数学思想在化学中的应用

数学思想在化学中的应用

设计立意：化学计算是从定量的角度研究化学反应规律，在化学计算过程中应用许多数学知识和数学思想。数学思想和数学方法在高考化学试题中的应用主要有：分类讨论的思想，转化与化归的思想，数形结合的思想，函数与方程的思想。除了上述四种数学思想的应用外，还有数学方法技巧的应用，如：极值法、十字交叉法、平均值法、方程法。 纵观近几年的理综考试，计算题的考查也时多时少。02年8、12、13、24题都是计算题，特别是24题就是关于有机计算中取值范围的讨论；03年计算较少，而04年计算明显增多，其中的9、12、29题都是计算题，且29题是有关反应平衡的计算，当然，此题的难度并不大，并且很常规。但如果考生平时对计算重视不够，在这里就易丢分。这就提醒我们，在平时的教学中，应扎扎实实，计算能力的培养绝对不容忽视。

命题走向：近几年高考非常重视对“将化学问题抽象为数学问题，利用数学工具，通过计算、推理（结合化学知识）解决化学问题的思维能力”的考查。2005年普通高等学校招生全国统一考试大纲明确提出学生需具备将化学问题抽象成为数学问题，利用数学工具，通过计算和推理（结合化学知识）解决化学问题的能力。

解题思路：函数与方程的思想是化学计算考查的重点之一。解题的关键是确定变量的分界点和取值范围，并能根据该取值范围内发生的化学建立变量的函数表达式，讨论函数的增减性，计算有关化学量的最大值、最小值、恰好反应用量。

数形结合法也是考查的重点内容。这类题目的已知条件或所求内容以图象形式表述。解题思路是：根据反应变量关系和图象反应条件，建立函数表达式。分析图象时注意：认明图中坐标，曲线起点、拐点、交点和走向；将图象信息与化学反应知识结合得出相应的化学结论。

我结合近几年的高考和平时的教学积累，总结数学思维在化学中的运用。

一，数形结合解化学题

通过数与形的对应关系，数与形的相互转化和综合运用代数、几何知识求解出复杂问题所需的答案。

例1：铁、铝合金1.39g 完全溶于含有0.16molHNO3的热浓硝酸中（设反应中的硝酸不挥发，不分解），生成标准状况下VLNO2与NO 的混合气体X 及溶液Y 。反应后往溶液Y 中逐滴加入1mol/LNaOH溶液，生成沉淀的物质的量与滴入的NaOH 溶液体积关系如下图所示。

原合金中铁的质量分数是多少？

V 的数值等于多少？气体X 中NO2和NO 的体积比为多少？

解析：(1)由图象找到突破口，加入10mlNaOH 沉淀溶解一部分可知

n[Al(OH)3]=1mol/Lⅹ0.01L=0.01mol

合金中：m(Fe)=1.39g-27g/molⅹ0.01L=1.12g

铁的质量分数w(Fe)=1.12g/1.39gⅹ100%=80.6%

(2)由图可知，当加入100mL1mol/L的NaOH 溶液后，溶液为NaNO3溶液，故被还原的HNO3为（0.16mol-1mol/Lⅹ0.1L ）=0.06mol,根据N 原子守n(NO、NO2)=0.06mol,

V(NO、NO2)=0.06molⅹ22.4L/mol=1.344L

设0.06mol 混合气体中NO 为Xmol,NO2 为ymol ，则有 x+y=0.06 ①

又由图可知，反应后硝酸过量，故铁铝合金溶解后生成Fe3+和Al3+

根据得失电子守恒，则有3x+y=1.12/56ⅹ3+0.01ⅹ3=0.09②

由①②联解得：x=0.015,y=0.045

故V(NO2):V(NO)=0.045:0.015=3:1

例2：在容积固定的2L 密闭容器中，充入气体X 、Y 各2mol ，发生可逆反应X(g)+2Y(g)≒2Z(g)，并达平衡，以Y 的浓度改变表示的反应速率V(正) 、V （逆），与时间t 的关系如图。则Y 的平衡浓度的表达式正确的是（式中S 指对应区域面积） A ，2-S(aob) B,2-S(bod) c,1-S(aob) D,1-S(bod)

解析：速率表示单位时间内物质的量浓度的变化，速率乘以时间是表示物质的量浓度的变化，该图象中的面积正是表示Y 物质的量浓度的变化，所以Y 的平衡浓度应该是C 。

从上述数形结合来解题，我们感觉到：数形对照，以利理解；数形联系，以利推断；数形结合，以利解题。图象题的特点，是以图象的形式把相关量通过形象、直观的曲线表示出来。在解题时先明确图象坐标的意义，在着重分析曲线上的特殊点，分析清楚可能发生的反应，寻找有关量之间的关系，提高思维的整体性。

