初一上数学
有理数及有理数运算讲义
1. 知识网络结构图
一、正数和负数
知识点1正数和负数的概念
(1) 在正数前面加“-”的数,叫做负数。负数比0小。 (2) 零即不是正数也不是负数,零是正数和负数的分界。
(2)对于正数和负数的概念,不能简单理解为:带“+”号的数是正数,带“-”号的数是负数。例如:-a 一定是负数吗?答案是不一定。 知识点2 有理数的有关概念 有理数:整数和分数统称为有理数。 知识点3 有理数的分类
(1) 按整数、分数的关系分类:
(2) 按正数、负数与0的关系分类:
注 通常把正数和0统称为非负数,负数和0统称为非正数,正整数和0称为非负整数(也叫做自然数),负整数和0统称为非正整数。
2. 数轴
知识点1 数轴的概:
规定了原点、正方向和单位长度的直线 数轴有三要素——原点、正方向、单位长度 知识点2数轴上的点与有理数的关系
所有的有理数都可以用数轴上的点表示。正有理数可以用原点右边的点表示,负有理数可以用原点左边的点表示,零用原点表示。 知识点3 利用数轴比较有理数的大小
在数轴上表示的两个数,右边的数总比左边的数大。正数都大于0;负数都小于0;正数大于一切负数。
3. 相反数
知识点1 相反数的概念:只有符号不同的两个数,0的相反数是0。 知识点2 相反数的关系若a 、b 互为相反数则a+b=0
4. 绝对值
知识点1 绝对值的概念:
一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离,数a 的绝对值记作“a ”
绝对值的性质:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即
⎧a , (a >0)
⎧a , (a ≥0)⎪
a =⎨0, (a =0) 或a =⎨绝对值的非负性a ≥0
-a 。(a ≤0)⎩⎪-a 。 (a
⎩
知识点2 两个负数大小的比较: 一、先分别求出这两个负数的绝对值; 二、比较这两个绝对值的大小;
三、根据“两个负数,绝对值大的反而小”做出正确的判断。
二、有理数的运算
1 有理数加法法则
(1)同号两数相加,取相同的符号,并把绝对值相加。
(2)绝对值不相等的异号两数相加,取绝对值较大的加数的符号,并用较大的绝对值减去较小的绝对值。互为相反数的两个数相加得0。
2有理数乘除法法则:两数相乘(除),同号得正,异号得负
三、重点题型总结及应用
题型一 绝对值
理解绝对值的意义及性质是难点,由于|a |表示的是表示数a 的点到原点的距离,因此|a |≥0.可运用|a |的非负性进行求解或判断某些字母的取值.
例1 如果a 与3互为相反数,那么|a +2|等于( )
A .5 B .1 C .-1 D .-5
例2 若(a -1) +|b +2|=0,则a + b= . 规律
若几个非负数的和为0,则这几个数分别为0.
题型二 有理数的运算
有理数的运算包括加减法、乘除法及乘方,是初中数学运算的基础.要熟记法则,灵活运算,进行混合运算时,还要注意运算顺序及运算律的应用.
2 011
例3 (-1) 的相反数是( )
A .1 B .-1 C .2 011 D .-2 011
2
⎛1⎫⎛2⎫⎛1⎫例4 计算: -1⎪⨯ +⎪⨯(-8)-9÷ -1⎪; ⎝4⎭⎝5⎭⎝2⎭
题型三 运用运算律简化运算过程
运用加法的交换律、结合律,把某些具有相同属性的数(如正数、负数、分数中的分母具有倍数关系、相反数等) 分别结合在一起相加,可以简化运算过程.
例5 计算下列各题. (1) -
2
2
1⎛1⎫3⎛7⎫2- -2⎪+2+ -⎪-3; 2⎝3⎭4⎝8⎭3
13⎫1⎛1⎫⎛1⎫⎛1(2) ⎪÷ -2⎪+ 11+2-13⎪⨯24-; 3
42434(-0.2)⎭⎝⎭ ⎝⎭⎝
点拨:(1)正、负数分别结合相加;(2)分数中,同分母或分母有倍数关系的分数结合相加;(3)除法转化为乘法,正向应用乘法分配律;(4)逆向应用分配律a (b +c ) =ab +ac ,即ab +ac =a (b +c ) .
题型四 利用特殊规律解有关分数的计算题
根据题目特点,灵活将算式变形,对不同算式采取运算顺序重新组合、因数分解、裂项等不同的方法,达到优化解题过程、简化计算、解决问题的目的.
