14 抛物线的参数方程(教师版)
14. 抛物线的参数方程
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学习目标：1. 了解椭圆的参数方程的推导过程及参数的意义； 2. 掌握椭圆的参数方程，并能解决一些简单的问题. 学习重点：椭圆参数方程的应用，
学习难点：椭圆参数方程中参数的意义. 学习过程：
一、课前准备：
阅读教材P 33-P 34的内容，理解抛物线的参数方程的推导过程，并复习以下问题： 1. 将下列参数方程化为普通方程：
（1）⎨
⎧x =2-t ⎩y =t +t -3
2
（t 为参数），答：y =x 2-5x -3；
⎧x =2m 2
（2）⎨（m 为参数），答：y 2=8x .
⎩y =4m
2.将下列普通方程化为参数方程：
⎧x =t -1⎪t 1
（1）y =2x 2，其中x =t -（t 为参数），答：⎨；
t 2
⎪y =2t 2+2-4
t ⎩
⎧x =t
⎪
（2）3y 2=4x ，其中x =t （t ≥0为参数），答：⎨.
⎪y =±⎩
二、新课导学： （一）新知：
抛物线的参数方程的推导过程：
如图：设M (x , y ) 为抛物线上除顶点外的任意一点，以射线O M 为终边的角记为α，当α在(-
ππ
2, 2
) 内变化时，
点M 在抛物线上运动，并且对于α的每一个值，在抛物线上都有唯一的M 点与对应. 因此，可以取α为参数探求抛物线的参数方程.
根据三角函数的定义得，tan α=联立y =2px ，得
2
y x
，即y =x tan α，
2p ⎧x =2⎪⎪tan α
（α为参数），这为抛物线的不含顶点的参数方程，但方程的形式不够简洁， ⎨
2p ⎪y =
⎪tan α⎩
⎧x =2pt 2设t =，t ∈(-∞, 0) (0,+∞) ，则⎨（t 为参数 ），
tan αy =2pt ⎩
当t =0时，由参数方程得，正好为顶点O (0,0) ，因此当t ∈(-∞, +∞) 时，上式为
1
y =2px 的参数方程.
2
注意：参数t 的几何意义为：表示抛物线上除顶点外的任意一点与原点连线的斜率的倒数.
2
动动手：（1）选择适当的参数t ，建立抛物线x =2py 的参数方程.
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π2) (
【解析】如图，α∈(0,得，t =tan α=
y x
π2
, π) ，根据三角函数的定
2
义
，即y =xt ，联立x =2py ，得
⎧x =2pt
（t 为参数）. ⎨2
y =2pt ⎩
（2）可选择M 到准线的距离t 为参数，y 2=2px 的数方程是怎样的？
p
【解析】如图，|MA |=t ，则x =t -，代入抛物线方
2程，得y =，所以，抛物线的参数方程为 ⎧
⎪x =t -
2（t 为参数）. ⎨
⎪y =⎩
（二）典型例题：
p
参
【例1】A 、B 是抛物线y 2=2x 上异于顶点的两动点，
且O A ⊥O B ，O M ⊥A B 并与A B 相交于M ，求点M 的轨迹方程.
22
【解析】方法一 ：设M (x , y ) ，A (2t 1, 2t 1) ，B (2t 2, 2t 2) (t 1≠t 2, 且t 1⋅t 2≠0) .
由OA ⊥OB ，所以OA ⋅OB =0，
22(2t 1t 2) +2t 1t 2=0，t 1t 2=-1………① 又OM ⊥AB ，所以OM ⋅AB =0，
22
2x (t 2-t 1) +2(t 2-t 1) =0.
y
所以x (t 1+t 2) +y =0，t 1+t 2=-(x ≠0) ……………②
x
22又AM =(x -2t 1, y -2t 1) ，M B =(2t 2-x , 2t 2-y ) 且A ，
M ，B 共线.
