等比数列课件
等比数列精品课程(一)
a 1=1⎧
⎪
例1 设数列{a n }满足⎨写出这个数列的前五项。 1
⎪a n =1+a (n >1).
n -1⎩
解:分析:题中已给出{a n }的第1项即a 1=1,递推公式:a n =1+
1a n -1
解:据题意可知:a 1=1, a 2=1+[补充例题]
158112
=, a 5= =2, a 3=1+=,a 4=1+
a 335a 1a 23
例2已知a 1=2,a n +1=2a n 写出前5项,并猜想a n .
2n
法一:a 1=2 a 2=2⨯2=2 a 3=2⨯22=23,观察可得 a n =2
法二:由a n +1=2a n ∴a n =2a n -1 即
a n
=2 a n -1
∴
a n a n -1a n -2a ⨯⨯⨯ ⨯2=2n -1 a n -1a n -2a n -3a 1
n -1
∴ a n =a 1⋅2
=2n
[补充练习]
1.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式 (1) a 1=0, a n +1=a n +(2n-1) (n∈N) ; (2) a 1=1, a n +1=
2a n
(n∈N) ;
a n +2
(3) a 1=3, a n +1=3a n -2 (n∈N).
解:(1) a 1=0, a 2=1, a 3=4, a 4=9, a 5=16, ∴ a n =(n-1) ; (2) a 1=1, a 2=
2
1212222, a 3==, a 4=, a 5==, ∴ a n =; 352436n +1
1
2
(3) a 1=3=1+2⨯3, a 2=7=1+2⨯3, a 3=19=1+2⨯3,
a 4=55=1+2⨯33, a 5=163=1+2⨯34, ∴ a n =1+2·3n -1;
1.等比数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列. 这个常数叫做等比数列的公比;公比通常用字母q 表示(q ≠0),即:
1︒“从第二项起”与“前一项”之比为常数(q) {a n }成等比数列⇔
a n
=q (q ≠0) a n -1
a n +1+
=q (n ∈N , q ≠0) a n
2︒ 隐含:任一项a n ≠0且q ≠0
“a n ≠0”是数列{a n }成等比数列的必要非充分条件. 3︒ q= 1时,{an }为常数。
2. 等比数列的通项公式1: a n =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) 由等比数列的定义,有:
a 2=a 1q ;
a 3=a 2q =(a 1q ) q =a 1q 2; a 4=a 3q =(a 1q 2) q =a 1q 3;
„ „ „ „ „ „ „
a n =a n -1q =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) 3. 等比数列的通项公式2: a n =a m ⋅q m -1(a 1⋅q ≠0) 4.既是等差又是等比数列的数列:非零常数列 等比数列与指数函数的关系:
等比数列{a n }的通项公式a n =a 1⋅q n -1(a 1⋅q ≠0) , 它的图象是分布在曲线y =立的点。
当a 1>0,q >1时,等比数列{a n }是递增数列; 当a 10,01时,等比数列{a n }是递减数列;
当q
a 1x
q (q>0)上的一些孤q
2. (1) 一个等比数列的第9项是
(2)一个等比数列的第2项是10,第3项是20,求它的第1项与第4项(答案:a 1=
1.等比中项:如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a , G ,b 成等比数列,那么称这个数G 为a 与b 的等比中项. 即G =±(a , b 同号)
如果在a 与b 中间插入一个数G ,使a , G ,b 成等比数列,则反之,若G =ab , 则
2
41
,公比是-,求它的第1项(答案:a 1=2916) 93
a 2
=5, a 4=a 3q =40) q
G b
=⇒G 2=ab ⇒G =±ab , a G
G b 2
=,即a , G , b 成等比数列。∴a , G , b 成等比数列⇔G =ab (a ·b ≠0) a G
例题 证明:设数列{a n }的首项是a 1,公比为q 1; {b n }的首项为b 1,公比为q 2,那么数列{a n ⋅b n }是等比数列:
第n 项与第n+1项分别为:
a 1⋅q 1
n -1
⋅b 1⋅q 2与a 1⋅q 1⋅b 1⋅q 2即为a 1b 1(q 1q 2)
n -1n n n -1
a n +1⋅b n +1a 1b 1(q 1q 2) n
==q 1q 2. 与a 1b 1(q 1q 2)
a n ⋅b n a 1b 1(q 1q 2) n -1
n
它是一个与n 无关的常数,所以{a n ⋅b n }是一个以q 1q 2为公比的等比数列 拓展探究:
对于例题中的等比数列{a n }与{b n },数列{
a n
}也一定是等比数列吗? b n
a n a ,则c n +1=n +1 b n b n +1
探究:设数列{a n }与{b n }的公比分别为q 1和q 2,令c n =
∴
a c n +1n +1a b q
==(n +1) (n +1) =1,所以,数列{n }也一定是等比数列。
a n b n c n a n b n q 2
n
2
2
a n +1
已知数列{a n }是等比数列,(1)a 5=a 3a 7是否成立?a 5=a 1a 9成立吗?为什么?