例6 计算下列各题.
(1) - (2)
15⎫⎛317⎫⎛3
-⎪⨯ 59-59+59⎪;
77⎭⎝5212⎭⎝7
111111111
++++++++ [**************]0
题型五 有理数运算的应用
用正负数可以表示相反意义的量,有理数的运算在生活中的应用十分广泛,其中,有理数的加法、减法及乘法运用较多.做题时,要认真分析,列出算式,并准确计算.
例7 有8箱橘子,以每箱15千克为标准,超过的千克数记为正数,不足的千克数记为负数,现记录如下(单位:千克) :1.2,-0.8,2.3,1.7,-1.5,-2.7,2,-0.2,则这8箱橘子的总重量是多少?
题型六 探索数字规律
找数字规律的题目成为近几年中考的热点问题,这类题目灵活多变.解题时要认真观察、分析思考,找出规律,并运用规律解决问题.
例8 某种细菌在繁殖过程中,每半小时分裂一次,由一个分裂成两个,2.5小时后,这种细菌可分裂为( )
A .8个 B .16个 C .32个 D . 64个
四、思想方法归纳
1.数形结合思想
数轴是数形结合的重要工具,涉及含字母或绝对值符号的问题,借助数轴往往有利于问题的迅速解决.
例1 有理数a 、b 在数轴上对应点的位置如图l -6-4所示,则必有( )
A .a + b>0 B .a - b<o C .a b>0 D .
2.分类讨论思想
例2 比较2 a与-2 a的大小.
3.转化思想
例3 计算:l 3+23+33+43+„+993+1003的值.
4.用“赋值法”解题
a
<0 b
在做选择题和填空题时,问题的结论如果运用法则、定义等推导,有些题容易,而有些题很复杂,对于那些推导过程比较复杂的题目可采取“赋值法”,这样就能又快又准地得出结论.
例5 若
x +y x +y
中的x ,y 都扩大到原来的5倍,则的值( ) x -y x -y
A .缩小, B .不变 C . 扩大到原来的5倍 D .缩小到原来的
15
五、中考热点聚焦
考点1 相反数、倒数、绝对值的概念
考点突破:此类题在中考中的考查为基础性题目,一般为选择题或填空题.解决这类问题要掌握相反数、倒数、绝对值概念的内涵和区别.
2
例1 -的相反数是( )
3
A .-
32
B .
3 2
C .
2
3
D .-
2 3
例2 ﹣2的相反数是( )
A .2
考点2 有理数的运算
考点突破:有理数的运算是初中数学的重要基础,是历年中考的必考内容.对有理数运算的考查往往融合在实数运算、整式运算之中,单独出现的题型不多,属中、低档难度.做有理数的计算题时,要牢记运算法则和运算顺序.
例3 (2011江苏苏州,1,3分)2⨯(-) 的结果是
A .-4 B .-1 C .- D . 例4计算|-1|+(-2) 2= .
考点3 数轴
考点突破:在中考中,对数轴的考查常与有理数的比较及运算结合在一起,是近几年中考题中的热点.解决数轴的有关问题时要注意数形结合思想的运用.
例5如图,在数轴上点A 表示的数可能是( )
B .﹣2 C .
1 2
D .-
1 2
12
143 2
考点4 科学记数法
A . 1.5 B . -1.5 C . -2.6 D . 2.6
考点突破:科学记数法是中考中的高频考点,属中考必考内容.把一个大于10的数表示成科学记数法,要写成a ³10 n 的形式,其中1≤| a |<10, n为正整数.
例6根据2010年第六次全国人口普查主要数据公报,江西省常住人口约为4456万人.这
个数据可以用科学记数法表示为( )
A .4.456³107人 B .4.456³106人 C .4456³104人
D .4.456³103人
综合验收评估测试题
一、选择题
1. 有理数中( )
A .有最大的负数 C .有绝对值最小的数
2. 若a <b <O ,则下列各式中正确的是( )
B .有最小的整数
D .不是正有理数就是负有理数
A .