22
∴(x -2t 1)(2t 2-y ) =(y -2t 1)(2t 2-x ) ，即y (t 1+t 2) -2t 1t 2-x =0……③
由①，②代入③，得到 x +y -2x =0(x ≠0) ，这就是所求M 点的轨迹方程. 方法二：设A (
y 12
2
22
, y 1)(y 1≠0) ，B (
y 12
2
y 22
2
, y 2)(y 2≠0) ，
因为O A ⊥O B ，所以⋅
y 22
2
+y 1y 2=0，y 1y 2=-4，
2y 1+y 2
(x -
y 12
2
直线A B 的方程为：y -y 1=
) ，即y =
2y 1+y 2
(x -2) ，
所以直线A B 过定点C (2p , 0)
又O M ⊥A B ，所以点M 的轨迹是以O C 为直径的圆，则M 的轨迹方程为
(x -p ) +y =p (y ≠0) .
2
2
2
⎧x =2pt 2
动动手：已知O 是坐标原点，A 、B 是抛物线⎨（t 为参数）上异于顶点的两动点，
⎩y =2pt
且O A ⊥O B ，求AB 中点M 的轨迹方程．
【解析】设A (2pt 1, 2pt 1) ，B (2pt 2, 2pt 2) ，由O A ⊥O B ，得t 1t 2=-1，
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22
22
⎧2pt 1+2pt 222
=p (t 1+t 2) ⎪x =
⎪2 又中点M (x , y ) 由⎨，结合t 1t 2=-1， ⎪y =2pt 1+2pt 2=p (t +t )
12
⎪2⎩
得点M 的方程为:y 2=p (x -2p ) .
三、总结提升：
1. 弄清抛物线参数方程中参数的几何意义，特别是参数t 对应的角的取值范围，会将抛物线的参数方程与普通方程互化.
2. 抛物线y 2=2px (p >0) 上任意一点可以设为M (2pt 2, 2pt ) . 3. 在求轨迹方程时，可以考虑用参数的方式设出动点的坐标. 四、反馈练习：
⎧x =4t 2
(t 为参数) 上，则P F 等于（ C ） 1. 若点P (3,m ) 在以点F 为焦点的抛物线⎨
⎩y =4t
A ．2 B ．3 C ．4 D ．5 ⎧x =2m
2. 抛物线⎨（m 为参数）的焦点坐标是 （ B ） 2
y =-m ⎩
A ．(-1, 0) B ．(0,-1) C ．(0,-2) D ．(-2, 0) ⎧x =2pt 2
(t 为参数, p 为正常数) 上的两点M , N 对应的参数分别为t 1和t 2，3. 已知曲线⎨
y =2pt ⎩
且t 1+t 2=0，那么M N = （ C ）
A ．p t 1 B ．2p t 1 C ．4p t 1 D ．8p t 1
⎧x =2pt 2
M 2所对应的参数分别是t 1、4. 若曲线⎨（t 为参数）上异于原点的不同的两点M 1、
⎩y =2pt
t 2，求M 1M 2所在直线的斜率.
【解析】由于M 1、M 2所对应的参数分别是t 1、t 2，，所以可设两点M 1、M 2坐标分别为
M 1(2pt 1, 2pt 1), M 2(2pt 2, 2pt 2) ，
2
2
所以，k M
1M
2
=
2pt 1-2pt 22pt -2pt
2
1
22
=
1t 1+t 2
.
2
5. A 、B 是抛物线y =2x 上异于顶点的两动点，且O A ⊥O B ，点A 、B 在什么位置时，
∆A O B 的面积最小？最小值是多少？
22
【解析】设A (2t 1, 2t 1) ，B (2t 2, 2t 2) (t 1≠t 2, 且t 1⋅t 2≠0) ，
则|OA |=2|t 1||O B |=2|t 2|， 因为O A ⊥O B ，所以t 1t 2=-1， 所以S ∆AOB =2|t 1t 2|
五、学后反思：
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==≥4，
当且仅当t 1=-t 2时，即A 、B 关于x 轴对称时∆A O B 面积最小，最小面积为4.
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