微探究 圆与直角坐标系

微探究

圆与直角坐标系

点是构成图形的基本元素，是联系图形与坐标的纽带. 通过点的坐标把数与形有机结合，由坐标找点和由点求坐标，是“数”与“形”相互转换的最基本形式.

圆置于直角坐标系中，通过图形中关键点的坐标表示，赋予图形以数的特征，使“数”与“形”融合共生. 把代数与几何融合在一起，既引进运动观念，又考查数形结合、分析转化、分类讨论思想方法及探究能力.

视野窗

图形与坐标

彰显坐标是沟通“数”与“形”的纽带，体现坐标在解决问题中的工具性，揭示坐标本质的变化规律与对应关系.

坐标变化是图形运动变化的本质反映，这种变化常通过“代数式”、“方程”或“函数”体现出来. 我们常借助于代数运算，运用方程、函数等工具，利用程序化的运算，探讨图形的相关性质.

例1 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P (3,0) ，⊙P 是以点P 为圆心，2为半径的圆，若一次函数y =kx +b 的图象过点A (-1,0) 且与⊙P 相切，则k +b 的值为 .

试一试 关注直线与y 轴交点坐标，作出圆中辅助线，由比例线段求出点的坐标.

例2 如图，以M (-5,0) 为圆心，4为半径的圆与x 轴交于A 、B 两点，P 是⊙M 上异于A 、B 的一动点，直线P A 、PB 分别交y 轴于C 、D ，以CD 为直径的⊙N 与x 轴交于E 、F ，则EF 的长（ ）

A.

等于 B. 等于 C. 等于6 D. 随P 点位置的变化而变化 试一试 排除干扰，突出形的分析（图中有全等形？相似形？）是解题的关键.

例3 如图，在平面直角坐标系中，点A (10,0)，以OA 为直径在第一象限内作半圆C ，点B 是该半圆圆周上一动点，连接OB 、AB ，并延长AB 至点D ，使DB=AB，过点D 作x 轴的垂线，分别交x 轴、直线OB 于点E 、F ，点E 为垂足，连接CF .

（1）当∠AOB=30°时，求弧AB 的长度； （2）当DE=8时，求线段EF 的长；

（3）在点B 运动过程中，是否存在以点E 、C 、F 为顶点的三角形与△AOB 相似？若存在，请求出此时点E 的坐标；若不存在，请说明理由.

试一试 对于（3），在点B 的运动过程中，点E 、F 的位置也随之发生改变，故按恰当的标准全面构建图形是解题的关键.

例4 如图，直线y =x +b (b >4) 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B ，与反比例函数y =-

4

x

的图象相交于点C 、D （点C 在点D 的左侧），⊙O 是以CD 的长为半径的圆. CE ∥x 轴，DE ∥y 轴，CE 、DE 相交于点E

.

（1）△CDE 是 三角形；点C 的坐标为 ，点D 的坐标为 （用含有b 的代数式表示）；

（2）当b 为何值时，点E 在⊙O 上？

（3）随着b 的取值逐渐增大，直线y =x +b 与⊙O 有哪些位置关系？求出相应的b 的取值范围.

试一试 对于（2），E 点坐标由（1）顺延得到，x E 、y E 及y =x +b 隐含了怎样的图形特征？OE=CD，建立b 的等式；对于（3），从⊙O 与直线y =x +b 相切切入.

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例4立足于b 的约束，融合了直线形、函数、圆等丰富的知识，解题的关键是突出图形的生成过程，注重图形生成条件的探索过程，并把条件代数化，建立方程. 问题（2）中点E 承上启下，有多种解决方法，读者不妨多试.

抛物线与圆

例5 如图，二次函数y =ax 2+bx +c 的图象交x 轴于A (-1,0) ，B (2,0) ，交y 轴于

C (0,-2) ，过A 、C 画直线.

备用图

（1）求二次函数解析式；

（2）点P 在x 轴正半轴上，且P A=PC，求OP 的长.

（3）点M 在二次函数图象上，以M 为圆心的圆与直线AC 相切，切点为H . ① 点M 在y 轴右侧，且△CHM ∽△AOC （点C 与点A 对应），求点M 的坐标； ② 若⊙

M M 的坐标. 分析 对于（3），用几何方法确定点M 的位置，再用代数方法（建立方程）求其坐标. 解 （1）y =x 2-x -2；

（2）设p (x ,0) ，由P A=PC，得PA 2=PC 2，即(x +1) 2=x 2+22，解得x = ∴P (,0) ，OP =

3

， 2

323. 2

（3）① ∵△CHM ∽△AOC ，∴∠MCH=∠CAO . 情形1：如图①，当H 在点C 下方时， ∵∠CAO=∠MCH ，∴CM ∥x 轴.

∴y M =-2，∴x 2-x -2=-2， 解得x =0（舍去）或x =1，∴M (1,-2) .

图① 图②

情形2：如图①，当H 在点C 上方时， ∵∠M′CH=∠CAO ，

由（2）得，M′为直线CP 与抛物线的另一交点，

设直线C M′的解析式为y =kx -2，把P (,0) 的坐标代入，得k -2=0，

3

232

444

，∴y =x -2. 由x -2=x 2-x -2，

333

710710

解得x =0（舍去）或x =，此时y =，∴M '(, ) .

