高中数学第二章推理与证明2.2直接证明与间接证明(第2课时)课堂探究新人教A版选修1-2资料
高中数学 第二章 推理与证明 2.2 直接证明与间接证明（第2课时）
课堂探究 新人教A 版选修1-2
探究一 用反证法证明否定式命题
对于“否定”型命题，从正面证明需要证明的情况太多，不但过程烦琐而且容易遗漏，故可用反证法，一般当题目中含有“不可能”“都不”“没有”“不存在”等词语时，宜采用反证法证明．
【典型例题1】已知a ，b ，c ，d ∈R ，且ad －bc ＝1，求证a ＋b ＋c ＋d ＋ab ＋cd ≠1. 思路分析：本题要证的结论是以否定形式给出的，并且从正面入手不太好处理，因此使用反证法证明．
证明：假设a ＋b ＋c ＋d ＋ab ＋cd ＝1.
∵ad －bc ＝1，∴a ＋b ＋c ＋d ＋ab ＋cd ＝ad －bc . ∴a ＋b ＋c ＋d ＋ab ＋cd ＋bc －ad ＝0. ∴2a ＋2b ＋2c ＋2d ＋2ab ＋2cd ＋2bc －2ad ＝0. ∴(a ＋b ) ＋(b ＋c ) ＋(c ＋d ) ＋(a －d ) ＝0. ∴a ＋b ＝0，b ＋c ＝0，c ＋d ＝0，a －d ＝0.
∴a ＝b ＝c ＝d ＝0，∴ad －bc ＝0，这与ad －bc ＝1矛盾，
从而假设不成立，原命题成立，即a ＋b ＋c ＋d ＋ab ＋cd ≠1成立． 规律小结 反证法的具体步骤是：
(1)提出假设：作出与求证的结论相反的假设，否定结论；
(2)推出矛盾：由假设出发，推出与公理、定义、已知定理或题设相矛盾的结果； (3)肯定结论：出现矛盾是因为“否定结论”所致，由此得出原命题成立． 探究二 用反证法证明“至多”“至少”型命题
“至多”“至少”问题，直接证明比较复杂，可用反证法证明，体现了“正难则反”的思想方法．
【典型例题2】已知a ，b ，c 是互不相等的实数，求证：由y ＝ax ＋2bx ＋c ，y ＝bx ＋2cx ＋a 和y ＝cx ＋2ax ＋b 确定的三条抛物线至少有一条与x 轴有两个不同的交点．
思路分析：
假设三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点→原命题得证
证明：假设题设中的函数确定的三条抛物线都不与x 轴有两个不同的交点．由y ＝ax ＋2bx ＋c ，y ＝bx ＋2cx ＋a ，y ＝cx ＋2ax ＋b ，
得Δ1＝(2b ) －4ac ≤0，且Δ2＝(2c ) －4ab ≤0，且Δ3＝(2a ) －4bc ≤0.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
→演绎推理，利用Δ≤0得出矛盾
1
同向不等式求和得4b ＋4c ＋4a －4ac －4ab －4bc ≤0， ∴2a ＋2b ＋2c －2ab －2bc －2ac ≤0. ∴(a －b ) ＋(b －c ) ＋(a －c ) ≤0. ∴a ＝b ＝c .
这与题设a ，b ，c 互不相等矛盾，因此假设不成立，从而命题得证． 温馨提示 反证法常用的否定形式如下表所示：
2
2
2
2
2
2
222
证明“唯一性”问题的方法：“唯一性”包含“有一个”和“除了这个没有另外一个”两层意思．证明后一层意思时，采用直接证法往往会相当困难，因此一般情况下都采用间接证法，即用反证法(假设“有另外一个”，推出矛盾) 或同一法(假设“有另外一个”，推出它就是“已知那一个”)证明，而用反证法有时比用同一法更方便．
【典型例题3】证明方程2＝3有且只有一个根． 证明：∵2＝3，∴x ＝log 23. 这说明方程有一个根． 下面用反证法证明方程2＝3的根是唯一的． 假设方程2＝3有两个根b 1，b 2(b 1≠b 2) ， 则21＝3, 22＝3. 两式相除，得21如果b 1－b 2＞0，则21如果b 1－b 2＜0，则21
b －b 2b －b 2
b
b
b －b 2
x
x
x
x
=1.
=1相矛盾； =1相矛盾．
＞1，这与21
b －b 2
＜1，这也与21
b －b 2
因此b 1－b 2＝0，则b 1＝b 2，这就同b 1≠b 2相矛盾． 如果方程的根多于两个，同样可推出矛盾． 故2＝3有且只有一个根．
注意 “有且只有”表示“存在且唯一”．因此，在证明此类问题时要分别从存在性和唯一性两方面来考虑，而证明唯一性时，通常使用反证法．
探究四 易错辨析
易错点 漏用假设的结论致错
2
x
【典型例题4】已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2) ＜0，用反证法证明：关于x 的方程x －2x ＋5－p ＝0无实根．
错解：假设方程x －2x ＋5－p ＝0有实根． 由已知实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2) ＜0， 1
解得－2＜p ＜－2
又关于x 的方程x －2x ＋5－p ＝0的根的判别式Δ＝4(p －4) ， 1
∵－2＜p Δ＜0.
2
即关于x 的方程x －2x ＋5－p ＝0无实根．
错因分析：反证法证明问题的步骤为假设结论不成立，经过推理得出矛盾，否定假设，肯定结论，而此解法没有用到假设的结论，不是反证法．
正解：假设方程x －2x ＋5－p ＝0有实根， 则该方程的判别式Δ＝4－4(5－p )≥0，
解之得p ≥2或p ≤－2，这与已知条件实数p 满足不等式(2p ＋1)(p ＋2) ＜0矛盾， ∴假设不成立，
故关于x 的方程x －2x ＋5－p ＝0无实根．
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
3