三角形边.角之间的关系
三角形边、角之间的关系
规律1．在利用三角形三边关系证明线段不等关系时，如果直接证不出来，可连结两点或延长某边构造三
角形，使结论中出现的线段在一个或几个三角形中，再利用三边关系定理及不等式性质证题. 例：如图，已知D、E为△ABC内两点，求证：AB＋AC＞BD＋DE＋CE.
证法（一）：将DE向两边延长，分别交AB、AC于M、N
在△AMN中， AM＋ AN＞MD＋DE＋NE ①
在△BDM中，MB＋MD＞BD ②
FG
M在△CEN中，CN＋NE＞CE ③ NB
①＋②＋③得 AM＋AN＋MB＋MD＋CN＋NE＞MD＋DE＋NE＋BD＋CE
∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
证法（二）延长BD交AC于F，延长CE交BF于G, 在△ABF和△GFC和△GDE中有，
①AB＋AF＞BD＋DG＋GF ②GF＋FC＞GE＋CE ③DG＋GE＞DE ∴①＋②＋③有 AB＋AF＋GF＋FC＋DG＋GE＞BD＋DG＋GF＋GE＋CE＋DE ∴AB＋AC＞BD＋DE＋CE
注意：利用三角形三边关系定理及推论证题时，常通过引辅助线，把求证的量（或与求证有关的量）移
到同一个或几个三角形中去然后再证题.
练习：已知：如图P为△ABC内任一点， 求证：
1
(AB＋BC＋AC)＜PA＋PB＋PC＜AB＋BC＋AC 2
规律2．三角形的一个内角平分线与一个外角平分线相交所成的锐角，等于第三个内角的一半.
例：如图，已知BD为△ABC的角平分线，CD为△ABC 的外角∠ACE的平分线，它与BD的延长线交于D.
求证：∠A = 2∠D
证明：∵BD、CD分别是∠ABC、∠ACE的平分线 ∴∠ACE =2∠1, ∠ABC =2∠2 AD
∵∠A = ∠ACE －∠ABC ∴∠A = 2∠1－2∠2
1BCE又∵∠D =∠1－∠2
∴∠A =2∠D
规律3. 三角形的两个内角平分线相交所成的钝角等于90o加上第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB， 求证：∠BDC = 90＋证明：∵BD、CD分别平分∠ABC、∠ACB
o
∴∠A＋2∠1＋2∠2 = 180
o
∴2(∠1＋∠2)= 180－∠A①
o
∵∠BDC = 180－(∠1＋∠2)
o
∴(∠1＋∠2) = 180－∠BDC② 把②式代入①式得
oo
2(180－∠BDC)= 180－∠A
oo
即：360－2∠BDC =180－∠A
o
∴2∠BDC = 180＋∠A ∴∠BDC = 90＋
o
o
1
∠A 2
AB
C
1
∠A 2
规律4. 三角形的两个外角平分线相交所成的锐角等于90o减去第三个内角的一半. 例：如图，BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB， 求证：∠BDC = 90－证明：∵BD、CD分别平分∠EBC、∠FCB
∴∠EBC = 2∠1、∠FCB = 2∠2 ∴2∠1 =∠A＋∠ACB ① 2∠2 =∠A＋∠ABC ② ①＋②得
2（∠1＋∠2）= ∠A＋∠ABC＋∠ACB＋∠A
o
2（∠1＋∠2）= 180＋∠A
∴（∠1＋∠2）= 90＋
o
o
o
1
∠A 2
1
∠A 2
BE
A
∵∠BDC = 180－(∠1＋∠2)
1oo
∴∠BDC = 180－(90＋∠A)
21
∴∠BDC = 90－∠A
2
o
D
CF
规律5. 从三角形的一个顶点作高线和角平分线，它们所夹的角等于三角形另外两个角差（的绝对值）的
一半.
例：已知，如图，在△ABC中，∠C＞∠B， AD⊥BC于D， AE平分∠BAC.
求证：∠EAD =
1
(∠C－∠B) 2
A
证明：∵AE平分∠BAC
1
∴∠BAE =∠CAE =∠BAC
2
∵∠BAC =180－(∠B＋∠C) ∴∠EAC =
o
B
D
C
1o
〔180－(∠B＋∠C)〕 2
A
AF
B
B
D
C
FD
E
C
∵AD⊥BC
o
∴∠DAC = 90 －∠C ∵∠EAD = ∠EAC－∠DAC ∴∠EAD =
1oo
〔180－(∠B＋∠C)〕－(90－∠C) 2
o
= 90－
1o
(∠B＋∠C)－90＋∠C 2
=
1
(∠C－∠B) 2
如果把AD平移可以得到如下两图，FD⊥BC其它条件不变，结论为∠EFD =
1
(∠C－∠B). 2
注意：同学们在学习几何时，可以把自己证完的题进行适当变换，从而使自己通过解一道题掌握一类
题，提高自己举一反三、灵活应变的能力.
规律6.在利用三角形的外角大于任何和它不相邻的内角证明角的不等关系时，如果直接证不出来，可连结
两点或延长某边，构造三角形，使求证的大角在某个三角形外角的位置上，小角处在内角的位置上，再利用外角定理证题.
例：已知D为△ABC内任一点，求证：∠BDC＞∠BAC
证法（一）：延长BD交AC于E，
∵∠BDC是△EDC 的外角，
AA
∴∠BDC＞∠DEC
E同理：∠DEC＞∠BAC ∴∠BDC＞∠BAC BB
CCF
证法（二）：连结AD，并延长交BC于F
∵∠BDF是△ABD的外角， ∴∠BDF＞∠BAD 同理∠CDF＞∠CAD
∴∠BDF＋∠CDF＞∠BAD＋∠CAD 即：∠BDC＞∠BAC