点到直线的距离公式
高中数学教案
点到直线的距离
《点到直线的距离公式》
一、教学目标
⑴ 理解点到直线的距离公式的推导过程;
⑵ 掌握点到直线的距离公式;
⑶ 掌握点到直线的距离公式的应用;
二、教学重点和难点
重点:公式的推导及其结论以及简单的应用。
难点:点到直线的距离公式的推导思路和分析。
三、教学方法
讲授式教学方法.
通过设置问题,层层深入,引导学生尝试、探究等活动,提升学生的思维能力,提高解决问题的能力.
四、教学过程
1. 创设情境
如图, 在铁路的附近, 有一大型仓库. 现要修建一条公路与之连接起来. 那么怎样设计能使公路最短?
解:若我们把铁路看成一个直线,把
仓库看成一个点,那么问题变成一个 点到直线的问题 ,使距离最短,那么 过点作已知直线的垂线,那么这个垂线是最短的。
例1 如何求点p (2,0)到直线l :x -y =0的距离? 方法① 解:
过点p
作
l
的垂线,设垂足为
方法② 解:
过点P 作L , x 轴的垂线PQ , PR ,交点为点Q , R 在直角三角形OPR 中OR ⋅QP =OP ⋅PR
∴QP =2
方法③ 解:
过P 点作L 的垂线PQ ,垂足为Q 直线方程L :x -y =0 直线斜角为 ∠QOP =45︒ 因为P (2,0) 所以OP =2
例2 如何求点到直线的距离?
解:过点P (4,2) 作x 轴,y 轴和直线L :2x -y +2=0的垂线PR , PS , PQ 点R 的坐标R (4,10),点s 的坐标s(0,2) ⇒
PR =8, PS =4
2. 公式推导
求点P (x 0, y 0) 到直线l :Ax +By +C =0(A
分析:设Q (x 0, y 0) ,那么已知数据
x 1, y 1, A , B , C ,表示PQ 的长度
d =2+B 2≠0) 的距离?
解:设点Q (x 0, y 0) ,直线PQ 垂直于直线L, 所以PQ 的方程为Bx -Ay +C ' =0
因为点P 在直线PQ 上,代入P ,可求出待定系数C ' Bx 1-Ay 1+C ' =0,C ' =Ay 1-Bx 1,所以PQ :Bx -Ay +Ay 1-Bx 1=0 因为Q 在直线PQ 上,则Bx 0-Ay 0+Ay 1-Bx 0=0, B (x 0-x 1) -A (y 0-y 1) =0 ① 设Q (x 0, y 0) ,因为点Q 在直线l 上,所以Ax 0+By 0+C =0, 所以Ax 0+By 0+C =A (x 0-x 1) +B (y 0-y 1) +Ax 1+By 1+C =0 A (x 1-x 0) +B (y 1-y 0) =Ax 1+By 1+C ② 对①和②式两边平方后相加,得
22222(A +B )[(x -x ) +(y -y ) ]=(Ax +By +C ) 101011
2(x -x ) 10即2(Ax +By +C ) 11+(y 1-y 0) 2=A +B
d =因此点P (x 1, y 1) 到直线l 的距离d 的计算公式
3. 例题讲解
例3:求点P (-1, 2) 到直线2x +y =5的距离d 解:将直线方程化为一般式:
2x +y -5=0
因为x 1=-1,y 1=2,A =2,B =1,C =-5, 所以,由点到直线距离公式,得
例4:求点P 0(-1,2) 到下列直线的距离 : ①3x=2 ②5y=3 ③2x +y=10
例5: 点A(a,6) 到直线3x-4y=2的距离等于4,求a 的值.
五、小结
1.点P (x 1, y 1
) 到直线l :Ax +By +C =0的距离d 的计算公式:
d =
2.了解求解技巧:设而不求;
3.数学思想:数形结合,转化;
六、作业
教材P89页:练习A-----2,练习B---1,2,3