11a a
< B .ab <l C . <1 D . >1 a b b b
3. 已知a 是最小的正整数,b 是最大的负整数,c 是绝对值最小的有理数,则a ,b ,
c 三数的和为( )
A .1 B .-l C .0 D .不存在
4. -1+2-3+4-5+6-„-99+100的值等于( ) A .5 050 B .-5 050 C .50 D .-50
5. 数轴上到表示-2的点的距离为3的点表示的数为( ) A .1 B .-5 C +5 D .1或-5
6. 当a <3时,|a -3|-(3-a ) 的值为( )
A .6-2a B .0 C .2a -6 D .-2a
7. 下列各组数中,互为相反数的是( )
A .3与
122
B .(-2) 与4 C . -25与(-5) D .7与|-7| 3
8. 关于近似值0.010 50的有效数字的个数和精确度,下列说法正确的是( ) A .五个有效数字,精确到十万分位 B .四个有效数字,精确到十万分位
C . 三个有效数字,精确到万分位 D .两个有效数字,精确到万分位
9. 据《中国经济周刊》报道,上海世博会第四轮环保活动投资总金额高达820亿元,其中820亿用科学记数法表示为( )
A .0.82³1011 B .8.2³1010 C .8.2³109 D .82³108
10. a 和- a的积一定是( )
A .正数 B .负数 C .非正数 D .非负数
二、填空题
11. 某粮店出售的三种品牌的大米袋上,分别标示质量为(25±0.1) kg ,(25±0.2) kg , (25±0.3) kg 的字样,从中任意拿出两袋,它们的质量最多相差 kg .
12. 有理数-3.7,2,2
12
,-,0,0.02中,属于正数的有 ;属于负数的33
有 .
43
13. 若a 、b 互为倒数,c 、d 互为相反数,则(ab ) -3(c +d ) = .
三、解答题
14. 已知x +3=0,|y +5|+4的值为4,z 对应的点到-2对应的点的距离是7,求x 、y 、
z 这三个数两两之积的和.
15. 计算:(1) ⎛1-5⎫
⎪³24-(-3-3) 2÷(-6÷3)2⎝812⎭
;
(2)-1101
-⎢⎡-3⨯(2÷3) 2
-4
÷22⎤⎣
3
⎥⎦
;
实数讲义
考点1 实数的概念及分类
1、按定义分类 2、按正负分类
⎧⎧⎧正整数⎫
⎧⎧⎪⎧正整数⎪⎪⎬自然数
整数正有理数零⎪⎨⎪⎨⎪⎭⎪
⎩正分数⎪正实数⎨⎪⎪⎪有理数负整数 ⎨⎩⎪正无理数 ⎪⎪⎩⎪⎪⎪ ⎧⎪正分数⎫⎪⎪分数⎪实数零 实数⎨有限小数或无限循环小数 ⎨⎨⎬⎪负分数⎪⎪⎭⎩⎪⎩⎧⎧负整数⎪⎪负有理数⎨⎪⎪负实数⎨⎪⎩负分数
⎪⎪⎧⎪负无理数 ⎪正无理数⎫
⎪⎩无限不循环小数 ⎪无理数⎨⎩⎬
负无理数⎪⎪⎭⎩⎩
【注意】
⑴ 任何分数都是有理数,如
223
-等; 711
⑵ 0既不是正数,也不是负数,但0是自然数; ⑶ 常见的几种无理数举例:
①构造型:如1.323223„„; ②根号型:
1等开不尽方的;
③三角函数型:sin 60︒, tan30︒等; ④与π有关的,如⑤分数型
π
3
, π-1等。
22(但不是分数)因为分数是有理数,像等是无理数 22
⑥代数式型(组合型) 3-2 ,-π
特别注意:对所有实数的判定都是建立在已化为最简..形式..的判定,比如
(2) 24, (1-2) -2,sin 30︒等都是穿着花外衣,而无实质无理数的内涵
⑷ 作无理数长度的线段:运用勾股定理计算,在数轴上画出2,3,5的长度
考点2 实数的相关概念 ⑴ 数轴:
1. 三要素:原点、单位长度、正方向 2. 数轴上的点与实数一一对应 3. 数轴上点的位置
⑵ 相反数:在原点两侧,到原点距离相等的点a 的相反数是-a 拓展:①若a , b 互为相反数,则有a +b =0,a 2n =b 2n ,a =b ;
②相反数等于它本身的数是零,即a =-a ,则a =0;
⑶ 倒数:零没有倒数,倒数等于本身的数是1或-1;若a 和b 互为倒数,则ab=1 ⑷ 绝对值:在数轴上,表示点到原点的距离(不考虑方向意义,没有正负号)
⎧a (a >0) ⎧a (a ≥0)
⎪⎪a =⎨0 (a =0) 或 a =⎨(提倡的一种表达方式)
⎪-a (a
说明:两数之差的绝对值在数轴上体现为表示这两点之间的距离。
(提倡大数减小数,可以回避符号问题,结果一定是正)例:-2到3的距离。 ⑸ 科学记数法:将原数写成a ⨯10n (其中1≤a
⑹ 近似数与有效数字:从左边第一个不是0的数字起,到精确的数位止(可包括中间的0和右边的0),所有的数字都叫做这个数的有效数字。 ⑺ 非负数:
①常见的非负数的形式:a , a 2a ≥0) ;a 可以是多项式 ②非负数性质:几个非负数之和为0,则每一个非负数都为0. ⑻ 平方根、立方根及算术平方根:
①平方根:(a ≥
0)
(a ≥0);
②平方根等于本身的数是0,立方根等于本身的数是±1,0,算术平方根等于本身的数是1,0。
精选考题
一、选择题
1. (2011福建泉州,1,3分)如在实数0,
-
A .-2,|-2|中,最小的是( ). 32 3 B.
