巧用函数性质解抽象函数不等式
巧用函数性质 简解 抽象函数不等式
解抽象不等式,要设法把隐性划归为显性的不等式求解,这需要做好两件事,一是要把原不等式转化为f(◇) >f(□) 的模型,二是判断函数f (x )的单调性,再根据函数的单调性将不等式中的函数符号“f ”脱掉,得到具体的不等式(组)来求解。
一、 巧用函数的单调性脱掉函数符号“f ”
⑴ 先把常数穿上“f ”,然后脱掉“f ”
例1、 已知y =f(x)是(0,∞)上的增函数,且满足f(xy)=f(x)+f(y),f(2)=1,解不等式:
f(x)+(x-2) <3. ( 2<x <4 )
解析:破解此题的关键是要把不等式转化为f(◇) >f(□) 模型,从哪里入手,如何确定3是f(x)在自变量x 取何值时的函数值。从f(2)=1入手,想到把3改写成1+1+1,即3=1+1+1= f(2) +f(2) +f(2)。
⑵ 巧用奇函数的性质,从“f ”中走出来
例2、 设f(x)是[-1,1]上的奇函数,且对任意a ,b ∈[-1,1]时,〔f(a)+(b)〕/(a+b) >0,解
不等式:f(x-1/2)+(1/4-x) <0。 (-1/2≤x <3/8)或(3/8<x ≤4/5)
二、 巧用奇函数的对称性,寻求具体模拟图像
画出一个符合题意且最简单的f (x )示意图,并会看其图像,是解决抽象函数问题的一大法宝。
例3、设f(x)和g(x)分别是定义在R 上的奇函数和偶函数,
当x0时,f ’(x) g(x)+f(x) g’(x) >0, 且g(-3)=0,解不等式f(x) g(x) <0。
解析:∵f ’(x) g(x)+f(x) g’(x) >0,想到积的导数,于是令F(x)= f(x) g(x),
由F ’(x)=f ’(x) g(x)+f(x) g’(x)>0, ∴F(x)在(-∞, 0)上是增函数。
又可得F(x)=奇*偶,F(x)是R 上的偶函数。F(-3)=0。
可以作出F(x)的一个简单示意图了,在图像中一目了然得到解。
三、 巧用奇函数的对称性,从抽象中找到具体
针对选择填空题,可以用特殊化方法来解决,如特殊值、特殊函数、特殊点、特殊图像等,从抽象中找到具体,从而把抽象转化为具体,对于解决抽象不等式也可以用此法。 例4、已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)单调递增,则满足f(2x-1)<f (1/3)的x 取值范围是()
2 解析:因为是填空题,无需解答过程,找一个符合题意、最简单的函数f (x )=x来解
答就可以了。
四、 巧用偶函数的性质,从抽象中走出来
例5、设f(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,且在[-2,0]上单调递增,若f(1-m) > f(m),求实数m 的取值范围。
解析:f(x) 在[-2,0]上单调递增,在[0,2]上单调递减,要去掉“f ”,需要分多种情况讨论,十分复杂,不易完整,还易出错。巧用偶函数性质f(x)=F(|x|),就不用对1-m 和m 可能所在的区间进行讨论。
五、 巧用函数的周期性,从抽象中找到形象
例6、f(x)在[0,3]上单调递减,且f(x+4) =f(x),解不等式:f(2010) <f(|2x-1|)
解析:因为2010远离[0,3],所以要用函数的周期性,把f(2010)等价向区间[0,3]靠近,转化为f(4*502+2)= f(2)。
由例子可以看出,对于求解抽象函数不等式问题,往往需要综合应用函数的单调性、奇偶性、对称性、周期性、定义域、值域等知识。