相关元素当作一个元素来考虑,待整体排好之后再考虑它们“局部”的排列.它主要用于解决“元素相邻问题”,例如,②有n件不同商品,若其中
21. 12.③有n件不同商品,若其中有二件要排在一起有A、B排在一起有AnAnAnn1n1A2
④插空法:先把一般元素排列好,然后把待定元素插排在它们之间或两端的空档中,此法主
要解决“元素不相邻问题”.
mm
例如:n个元素全排列,其中m个元素互不相邻,不同的排法种数为多少?An(插nmAnm1
空法),当n – m+1≥m, 即m≤n1时有意义.
2
⑤占位法:从元素的特殊性上讲,对问题中的特殊元素应优先排列,然后再排其他一般元素;从位置的特殊性上讲,对问题中的特殊位置应优先考虑,然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解题原则.
⑥调序法:当某些元素次序一定时,可用此法.解题方法是:先将n个元素进行全排列有Ann种,m(mn)个元素的全排列有Amm种,由于要求m个元素次序一定,因此只能取其中的某一种排法,可以利用除法起到去调序的作用,即若n个元素排成一列,其中m个元素次序一定,共有
AnnAmm
种排列方法.
例如:n个元素全排列,其中m个元素顺序不变,共有多少种不同的排法?
m解法一:(逐步插空法)(m+1)(m+2)…n = n!/ m!;解法二:(比例分配法)Ann/Am.
nn
CknC(k1)nnCn
⑦平均法:若把kn个不同元素平均分成k组,每组n个,共有
Akk
.
C2
例如:从1,2,3,4中任取2个元素将其平均分成2组有几种分法?有43
2!
⑧隔板法:常用于解正整数解组数的问题.
例如:x1x2x3x412的正整数解的组数就可建立组合模型将12个完全相同的球排成一列,在它们之间形成11个空隙中任选三个插入3块摸板,把球分成4个组.每一种方法所得球的数目依次为x1,x2,x3,x4显然x1x2x3x412,故(x1,x2,x3,x4)是方程的一组解.反之,方程的任何一组解(y1,y2,y3,y4),对应着惟一的一种在12个球之间插入隔板的方式(如图
x2 x 4 所示)故方程的解和插板的方法一一对应. 即方程的解的组数等于插隔板
3的方法数C11.
注意:若为非负数解的x个数,即用a1,a2,.a.n.中ai等于xi1,有x1x2x3...xnAa11a21...an1A,进而转化为求a的正整数解的个数为
n1CAn .
⑨定位问题:从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列规定某r个元素都包含在内,并且都排在某r个指定位置则有
r
ArrAknr.
例如:从n个不同元素中,每次取出m个元素的排列,其中某个元素必须固定在(或不固定在)某一位置上,共有多少种排法?
1m1m1
固定在某一位置上:Amn1;不在某一位置上:AnAn1或An1Am1An1(一类是不取出
mm1
特殊元素a,有An1,一类是取特殊元素a,有从m-1个位置取一个位置,然后再从n-1个元素中取m-1,这与用插空法解决是一样的) ⑩指定元素排列组合问题.
i. 从n个不同元素中每次取出k个不同的元素作排列(或组合),规定某r个元素都包含在
krkrkr
内 。先C后A策略,排列CrrCnrAk;组合CrCnr.
m
ii. 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定某r个元素都不包含
k在内。先C后A策略,排列CnrkAkk;组合Cnr.
iii 从n个不同元素中每次取出k个不同元素作排列(或组合),规定每个排列(或组合)都只包含某r个元素中的s个元素。先C后A策略,排列CrCnrAk;组合CrCnr. 2. 组合问题中分组问题和分配问题.
①均匀不编号分组:将n个不同元素分成不编号的m组,假定其中r组元素个数相等,不管是否分尽,其分法种数为A/Ar(其中A为非均匀不编号分组中分法数).如果再有K组r均匀分组应再除以Ak. k
244例:10人分成三组,各组元素个数为2、4、4,其分法种数为C10C8C4/A221575.若分成1122224六组,各组人数分别为1、1、2、2、2、2,其分法种数为C10C9C8C6C4C2/A22A4
sksk
sks
②非均匀编号分组: n个不同元素分组,各组元素数目均不相等,且考虑各组间的顺序,其分法种数为AAm m
例:10人分成三组,各组人数分别为2、3、5,去参加不同的劳动,其安排方法为:
233C10C8C55A3种.
若从10人中选9人分成三组,人数分别为2、3、4,参加不同的劳动,则安排方法有
234C10C8C5A33种
③均匀编号分组:n个不同元素分成m组,其中r组元素个数相同且考虑各组间的顺序,其
m分法种数为A/Ar. rAm
244
C10C8C43
A3 例:10人分成三组,人数分别为2、4、4,参加三种不同劳动,分法种数为
A22
五、二项式定理.
0n01n1rnrrn0n
1. ⑪二项式定理:(ab)nCnabCnabCnabCnab.
展开式具有以下特点: ① 项数:共有n1项;
012r② 系数:依次为组合数Cn,Cn,Cn,,Cn,,Cnn;
③ 每一项的次数是一样的,即为n次,展开式依a的降幕排列,b的升幕排列展开. ⑫二项展开式的通项.
