初三最值问题

初三最值问题

例1．（2014•三明）如图，在Rt △ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，以BC 为直径的半圆交AB 于点D ，P 是上的一个动点，连接AP ，则AP 的最小值是

．

例

2．（2013•滕州市校级模拟）如图，在△ABC 中，AB=15，AC=12，BC=9，经过点C 且与边AB 相切的动圆与CB 、CA 分别相交于点E 、F ，则线段EF 长度的最小值是（ ）

A ． B ． C ． D ．8

例3．（2011•宁夏）在等腰△ABC 中，AB=AC=5，BC=6．动点M 、N 分别在两腰AB 、AC 上（M 不与A 、B 重合，N 不与A 、C 重合），且MN ∥BC ．将△AMN 沿MN 所在的直线折叠，使点A 的对应点为P ．

（1）当MN 为何值时，点P 恰好落在BC 上？

（2）当MN=x，△MNP 与等腰△ABC 重叠部分的面积为y ，试写出y 与x 的函数关系式．当x 为何值时，y 的值最大，最大值是多少？

例4．如图，已知平行四边形ABCD ，AB=a，BC=b（a ＞b ），P 为AB 边上的一动点，直线DP 交CB 的延长线于Q ，求AP+BQ的最小值．

例5．（2007•苏州校级自主招生）如图，在四边形ABCD 中，AD=DC=1，∠DAB=∠DCB=90°，BC 和AD 的延长线交于P ，求AB •S △PAB 的最小值．

例6．（2013•日照）问题背景：

如图（a ），点A 、B 在直线l 的同侧，要在直线l 上找一点C ，使AC 与BC 的距离之和最小，我们可以作出点B 关于l 的对称点B ′，连接AB ′与直线l 交于点C ，则点C 即为所求．

（1）实践运用：

如图（b ），已知，⊙O 的直径CD 为4，点A 在⊙O 上，∠ACD=30°，B 为弧AD 的中点，P 为直径CD 上一动点，则BP+AP的最小值为 ．

（2）知识拓展：

如图（c ），在Rt △ABC 中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，E 、F 分别是线段AD 和AB 上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．

1．（2009•烟台）如图，将两张长为8，宽为2的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条垂直时，菱形的周长有最小值8，那么菱形周长的最大值是 cm ．

2．（2009•河南）动手操作：在矩形纸片ABCD 中，AB=3，AD=5．如图所示，折叠纸片，使点A 落在BC 边上的A ′处，折痕为PQ ，当点A ′在BC 边上移动时，折痕的端点P 、Q 也随之移动．若限定点P 、Q 分别在AB 、AD 边上移动，则点A ′在BC 边上可移动的最大距离为 ．

3．（2014•苏州）如图，直线l 与半径为4的⊙O 相切于点A ，P 是⊙O 上的一个动点（不与点A 重合），过点P 作PB ⊥l ，垂足为B ，连接PA ．设PA=x，PB=y，则（x ﹣y ）的最大值是 ．

4．（2012•济南）如图，∠MON=90°，矩形ABCD 的顶点A 、B 分别在边OM ，ON 上，当B 在边ON 上运动时，A 随之在边OM 上运动，矩形ABCD 的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D 到点O 的最大距离为（ ）

A ．+1 B ． C ． D ．

5．如图，在等腰Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=8，F 是AB 边上的中点，点D 、E 分别在AC 、BC 边上运动，且保持AD=CE．连接DE 、DF 、EF ．在此运动变化的过程中，下列结论：①△DEF 是等腰直角三角形；②四边形CDFE 可能为正方形；③DE 长度的最小值为4；④四边形CDFE 的面积保持不变；⑤△CDE 面积的最大值为8．其中正确的结论是 ．

6．（2015•怀化校级自主招生）已知正方形ABCD 的边长为1，E 、F 分别为BC 、CD 上的点，且满足BE=CF，则△AEF 的面积的最小值是（ ）

A ． B ． C ． D ．

7．（2015秋•乐亭县期末）在Rt △ABC 中，∠C=90°，P 是BC 边上不同于B 、C 的一动点，过P 作PQ ⊥AB ，垂足为Q ，连接AP ．

（1）试说明不论点P 在BC 边上何处时，都有△PBQ 与△ABC 相似；

（2）若AC=3，BC=4，设BP 长为x ，请用含x 的代数式表示PQ= ；BQ= ；当BP 为何值时，△AQP 面积最大，并求出最大值；

（3）在Rt △ABC 中，两条直角边BC 、AC 满足关系式BC=kAC，是否存在一个k 的值，使Rt △AQP 既与Rt △ACP 全等，也与Rt △BQP 全等，并说明理由．

8．（2010•鄂州）工程师有一块长AD 为12分米，宽AB 为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH ，M 必须在线段EF 上．

（1）若截得矩形MGCH 的面积为70平方分米，求矩形MGCH 的长和宽．

（2）当EM 为多少时，矩形MGCH 的面积最大？并求此时矩形的周长．

9．（2011•阜宁县模拟）如图，直角三角形ABC 中，∠C=90°，AC=1，BC=2，P 为斜边AB 上一动点．PE ⊥BC ，PF ⊥CA ，则线段EF 长的最小值为 ．

10．（2013•和平区二模）如图，线段AB 的长为2，C 为AB 上一个动点，分别以AC 、BC 为斜边在AB 的同侧作两个等腰直角三角形△ACD 和△BCE ，那么DE 长的最小值是（ ）

A ． B ．1 C ． D ．

11．（2010•襄城区自主招生）如图，已知矩形ABCD 中，AB=12，AD=3，E 、F 分别为AB 、DC 上的两个动点，则AF+FE+EC的最小值为 ．

12．（2014•无锡）如图，已知点P 是半径为1的⊙A 上一点，延长AP 到C ，使PC=AP，以AC 为对角线作▱ABCD ．若AB=，则▱ABCD

面积的最大值为 ．

13．（2014•随州）如图1，正方形纸片ABCD 的边长为2，翻折∠B 、∠D ，使两个直角的顶点重合于对角线BD 上一点P ，EF 、GH 分别是折痕（如图2）．设AE=x（0＜x ＜2），给出下列判断：

①当x=1时，点P 是正方形ABCD 的中心；

②当x=时，EF+GH＞AC ；

③当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 面积的最大值是

④当0＜x ＜2时，六边形AEFCHG 周长的值不变．

其中正确的是 （写出所有正确判断的序号）． ；

14．已知△ABC 的内切圆半径为r ，∠A=60°，，则r

的取值范围是

．

16．（2011•南充自主招生）如图所示，正方形ABCD 的边长为1，点M 、N 分别在BC 、CD 上，使得△CMN 的周长为2．

求：（1）∠MAN 的大小；

（2）△MAN 面积的最小值．

17．（2014•海南）如图，对称轴为直线x=2的抛物线经过A （﹣1，0），C （0，5）两点，与x 轴另一交点为B ．已知M （0，1），E （a ，0），F （a+1，0），点P 是第一象限内的抛物线上的动点．

（1）求此抛物线的解析式；

（2）当a=1时，求四边形MEFP 的面积的最大值，并求此时点P 的坐标；

（3）若△PCM 是以点P 为顶点的等腰三角形，求a 为何值时，四边形PMEF 周长最小？请说明理由．

18．如图，已知正方形ABCD 的边长为1，过顶点C 的直线与射线AB 、AD 分别交于点P ，Q ．求

的最大值．