(2)a n =a n -1a n +1(n >1) 是否成立?你据此能得到什么结论?
2a n =a n -k a n +k (n >k >0) 是否成立?你又能得到什么结论?
2
结论:2.等比数列的性质:若m+n=p+k,则a m a n =a p a k 在等比数列中,m+n=p+q,a m , a n , a p , a k 有什么关系呢?
由定义得:a m =a 1q m -1 a n =a 1q n -1 a p =a 1q p -1 a k =a 1⋅q k -1
a m ⋅a n =a 1q m +n -2 ,a p ⋅a k =a 1q p +k -2则a m a n =a p a k
1、 等比数列的前n 项和公式:
22
a -a n q a 1(1-q n )
当q ≠1时,S n = ① 或S n =1 ②
1-q 1-q
当q=1时,S n =na 1
当已知a 1, q, n 时用公式①;当已知a 1, q, a n 时,用公式②.
公式的推导方法一:
一般地,设等比数列a 1, a 2+a 3, a n 它的前n 项和是
S n =a 1+a 2+a 3+ a n
⎧S n =a 1+a 2+a 3+ a n
由⎨ n -1
⎩a n =a 1q
2n -2n -1
⎧⎪S n =a 1+a 1q +a 1q + a 1q +a 1q 得⎨ 23n -1n
⎪⎩qS n =a 1q +a 1q +a 1q + a 1q +a 1q
∴(1-q ) S n =a 1-a 1q n
a -a n q a 1(1-q n ) ∴当q ≠1时,S n = ① 或S n =1 ②
1-q 1-q
当q=1时,S n =na 1
公式的推导方法二:
有等比数列的定义,
a a 2a 3
== =n =q a 1a 2a n -1
根据等比的性质,有
a 2+a 3+ +a n S -a 1
=n =q
a 1+a 2+ +a n -1S n -a n
即
S n -a 1
=q ⇒(1-q ) S n =a 1-a n q (结论同上)
S n -a n
围绕基本概念,从等比数列的定义出发,运用等比定理,导出了公式. 公式的推导方法三:
S n =a 1+a 2+a 3+ a n =a 1+q (a 1+a 2+a 3+ a n -1) =a 1+qS n -1=a 1+q (S n -a n )
⇒(1-q ) S n =a 1-a n q (结论同上)
Ⅱ. 讲授新课
1、 等比数列前n 项,前2n 项,前3n 项的和分别是Sn ,S2n ,S3n ,
2
求证:S 2n +S 2n =S n (S 2n +S 3n )
23n
2、 设a 为常数,求数列a ,2a ,3a ,„,na ,„的前n 项和;
(1)a=0时,S n =0
(2)a ≠0时,若a=1,则Sn=1+2+3+„+n=
n-1
n
1
n (n -1) 2
若a ≠1,S n -aS n =a(1+a+„+a-na ),Sn=
a
[1-(n +1) a n +na n +1] 2
(1-a )
2.已知数列1,a 1,a 2,4成等差数列,1,b 1,b 2,b 3,4成等比数列,则的值是( )
4.设等比数列
{an }的前n 项和为S n ,若=3,则
=( )
6.若两数的等差中项为6,等比中项为5,则以这两数为两根的一元二次方程为 ( )
A .x 2-6x +25=0 C .x 2+6x -25=0
2
B .x 2+12x +25=0 D .x 2-12x +25=0
8、等比数列{an }的首项a 1=﹣1,前n 项和为S n ,若
9.已知数列满足a 1=1,a n +1=2a n +1(n ∈N *)
(1) 求证数列{a n +1}是等比数列; (2) 求{a n }的通项公式.