(ab)n展开式中的第r1项为:Tr1Cna
rnrr
b(0rn,rZ).
⑬二项式系数的性质.
①在二项展开式中与首未两项“等距离”的两项的二项式系数相等; ②二项展开式的中间项二项式系数最大. .....n
I. 当n是偶数时,中间项是第1项,它的二项式系数C2n最大;
2
n1n1
II. 当n是奇数时,中间项为两项,即第项和第它们的二项式系数C1项,
22
最大.
n1n12C2nn
n
③系数和:
01n
CnCnCnn2
02413CnCnCnCnCn2n1
附:一般来说(axby)n(a,b为常数)在求系数最大的项或最小的项时均可直接根据性质二求...........
AkAk1,AkAk1
或(Ak为Tk1的系数或系数
AAAAk1k1kk
解. 当a1或b1时,一般采用解不等式组的绝对值)的办法来求解.
⑭如何来求(abc)n展开式中含apbqcr的系数呢?其中p,q,rN,且pqrn把
r
(abc)n[(ab)c]n视为二项式,先找出含有Cr的项Cn(ab)nrCr,另一方面在pqrnqnrqqqpq(ab)nr中含有bq的项为CnrabCnrab,故在(abc)中含abc的项为
rqpqrCnCnrabc.其系数为CnrCnqr
(nr)!n!n!pqr
CnCnpCr.
r!(nr)!q!(nrq)!r!q!p!
2. 近似计算的处理方法.
当a的绝对值与1相比很小且n不大时,常用近似公式(1a)n1na,因为这时展开式的后
2233nn面部分CnaCnaCna很小,可以忽略不计。类似地,有(1a)n1na但使用这两个
公式时应注意a的条件,以及对计算精确度的要求.
概率与统计
一、概率:随机事件A的概率是频率的稳定值,反之,频率是概率的近似值.
1.随机事件A的概率0P(A)1,其中当P(A)1时称为必然事件;当P(A)0时称为不可能事件P(A)=0;
2.等可能事件的概率(古典概率): P(A)=
m。 n
3、互斥事件:(A、B互斥,即事件A、B不可能同时发生)。计算公式:P(A+B)=P(A)+P(B)。 4、对立事件:(A、B对立,即事件A、B不可能同时发生,但A、B中必然有一个发生)。计算公式是:P(A)+ P(B)=1;P(A)=1-P(A);
5、独立事件:(事件A、B的发生相互独立,互不影响)P(A•B)=P(A) • P(B) 。提醒:(1)如果事件A、B独立,那么事件A与、与B及事件与也都是独立事件;(2)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个不发生的概率是1-P(AB)=1-P(A)P(B);(3)如果事件A、B相互独立,那么事件A、B至少有一个发生的概率是1-P()=1-P()P()。
6、独立事件重复试验:事件A在n次独立重复试验中恰好发生了的概率.....k次.
kknkP(k)Cp(1p)(是二项展开式[(1p)p]n的第k+1项),其中p为在一次独立nn
重复试验中事件A发生的概率。
提醒:(1)转化思想和分解(分类或分步)转化思想处理,把所求的事件:转化为等可能事件的概率(常常采用排列组合的知识);转化为若干个互斥事件中有一个发生的概率;利用对立事件的概率,转化为相互独立事件同时发生的概率;看作某一事件在n次实验中恰有k次发生的概率,但要注意公式的使用条件。(2)事件互斥是事件独立的必要非充分条件,反之,事件对立是事件互斥的充分非必要条件;(3)概率问题的解题规范:①先设事件A=“„”, B=“„”;②列式计算;③作答。 二、随机变量.
1. 随机试验的结构应该是不确定的.试验如果满足下述条件:
①试验可以在相同的情形下重复进行;②试验的所有可能结果是明确可知的,并且不止一个;③每次试验总是恰好出现这些结果中的一个,但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果。它就被称为一个随机试验.
2. 离散型随机变量:如果对于随机变量可能取的值,可以按一定次序一一列出,这样的随机变量叫做离散型随机变量.若ξ是一个随机变量,a,b是常数.则ab也是一个随机变量.一般地,若ξ是随机变量,f(x)是连续函数或单调函数,则f()也是随机变量.也就是说,随机变量的某些函数也是随机变量.
设离散型随机变量ξ可能取的值为:x1,x2,,xi,
ξ取每一个值x1(i1,2,)的概率P(xi)pi,则表称为随机变量ξ的概率分布,简称ξ的分布列.
112i注意:若随机变量可以取某一区间内的一切值,这样的变量叫做连续型随机变量.例如:[0,5]即可以取0~5之间的一切数,包括整数、小数、无理数.
3. ⑪二项分布:如果在一次试验中某事件发生的概率是P,那么在n次独立重复试验中这
knk
个事件恰好发生k次的概率是:P(ξk)Ck[其中k0,1,,n,q1p] 于是得到随npq
机变量ξ的概率分布如下:我们称这样的随机变量ξ服从二项分布,记作~B(n·p),
knk其中n,p为参数,并记Ckb(k;np). npq
⑫二项分布的判断与应用.
