函数单调性与奇偶性
函 数 的 单 调 性
学习目标:
1、理解函数单调性的定义;
2、会根据函数的图像判断函数的单调性;
3、能根据单调性的定义证明函数在某一区间上是增函数还是减函数。 学习重点:
函数单调性的定义及单调性判断和证明 学习难点:
函数单调性的判断和证明 【复习引入】 1、函数表示法
2、取整函数与分段函数
3、画出常见函数的图象,分析其性质(定义域,值域,特殊点,最值,y 随x 的变化如何变化) 一次函数y =kx +b ,
二次函数y =ax 2+bx +c (a ≠0) , 反比例函数y =
k
(k ≠0) x
【自主探究】 1、观察下列各个函数的图象,并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律:
1 随x 的增大,y 的值有什么变化? ○
2 能否看出函数的最大、最小值? ○
3 函数图象是否具有某种对称性? ○
2、画出下列函数的图象,观察其变化规律: 1.f(x) = x
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上,随着x 的增大,f(x)的值随着
○
2.f(x) = -2x+1
1 从左至右图象上升还是下降 ______? ○
2 在区间 ____________ 上,随着x 的增大,f(x)的值随着○
3.f(x) = x2
1在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x 的增大而○
2 在区间 ____________ 上,f(x)的值随着x 的增大而○
【新课教学】 函数单调性
1、增函数定义:
注意:
2、减函数定义:
3、函数的单调性(单调区间)定义
4、判断函数单调性的方法步骤
利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤:
NO------
【典例剖析】
例1:证明函数f (x ) =3x +2在(-∞, +∞) 上是增函数.
归纳总结:证明函数单调性的一般步骤:
2:证明f (x ) =x 2在(0,+∞) 上是增函数。
练习:证明函数f (x ) =-x 2在(-∞, 0) 上是增函数,在(0, +∞) 上是减函数.
例3. 证明函数f (x ) =
1
在(0,+∞) 上是减函数。 x
同类练习:证明:函数f (x ) =
思考:能否说函数f (x ) =上是减函数?为什么?
例4. 判断函数y =x 在区间[0, +∞) 上的单调性,并证明你的结论.
(四)归纳总结: 变形定号注意:
【随堂训练】
1. 如图已知函数y =f (x ), y =g (x ) 的函数图象,(包括端点)根据函数图象指出函数的单调区间,以及在每一个单调区间上,函数的单调性。
11
在实数集上是减函数?能否说f (x ) =在它的定义域x x
1
(-∞,0) 在上是减函数。 x
2. 若函数y =mx +b 在(-∞, +∞) 上是增函数,那么 ( )A. b>0 B. b0 D. m
3. 函数f (x ) =2x 2-mx +3,当x ∈[-2, +∞) 时是增函数,当x ∈(-∞, -2]时是减函数,则f (1) 等于
A.-3 B.13 C.7 D.由m 而定的常数
4. 下列函数中,在区间(0,2)上为增函数的是 ( )
A. y =-3x +1 B. y =x C.y =x 2-4x +3 D.y =4
x
5.函数f (x ) =3x 2-6x +1在x ∈(3, 4) 上的单调性是_______________. 6. 设函数f (x ) 在(-∞, +∞) 上为减函数,则 ( ) A . f (a ) >f (2a ) B . f (a 2)
1. 函数f (x ) =2x 2-mx +3,当x ∈(-∞, -2]时是增函数,则m 的取值范围是____________. 2.证明函数f (x ) =x +1
x
在(0, 1) 上是减函数
3. 如果函数y=f(x)是R 上的增函数,证明k >0时,kf(x)在R 上的增函数
【拓展练习】
1. 画出下列函数的图象,并指出它们的单调区间: (1)y =x -1 (2) y =x -
2.研究下列函数的单调区间并画出他们的图象 (1)y =
1 (2)
y = x -2
函 数 的 奇 偶 性
【课前预习】
1. 观察如下两图,思考并讨论以下问题: (1)这两个函数图像有什么共同特征?
(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的?
2. 观察函数f (x )=x 和f (x ) 个函数有什么共同特征?
1
的图像,并完成下面的两个函数值对应表,然后说出这两x
【学习目标】 (一) 学习目标:
1. 结合具体函数,了解奇偶性的含义;
2. 学会运用函数图像理解和研究函数的性质,理解奇函数、偶函数的几何意义,能熟练判别函数的奇偶性。 (二)学习重点及难点:
重点:函数奇偶性的概念。 难点:函数奇偶性的判断。
1、设函数y =f (x ) 的定义域为D ,如果对D 内的x ,都有,则这个函数叫做奇函数。
2、设函数y =g (x ) 的定义域为D ,如果对D 内的,都有,则这个函数叫做偶函数。
并且可以得到:具有奇偶性的函数定义域关于---------------对称,奇函数的图象关于----------------对称,偶函数图象关于------------------对称。 巩固练习:
1. 判断下列说法是否正确。
(1) 如果一个函数的的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为奇函数。 (2) 如果一个函数为偶函数,则它的定义域关于坐标原点对称。
(3) 如果一个函数的的定义域关于坐标原点对称,则这个函数为偶函数。 (4) 如果一个函数的图象关于y 轴对称,则这个函数为偶函数。
2. 如图给出了奇函数y =f (x ) 的局部图象,求
f (-4)
3. 若第2题中的图形为偶函数的一部分,试比较
f (-3) 与f (2)
【典例讲解】
【例1】判别下列函数的奇偶性:
(6)f (x ) =x 3-
1
; (7)f (x ) =|x -1|+|x +1|;(8)f (x ) =x 2-x 3 x
【同类练习】
教材 P49页练习A 第一题
归纳总结:判断函数奇偶性的一般步骤:
【例2】判别下列函数的奇偶性: (1)f (x ) =x 2+1+-x 2
(2)f (x ) =x (
1+) 2x -121
⎧x 2+2x -3(x
(x =0) (4)f (x ) =(x -1) (3)f (x ) =⎨0
x -1
⎪-x 2+2x +3(x >0) ⎩
【巩固练习】
1.函数y =x (|x |-1) (|x|≤3) 的奇偶性是( ).
