函数方程思想的应用举例
函数方程思想的应用举例
函数方程思想是中学数学中最基本、最重要的数学思想,也是历年高考的重点。
函数的思想就是用运动和变化的观点,分析和研究数学问题。具体来说,即先构造函数,把给定问题转化为研究辅助函数的性质(单调性、奇偶性、周期性、图象的交点个数、最值、极值等)问题,研究后得出所需要的结论。函数方程思想就是将数学问题转化为方程或方程组问题。通过解方程(或方程组)或者运用方程的性质来分析、转化问题,使问题得以解决。函数与方程思想是密切相关的,函数时,就转化为方程
或看作方程
;而方程
,当
的解是函数
时,就是不等式
,当图象与x
,
轴交点的横坐标。函数与不等式也可以相互转化,对函数而求
的解则可比较
函数图象位置而得到。
一. 构造函数思想 例1. 证明不等式
分析:由所证不等式很容易想到比商法,但a 、b 的正负无法确定,即使分类后,当a 、b 都为正数时,其商
也无法与1比大小,思路受阻。再观察不等式两边形式类似,稍加变形即为
,就只需证
了,利用函数单调性,问题得以巧妙解决。
上,
在
,即可
联想到函数解:令在则则所以
上为增函数 ,即。
点评:应用函数性质证明不等式,关键在于构造一个适当的函数,且能方便地判断函数的有关性质。
例2. 已知
恒成立,求x 的范围。
,对于值域内的所有实数m ,不等式
分析:我们习惯上把x 当作自变量,构造函数
时,
,于是问题转化为:当
恒成立,求x 范围,但要解决这个问题要用到二次函数以及二次方程的区间根原
,构造函数
理。相当复杂。而如果把m 看作自变量,x 视为参数,原不等式化为
为m 的一次函数,在
上恒大于0,这样就非常简单。
解:因为,
所以,
即
恒成立,又
原不等式可化为
所以,令的问题。
为m 的一次函数,问题转化为在上恒大于0
则只需解得即
或
。
点评:注意到本题有两个变量x 、m ,且x 本来为主元,但为了解题方便,把原不等式看为m 的一次函数,
大大简化了运算。在多字母的关系式中,应对参数的策略常常是“反客为主、变更主元”,重新构造函数。 二. 构造方程思想
例3. 已知A. C.
B. D.
,则
,故选C 。
,则有( )
分析:原式变为是实系数一元二次方程
的一个实根,故
点评:通过简单转化,敏锐地抓住了数与式的特点,运用方程思想使问题迎刃而解。 例4. 已知解:由又
,且平方得,则
,
,则a 的范围为_______。
由此得到启示与都可用a 表示,
的两根。
故b 、c 是关于x 的一元二次方程故
解得。
点评:当问题出现两数积与这两数和时,是构造一元二次方程的明显信号,构造方程后再用方程特点可使问题巧妙解决。 三. 函数方程统一思想 例5. 已知三次方程
恰有三个相异实根,求实数m 的范围方程
的根,即函
数图象与x 轴交点横坐标,由题意函数
曲线连续且光滑,故只需函数极大值与极小值异号即可。 解:令则令为使
,得
应与x 轴有三个不同产点,因三次
与x 轴交于不同的三个点。
只须即
。
点评:方程函数互相转化,为得到方程根的情况,用函数图象特点,特别用导数法求得极值点,用限制极值的方法使图象穿x 轴三次,问题解决。利用函数图象交点个数及交点位置,使方程满足其根的某限制条件,是最常见的方程与函数统一的思想,借助图象特点,能直观又准确地看到方程根的情况.