3939

解得k =

② 如图②，在x 轴上取一点D ，过点D 作

DE ⊥AC 于点E ，使DE =∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD ，

AD DE

∴△AED ∽△AOC ，∴

，解得AD=2. ==

2AC OC ∴D (1,0)或D (-3,0) .

过点D 作DM ∥AC ，交抛物线于M ，

则直线DM 的解析式为y =-2x +2或y =-2x -6. 当-2x -6=x 2-x -2时，方程无实数解；

，x 2=.

或M . ∴点M

的坐标为M 当-2x +2=x 2-x

-2时，解得x 1=

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直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于半径；直线垂直过切点的半径，这些性质为勾股定理运用、建立方程提供了基础，是解相关问题的关键.

无法找到解题的突破口，或推算几步就卡壳，或运算过于繁难，这就是解题中思路受阻的常见现象，下面是处置思路受阻采用的处理策略：

（1）补充信息；（2）目标互补；（3）动静转换；（4）等价转化；（5）自我调控. 其中“自我调控”主要表现为在思路受阻时对解题思路进行评价、调节、发问，如条件与目标有何差异或联系？怎样达到目标等.

练一练

1. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (0,2)，⊙A 的半径为2，⊙P 的半径是1，满足与⊙A 及x 轴都相切的⊙P 有.

2. 如图，已知⊙O 是以坐标原点为圆心，1为半径的圆，∠AOB=45°，点P 在x 轴上运动，若过点P 且与OA 平行的直线与⊙O 有公共点，设P (x ,0) ，则x 的取值范围是 . 3. 如图，在直角坐标系中，四边形OABC 是直角梯形，BC ∥OA ，⊙P 分别与OA 、OC 、BC 相切于点E 、D 、B ，与AB 交于点F . 已知A (2,0)，B (1,2)，则tan ∠FDE=

.

（第2题）

（第3题）

4. 如图，在平面直角坐标系中，⊙O 的半径为1，则直线y =x O 的位置关系是（ ）

A. 相离 B. 相切 C. 相交

D. 以上三种情况都有可能 5. 如图，⊙O 的半径为2，点A 的坐标为，直线AB 为⊙O 的切线，B 为切点，则B

点的坐标为（ ） A. (849

) B. ( C. (-,

) D. (-1

555

6. 如图，已知三个半圆依次相外切，它们的圆心都在x 轴的正半轴上，并与直线y =

相切，设半圆C 1、半圆C 2、半圆C 3的半径分别是r 1、r 2、r 3，则当r 1=1时，r 3=（ ）

A. 6 B. 7 C. 8 D. 9

（第4题） （第5题） （第6题）

7. 如图，在平面直角坐标系中，点O 为坐标原点，直线y =2x +4交x 轴于点A ，交y 轴于点B ，四边形ABCO 是平行四边形，直线y =-x +m 经过点C ，交x 轴于点D . （1）求m 的值；

（2）点P (0,t ) 是线段OB 上的一个动点（点P 不与O 、B 两点重合），过点P 作x 轴的平行线，分别交AB 、OC 、DC 于点E 、F 、G . 设线段EG 的长为d ，求d 与t 之间的函数关系式（直接写出自变量t 的取值范围）；

（3）在（2）的条件下，点H 是线段OB 上一点，连接BG 交OC 于点M ，当以OG 为直径的圆经过点M 时，恰好使∠BFH=∠ABO ，求此时t 的值及点H 的坐标

.

（第7题） 备用图

8. 在平面直角坐标系xOy 中，已知点P 在正比例函数y =x 的图象上，点P 的横坐标为m (m >0)

. 以点P 为半径的圆交x 轴于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），交y 轴于C 、D 两点（点D 在点C 的上方），点E 为□DOPE 的顶点，如图所示. （1）写出点B 、E 的坐标（用含m 的代数式表示）；

（2）连接DB 、BE ，设△BDE 的外接圆交y 轴于点Q （点Q 异于点D ），连接EQ 、BQ . 试问线段BQ 与线段EQ 的长是否相等？为什么？ （3）连接BC ，求∠DBC -∠DBE 的度数.

（第8题） 备用图

9. 经过x 轴上A (-1,0) ，B (3,0)两点的抛物线y =ax 2+bx +c 交y 轴于点C ，设抛物线的顶点为D ，若以DB 为直径的⊙G 经过点C ，求解下列问题： （1）用含a 的代数式表示出点C 、D 的坐标； （2）求抛物线解析式；

（3）如图，当a

（第9题） （第10题）

10. 如图，已知抛物线与坐标轴分别交于A (-2,0) ，B (2,0)，C (0,-1) 三点，过坐标原点O

的直线y =kx 与抛物线交于M 、N 两点，分别过点C 、D (0,-2) 作平行于x 轴的直线l 1、l 2.

（1）求抛物线对应的二次函数的解析式； （2）求证：以ON 为直径的圆与直线l 1相切；

（3）求线段MN 的长（用k 表示），并证明M 、N 两点到直线l 2的距离之和等于线段

MN 的长.