①二项分布,实际是对n次独立重复试验.关键是看某一事件是否是进行n次独立重复,且每次试验只有两种结果,如果不满足此两条件,随机变量就不服从二项分布.
②当随机变量的总体很大且抽取的样本容量相对于总体来说又比较小,而每次抽取时又只有两种试验结果,此时可以把它看作独立重复试验,利用二项分布求其分布列.
4. 几何分布:“k”表示在第k次独立重复试验时,事件第一次发生,如果把k次试验时事件A发生记为Ak,事A不发生记为Ak,P(Ak)q,那么P(ξk)P(A1A2Ak1Ak).根据相互独立事件的概率乘法分式:P(ξk)P(A1)P(A2)P(Ak1)P(Ak)qk1p(k1,2,3,)于是得到随机变量ξ的概率分布列.
我们称ξ服从几何分布,并记g(k,p)qp,其中q1p.k1,2,3
5.超几何分布:一批产品共有N件,其中有M(M<N)件次品,今抽取n(1nN)件,则其中的次品数ξ是一离散型随机变量,分布列为P(ξk)
kk
CMCNnM
n
CN
(0kM,0nkNM).
r
0,〔分子是从M件次品中取k件,从N-M件正品中取n-k件的取法数,如果规定m<r时Cm
则k的范围可以写为k=0,1,„,n.〕 三、数学期望与方差.
1. 期望的含义:一般地,若离散型随机变量ξ的概率分布为
1122nn数学期望反映了离散型随机变量取值的平均水平.
2. ⑪随机变量ab的数学期望:EE(ab)aEb ⑫单点分布:Ec1c其分布列为:P(
1)c⑬两点分布:E0q1pp,其分布列为:(p + q = 1) ⑭二项分布:E
kk!(nk)!p
n!
k
qn
knp 其分布列为~B(n,p).
⑮几何分布:E
1
其分布列为~q(k,p).(P为发生的概率) p
3.方差、标准差的定义:当已知随机变量ξ的分布列为P(xk)pk(k1,2,)时,则称
D(x1E)2p1(x2E)2p2(xnE)2pn为ξ
的方差. 显然D0,故D.为ξ的
根方差或标准差.随机变量ξ的方差与标准差都反映了随机变量ξ取值的稳定与波动,集中与离散的程度.D越小,稳定性越高,波动越小. ..............4.方差的性质.
⑪随机变量ab的方差D()D(ab)a2D.(a、b均为常数) ⑫单点分布:D0 其分布列为P(1)p ⑬两点分布:Dpq 其分布列为:(p + q = 1) ⑭二项分布:Dnpq ⑮几何分布:D
qp2
四、正态分布.(基本不列入考试范围)
⑪正态分布与正态曲线:如果随机变量ξ的概率密度为:f(x)
12
e
(x)22. (xR,,
为常数,且0),称ξ服从参数为,的正态分布,用~N(,2)表示.f(x)的表达式可简记为N(,2),它的密度曲线简称为正态曲线.
⑫正态分布的期望与方差:若~N(,2),则ξ的期望与方差分别为:E,D2. ⑬正态曲线的性质.
①曲线在x轴上方,与x轴不相交. ②曲线关于直线x对称.
③当x时曲线处于最高点,当x向左、向右远离时,曲线不断地降低,呈现出“中间高、
两边低”的钟形曲线.
④当x<时,曲线上升;当x>时,曲线下降,并且当曲线向左、向右两边无限延伸时,以x轴为渐近线,向x轴无限的靠近.
⑤当一定时,曲线的形状由确定,越大,曲线越“矮胖”.表示总体的分布越分散;
越小,曲线越“瘦高”,表示总体的分布越集中. 3. ⑪标准正态分布:如果随机变量ξ的概率函数为(x)
12e
x22
(x),则称ξ
服从标准正态分布. 即~N(0,1)有(x)P(x),(x)1(x)求出,而P(a<ξ≤b)的计算则是P(ab)(b)(a).
注意:当标准正态分布的(x)的X取0时,有(x)0.5当(x)的X取大于0的数时,有
0.50.5(x)0.5.比如(必然小于0,如图
)0.07930.5则⑫正态分布与标准正态分布间的关系:若~N(,2)则ξ常用F(x)表示,且有P(ξx)F(x)(
4.⑪“3”原则.
假设检验是就正态总体而言的,进行假设检验可归结为如下三步:①提出统计假设,统计假设里的变量服从正态分布N(,2).②确定一次试验中的取值a是否落入范围(3,3).③做出判断:如果a(3,3),接受统计假设. 如果a(3,3),由于这是小概率事件,就拒绝统计假设.
⑫“3”原则的应用:若随机变量ξ服从正态分布N(,2)则 ξ落在(3,3)内的概率为99.7% 亦即落在(3,3)之外的概率为0.3%,此为小概率事件,如果此事件发生了,就说明此种产品不合格(即ξ不服从正态分布).
xμ
). σ
S阴=0.5Sa=0.5+S