二，等比数列在化学中的应用

例3：一定条件下，将等体积NO 和O2的混合气体置于试管中，并将试管倒立在水槽中，充分反应后剩余气体的体积约为原总体积的（ ）

A,1/4 B,3/4 C,1/8 D,3/8

解析：由于该题的化学方程式中的量出现循环的现象，所以学生觉得解题有困难，于是在这里运用数学中的等比数列，就显得比较容易，设NO 和O2的体积均为V ，则由2NO+O2=2NO2和3NO2+H2O=2HNO3+NO可知，V 体积NO 与V/2体积O2反应生成V 体积NO2，V 体积NO2与水反应后得V/3体积NO ；V/3体积NO 与V/6体积O2反应生成V/3体积NO2，V/3体积NO2与水反应后得V/9体积NO ；继续反应下去，总耗氧量为下列等比数列各项之和：V/2、V/6、V/18„V/2×3K-1，该等比数列的求和公式S=V/2（1-1/3）=3V/4，剩余O2体积为（V-3V/4）=V/4；则剩余O2为原总体积的1/8（V/4×2V ）=1/8。所以正确答案为（C ）。 三，极端假设在化学中的应用

例4：38.4mg 铜跟适量的浓硝酸反应，铜全部作用后，共收集到气体22.4ml （标准状况），反应消耗的HNO3的物质的量可能为（ ）

A,1.0×10-3mol B,1.6×10-3mol C,2.2×10-3mol D,2.4×10-3mol

解析：假设铜全部与浓硝酸反应，则根据反应Cu+4HNO3（浓）=Cu(NO3)2+2NO2↑+2H2O，可求得消耗的HNO3为2.4×10-3mol 3Cu+8HNO3(稀)=3Cu(NO3)2+2NO↑+4H2O,可求得消耗的HNO3的物质的量为1.6×10-3mol ；而实际上铜既与浓硝酸反应，又与稀硝酸反应（随着反应的进行浓硝酸变为稀硝酸），则反应消耗的HNO3的物质的量介于1.6×10-3mol 与2.4×10-3mol 之间，故正确答案为（C ）。

四，不定方程讨论在化学中的运用

如果由题设条件列出的等式个数少于未知数的个数，则形成不定方程。此时往往要从题中找出限定条件，进行最小范围的讨论，这种解题方法在解有机题目时经常用到。

例5：在标准状况下，将1L 由CO 和某气态烷烃组成的混合气体与9L 氧气混合起来，点燃，充分燃烧后当压强不变、温度为409.5K 时，气体体积为15L 。求该烷烃的分子式及该烷烃在原混合气体中的体积分数。

解析：反应前标准状况下的10L 气体在101.3kPa409.5K 时体积为10L409.5K/273K=15L

反应后气体的体积也为15L.

设该烷烃的分子式为CnH2n+2,其体积为XL ，CO 的体积为(1-x)L，则依

2CO+O2=2CO2 气体体积减少

1

（1-x ）L (1-X)/2L

CnH2n+2 +3n+1/2O2→nCO2 +(n+1)H2O 气体体积增加

n-1/2

xL (n-1)x/2L

因反应前后气体体积未变，故

1-x/2=(n-1)x/2 (x＜1,n 为不超过4的正整数）

讨论：（1）n=1时，x=1,不合理

(2) n=2时，x=1/2,合理

(3) n=3时，x=1/3,合理

(4) n=4时，x=1/4,合理

即该烷烃可能是C2H6，占50%；也可能是C3H8，占33.3%;还可能是C4H10占25%

五，对不等式的讨论

借助于数学中的不等式，将题中的信息（显性或隐性）转化成数学关系---不等式进行讨论，最后可得出答案。

例6：10ml 某气态烃在30ml 氧气里充分燃烧后，得到了液态水和35ml 混合气体（所有气体的体积都是在同温同压下测定的）求该气态烃的分子式。

解析：设该烃的分子式为CxHy,

CxHy + (x+y/4)O2 → XCO2 + y/2H2O（液） 体积减少

1+y/4

10ml (10+50-35)ml=25ml

列式后可解得y=6

因该烃是气态烃，故其分子式为CxH6(x=2,3,4)