A .奇函数 B. 偶函数 C. 非奇非偶函数 D. 既奇又偶函数 2. 函数f (x ) =-x 的图像关于( ).
A.y 轴对称 B .直线y =-x 对称 C.坐标原点对称 D.直线y =x 对称 3.函数f (x ) =x +1-x -,那么f (x ) 的奇偶性是( ).
A.奇函数 B.既不是奇函数也不是偶函数 C.偶函数 D.既是奇函数也是偶函数 4.若奇函数f (x ) 在[3,7]上是增函数,且最小值是1,则它在[-7, -3]上是( ). A. 增函数且最小值是-1 B. 增函数且最大值是-1
C. 减函数且最大值是-1 D. 减函数且最小值是-1 5.已知f (x ) =x 5+ax 3+bx -8,f (-2) =10,则f (2)= . 6.已知函数f (x ) =x (
11
+) . x 2-12
(1)求函数f (x ) 的定义域; (2)判断函数f (x ) 的奇偶性并证明你的结论.
1x
【归纳小结】
1、什么是奇函数与偶函数? 2、如何判断函数的奇偶性?
3、已知函数的奇偶性,如何求对称区间的解析式并判断其单调性?
【课后练习】
1、教材P49页练习A 2、教材P50页练习B
单调性奇偶性综合练习
【典例讲解】
【例1】已知f (x ) 是奇函数,g (x ) 是偶函数,且f (x ) -g (x ) =1,求f (x ) 、g (x ) x +1
【例2】已知f (x ) 是偶函数,x ≥0时,f (x ) =-2x 2+4x ,求x
巩固练习
已知f (x ) 是奇函数,x ≥0时,f (x ) =-2x 2+4x ,求x
结论:根据上面两个题,我们可以给得出已知函数在某一区间上的解析式,求对称区间上上解析式一般步骤:
【例4】已知:函数f (x )是偶函数,且在(-∞,0)上是减函数,判断f (x )在(0,+∞)上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
变式训练:
已知:函数f (x )是奇函数,且在(-∞,0)上是减函数,判断f (x )在(0,+∞)上是增函数,还是减函数,并证明你的结论.
结论:根据上面两个题,我们可以给得出结论:
奇函数在对称区间上单调性-------------(相同还是相反),偶函数在对称区间上单调性-------------。
拓展:
设函数f (x ) 是定义在R 上的奇函数,且在区间(-∞,0) 上是减函数,实数a 满足不等式f (3a 2+a -3)
变式训练:设函数f (x ) 是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0) 上是减函数,实数a 满足不等式f (3a 2+a -3)
讨论:由上面六个题,你可以得出什么结论,如何处理抽象函数单调性,奇偶性,解抽象不等式问题
【巩固练习】
1.下列四个命题:其中正确的命题个数是
(1)f(x)=1是偶函数;
(2)g(x)=x3,x ∈(-1,1]是奇函数; ( )
(3)若f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则H(x)=f(x)·g(x)一定是奇函数;
(4)函数y=f(|x|)的图象关于y 轴对称,
A .1 B .2 C .3 D .4
2.已知f(x)=ax3+bx+1,且f(5)=7,则f(-5) 的值是 ( )
A .-5 B .-7 C .5 D .7
3. 已知函数f (x ) 是奇函数,当x >0时,f (x ) =x (1-x ) ;当x
A.-x (1+x ) B. x (1+x ) C.x (1-x ) D. -x (1-x )
二、填空题
4、设f(x)是R 上的奇函数,且当x ∈(0,+∞) 时,f(x)=x(1+x )+1,则f(x)表达式为__________.
5. 已知f(x)=x4+ax3+bx-8,且f(-2)=10,则f(2)=_____________.
6.已知f(x)是定义在R 上的奇函数,x>0时,f(x)=x2-2x+3,则f(x)=________________.
2x -a 7.若函数f (x )=x 是奇函数,那么实数a=___________________. 2+1
三 :解答题:
8、是否存在常数m 、n 使函数f(x)=(m2-1)x 2+(m-1)x+n+2为奇函数?
9、已知f (x ) 是定义在R 上的奇函数,在(0, +∞)是增函数,且f (1)=0,求f (x +1)
10、函数f (x ) =ax +b 12f () =(-1,1) 是定义在上的奇函数,且, 1+x 225
(1)确定函数f (x ) 的解析式;
(2)用定义证明f (x ) 在(-1,1) 上是增函数;
(3)解不等式:f (t -1) +f (t )
附加题:
1.f(x)在(0,2)上是增函数,函数f(x+2)是偶函数,则 ( ) 577575A f (1)
3、已知f (x ) =x (1(2)证明f(x)>0. +) (1)判断f(x)的奇偶性;2x -12
x 3(a x -1)
a x +1(a >0, a ≠1) 的奇偶性,并加以证明. 14、判断函数f (x ) =
5、函数f(x)满足f(x+y)+f(x-y)=2f(x)·f(y) (x∈R ,y ∈R) ,且f(0)≠0,试证明f(x)是偶函数。