C.0 D.|-2|
12. (2011广东广州市,1,3分)四个数-5,-0.1,( ). 2A. -5 B. -0.1 C. 12 D.
3. (2011山东滨州,1,3分)在实数π、1sin30°, 无理数的个数为( ) 3
A.1 B.2 C.3 D.4
4. (2011福建泉州,2,3分)(-2) 2的算术平方根是( ).
A . 2 B. ±2 C.-2 D. 2
5. (2011四川成都,8,3分)已知实数m 、n 在数轴上的对应点的位置如图所示,则下列判断正确的是
(A)m >0
(B)n
(C)mn
(D)m -n >0
6. (2011江苏苏州,1,3分)2³(-1)的结果是( ) 2
13A. -4 B.-1 C. - D. 42
7. (2011山东济宁,1,3分)计算 ―1―2的结果是
A.-1 B.1 C.- 3 D.3
8. (2011四川广安,2,3分)下列运算正确的是( )
A.-(-x +1) =x +
1 B
=
C
.2=2.(a -b ) 2=a 2-b 2
9. ( 2011重庆江津, 1,4分)2-3的值等于( )
A.1 B.-5 C.5 D.-1²
10. (2011四川绵阳1,3)如计算:-1-2=
A.-1 B.1
C.-3 D.3
二、填空题
1. (2011安徽,12,5分)根据里氏震级的定义,地震所释放的相对能量E 与震级n 的关
系为E =10,那么9级地震所释放的相对能量是7级地震所释放的相对能量的倍数是 .
2. (2011广东省,8,4分)按下面程序计算:输入x =3,则输出的答案是__ _ .
n
3. (2011山东日照,13,4分)计算sin30°﹣-2= .
4. (2011四川南充市,11,3分)计算(π-3) 0= .
5. (2011江西,9,3分)计算:-2-1= .
6. (2011湖南常德,8,3分)先找规律,再填数:
[**************]+-1=, +-=, +-=, +-=, [***********]
............
则111+-_______=. [1**********]1⨯2012
7. (2011江苏连云港,13,3分)如图,是一个数值转换机. 若输入数为3,则输出数是______.
1
8. (2011江西南昌,9,3分)计算:-2-1= .
9. (2011湖南怀化,11,3分)定义新运算:对任意实数a 、b ,都有a b=a2-b, 例如,32=32-2=7,那么21=_____________.
10.(2011安徽,14,5分)定义运算a ✞b=a(1-b ),下面给出了关于这种运算的几个
结论:
①2✞(-2)=6 ②a ✞b= b ✞ a
④若a ✞b=0,则a =0
( )2-减去输出数③若a +b=0,则(a ✞ a)+(b ✞ b)=2 ab
其中正确结论的序号是 .(在横线上填上你认为所有正确结论的序号)
三、解答题
11. (2011浙江金华,17,6分)计算:|-1|2-(5-π)0+4cos45°.
2. (2011广东东莞,11
,6
分)计算:1) 00-2-1
3. (1) (2011福建福州,16(1),
7分)计算:|-4|+20110
4. (2011江苏扬州,19(1),4分)(1)-3-(-2011) 0+4÷(-2) 3
2
-1
5. (2011山东滨州,19,6
分)计算:⎛ 1⎫0⎝2⎪⎭-(
π+3)-cos30︒-