以上解法看似无懈可击，但深究后不难发现，“烃充分燃烧”隐含着“氧气必须适量或过量”，即有

10(x+y/4)ml≤50ml

因y=6,0＜x ≤3.5, 即x=2,3(x=4时，不合题意，应舍去). 该题的正确答案为C2H6、C3H6。

思维能力训练题：

一，选择题：

1. 某10gCaCO3样品与足量盐酸反应时，共产生气体2.5L （标准状况下），则该样品中可能混有的杂质为（ D ）

A,K2CO3 B,Na2CO3 C,KHCO3 D,MgCO3

2.t ℃时，将一定量A （不含结晶水）的不饱和溶液平均分成三份，分别加热蒸发，然后冷却到t ℃，已知三份溶液分别蒸发水的质量为10g 、20g 、30g ，析出A 晶体（不含结晶水）的质量依次为ag 、bg 、cg ，则a 、b 、c 三者的关系为（ B ） A,c=a+b B,c=2b-a C,c=a+2b D,c=2a-b

3.1.01X105Pa 、120℃条件下，将体积比为2:1的甲、乙两种烃与足量的氧气混合得气体VL ，使得充分燃烧后恢复到原状态，所得气体其体积仍为VL ，则下列不符合此条件的一组是（ B ）

A ，甲：CH4 乙：C2H4 B，甲：C2H2 乙：C3H6

C ，甲：C2H4 乙：C3H4 D，甲：C2H2 乙：C3H8

4.25℃时，将PH=X的H2SO4溶液与PH=Y的NaOH 溶液等体积混合，反应后所得溶液PH=7。若X=Y/6，则X 值为（ A ） A,2 B,3 C,4 D,5

5. 在标准状况下，气体A 的密度为1.25g/L，气体B 的密度为1.876g/L，A 和混合气体在相同状况下H2的相对密度为16.8，则混合气体中A 和B 的体积比为（ D ）

A ，1:2 B,2:1 C,2:3 D,3:2

6. 短周期元素X 和Y 能形成XY4的化合物，若X 的原子序数为m,Y 的原子序数为n ，则m 和n 不可能的关系是（ D ） A,m-13=n B,n+5=m C,n-11=m D,m+8=n

二，填空题

7. 向NaBr 与NaI 的混合液中通入适量Cl2，反应完全后将溶液蒸干并小心灼烧至恒重，得到固体W 。

（1）W 的可能组成为① ② ③ ④ 。（填化学式，可以多填或少填）

（2）现将NaBr 与NaI 的固体混合物10.0g 溶于适量水中，通入448ml Cl2（标准状况）充分反应后，按上述操作得到W 的质量为7.28g 。求原混合物中NaI 的质量分数？

答案：(1) ①NaCl 、NaBr 、NaI ②NaCl 、NaBr ③NaCl

(2) NaI的质量分数为30%

8. 现有A 、B 两种链状饱和一元醇的混合物0.3mol ，其质量为13.8g 。已知A 和B 碳原子数均不大于4，且A ＜B 。

(1)混合物A 可能的分子式为 ，B 可能的分子式为 。

(2)若n(A):n(B)=1:1时，A 的名称是 ；B 的名称是 。

(3)若n(A):n(B)≠ 1:1时，A 的结构简式为 ；B 的结构简式为 ；则n(A):n(B)=

答案：(1)CH4O C3H8或C4H10

(2)甲醇 1─丙醇、2─丙醇

(3)CH3OH ; CH3CH2CH2OH、CH3CH2CH(OH)CH3、 (CH3)3COH;

2:1

三，计算题

9．取等物质的量浓度的NaOH 溶液两份A 和B ，每份10 mL ，分别向A 、B 中通入不等量的CO2，再继续向两溶液中逐滴加入0.1 mol·L-1的盐酸，标准状况下产生的CO2气体体积与所加的盐酸溶液体积之间的关系如下图所示，试回答下列问题：

（1）原NaOH 溶液的物质的量浓度为 mol·L-1

（2）曲线A 表明，原NaOH 溶液中通入CO2后，所得溶液中的溶质为（写化学式） ；其物质的量之比为 。

（3）曲线B 表明，原NaOH 溶液中通入CO2后，所得溶液加盐酸后产生CO2气体体积（标准状况）的最大值为 mL。

答案： (1)0.75 (2)NaOH；Na2CO3 3:1 (3)112

10，一定条件下，可逆反应A2+B2≒2C 达到了化学平衡状态，平衡时，

[A2]=0.5mol/L;[B2]=0.1mol/L;[C]=1.6mol/L

若A2、B2、C 的起始浓度分别amol/L、bmol/L、cmol/L表示，请回答：(1)a,b应满足的关系是

(2)a取值范围是 ,b取值范围是

答案：(1)a-b=0.4 (2) a 的取值范围为0.4≤a ≤1.3,b 的取值范围为0≤b ≤0.9.