常系数线性方程解的线性无关另外一个证明
常系数线性方程解的线性无关另外一个证明
王成波
周二(12.15)课上我们证明了常系数线性方程解的线性无关。这个结论有很多不同的证明,例如
(1)上课时我们讲的利用代数学基本定理的证明,可以参考复旦大学数学系主
编《常微分方程》1978年第二版第137页定理
(2)利用课本中的证明思路(按照实部排列),归结为e iλj x (λj 为互异实数)的线性无关,最后归结为e iλj x 的朗斯基行列式(本质上归结为Vandermonde 行列式)不为零。(3)归结为方程组,丁同仁、李承治《常微分方程教程》2004年第二版第198页
定理6.6
当天课上,陈桢栋同学亦向我提出一个很好的证明想法,该证明也可参见蔡燧林《常微分方程》2003(第156页定理4.2.3),王高雄、周之铭、朱思铭、王寿松《常微分方程》2006年第三版(第140页)等书。鉴于这个证明更加直接,特此整理如下。
命题1. 假设特征方程:λn +p 1λn −1+···+p n −1λ+p n =0具有特征值:
s n j =n, λ=λj ,重数n j 1≤j ≤s ,
j =1
则我们有基本解组:
y jk (x ) =x k e λj x , 0≤k ≤n j −1, 1≤j ≤s .
证明. 这里仅证明线性无关。我们用反证法,如果y jk 线性相关,则存在不全为零的c jk (即存在c j 0k 0=0,c j 0k =0, ∀k >k 0,不失一般性,我们假设j 0=1),使得
j −1s n c jk y jk (x ) =0, ∀x .
j =1k =0
对方程乘以e ,然后求导n s 次。由于e −λs x y sk (x ) 为次数小于n s 的单项式,求导后为零,我们得到
j −1s −1n (1)c jk y jk (x ) e −λs x =0, ∀x .
j =1k =0−λs x
再对方程乘以e λs x ,我们得到
j −1s −1n c jk y jk (x ) =0, ∀x . (1)
j =1k =0
这里,我们注意到,
c 1k 0=(λ1−λs ) n s c 1k 0=0, c 1k =0, ∀k >k 0.
2015年12月18日.
1(1)(1)
2王成波对于λj (2≤j ≤s −1) 重复同样的过程,我们最后得到
k 0
c (s −1)
1k y 1k (x ) =0, ∀x ,
k =0
这里,
c (s −1)
1k 0=c 1k n j
0Πs j =2(λ1−λj ) =0.
而对方程乘以e −λ1x ,我们得到
k 0
c (s −1)
1k x k =0, ∀x ,
k =0
由此c (s −1)
1k 0=0,得到矛盾。