10.在等比数列{a n }中,已知S n =48,S 2n =60,求S 3n .
,则公比q 等于 _________ .
11.在等比数列{a n }中,a 1+a n =66,a 2·a n -1=128,且前n 项和S n =126,求n 及公比q .
1、数列
[数列的通项公式] a n =⎨
⎧a 1=S 1(n =1)
[数列的前n 项和] S n =a 1+a 2+a 3+ +a n
S -S (n ≥2) n -1⎩n
2、等差数列
[等差数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。 [等差数列的判定方法]
1. 定义法:对于数列{a n },若a n +1-a n =d (常数) ,则数列{a n }是等差数列。 2.等差中项:对于数列{a n },若2a n +1=a n +a n +2,则数列{a n }是等差数列。 [等差数列的通项公式]
如果等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则等差数列的通项为a n =a 1+(n -1) d 。 [说明]该公式整理后是关于n 的一次函数。
n (a 1+a n ) n (n -1)
d [等差数列的前n 项和] 1.S n = 2. S n =na 1+
22
[说明]对于公式2整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 [等差中项]
如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项。即:A =
a +b
或2A =a +b 2
[说明]:在一个等差数列中,从第2项起,每一项(有穷等差数列的末项除外)都是它的前一项与后一项的等差中项;事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 [等差数列的性质]
1.等差数列任意两项间的关系:如果a n 是等差数列的第n 项,a m 是等差数列的第m 项,且m ≤n ,公差为d ,则有a n =a m +(n -m ) d
2. 对于等差数列{a n },若n +m =p +q ,则a n +a m =a p +a q 。
a 1+a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n
= ,如图所示:1
a 2+a n -1
*
也就是:a 1+a n =a 2+a n -1=a 3+a n -2
3.若数列{a n }是等差数列,S n 是其前n 项的和,k ∈N ,那么S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 成等差数列。如下图所示:
S 3k
a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k
S k
S 2k -S k
S 3k -S 2k
3、等比数列
[等比数列的概念]
[定义]如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q 表示(q ≠0)。 [等比中项]
如果在a 与b 之间插入一个数G ,使a ,G ,b 成等比数列,那么G 叫做a 与b 的等比中项。 也就是,如果是的等比中项,那么[等比数列的判定方法] 1. 定义法:对于数列{a n },若
a n +1
=q (q ≠0) ,则数列{a n }是等比数列。 a n
G b 2
=,即G =ab 。 a G
2
2.等比中项:对于数列{a n },若a n a n +2=a n a n }是等比数列。 +1,则数列{
[等比数列的通项公式]
如果等比数列{a n }的首项是a 1,公比是q ,则等比数列的通项为a n =a 1q n -1。 [等比数列的前n 项和]
a 1(1-q n ) a -a n q
(q ≠1) ○1S n =2S n =13当q =1时,S n =na 1 (q ≠1) ○○1-q 1-q
[等比数列的性质]
1a n n 项,a m 是等差数列的第m 项,且m ≤n q ,则有a n =a m q n -m
3. 对于等比数列{a n },若n +m =u +v ,则a n ⋅a m =a u ⋅a v
a 1⋅a n
a , a 2, a 3, , a n -2, a n -1, a n
= 。如图所示:1
a 2⋅a n -1
也就是:a 1⋅a n =a 2⋅a n -1=a 3⋅a n -2
4.若数列{a n }S n 是其前n 项的和,k ∈N *,那么S k ,S 2k -S k ,S 3k -S 2k 示:
S 3k
a 1+a 2+a 3+ +a k +a k +1+ +a 2k +a 2k +1+ +a 3k
S k
S 2k -S k
S 3k -S 2k
4、数列前n 项和 (1)重要公式:
1+2+3+ n =
n (n +1)
; 2
n (n +1)(2n +1)
;
6
12+22+32+ n 2=
1
13+23+ n 3=[n (n +1)]22
(2)等差数列中,S m +n =S m +S n +mnd (3)等比数列中,S m +n =S n +q S m =S m +q S n
n
m
(4)裂项求和:
111
;(n ⋅n ! =(n +1)! -n ! ) =-
n (n +1) n n +1