正弦.余弦定理(高考题)
正弦、余弦定理
公式定理
111
ab sin C =ac sin B =bc sin A 222
a b c
===2R (2)正弦定理:
sin A sin B sin C
(1)△ABC 的面积公式:S ∆=
⎧a 2=b 2+c 2-2bc ⋅cos A ⎪
(3)余弦定理:⎨b 2=a 2+c 2-2ac ⋅cos B
⎪c 2=a 2+b 2-2ab cos C ⎩
余弦定理常见变形:
b 2+c 2-a 2
cos A =
2bc a 2+c 2-b 2
cos B =
2ac a 2+b 2-c 2
cos C =
2ab
c 2=a 2+b 2-2ab cos C =(a +b ) 2-2ab (1+cocC )
常用三角关系拓展
A +B A -B
cos 22A -B A +B
cos (2)sin A -sin B =2sin 22
(1)sin A +sin B =2sin 重要结论
A >B >C ⇔a >b >c ⇔sin A >sin B >sin C ① △ABC 中,a , b , c 分别为A,B,C 的对边,
② 在△ABC 中,给定A,B 的正弦或余弦值,则C 有解(即存在)的充要条件是
cos A +cos B >0
链接高考
222
1、(2012年上海)在∆ABC 中,若sin A +sin B
A .锐角三角形B .直角三角形C .钝角三角形D .不能确定.
2222、(2012年陕西)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a , b , c ,若a +b =2c ,
则cos C 的最小值为( ) A .
112
B .C .D .-
2222
D 是边AC 上的点,3、(2011年天津)如图,在∆ABC 中,且AB =AD ,
B
2AB =,BC =2BD ,则sin C 的值为( )
A
B
C
4、(2011年辽宁)△ABC 的三个内角A,B,C 所对的边分别为a , b , c ,
a sin A sin B +b cos 2A =2a 则
b
=( ) a
(A)
5、(2010年天津)在△ABC 中,内角A,B,C 的对边分别是a , b
, c ,若a
-b =,
2
2
sin C =B ,则A=( )
(A )300 (B )600 (C )1200 (D )1500
c =6、(2010年湖南)在∆ABC 中,角A,B,C 所对的边长分别为a , b , c 。若∠C =120,
,
则( )
A .a >b B.a
1
,则b =. 4
8、(2012年湖北)设△ABC 的内角A,B,C ,所对的边分别是a , b , c 。若
(a +b -c )(a +b +c ) =ab ,则角C=______________。
9、(2012年重庆)设∆ABC 的内角A , B , C 的对边分别为a , b , c ,且
35
cos A =,cos B =, b =3, 则c =
513
10、(2011年北京)在∆ABC 中,若b =5, ∠B =
π
4
,tan A =2,则sin A =;a =。
11、(2011年福建)如图,△ABC 中,AB=AC=2,BC=D 在BC 边上,∠ADC=45°,则AD 的长度等于______。
12、(2011年上海)在正三角形ABC 中,D 是BC 上的点,AB =3, BD =1,
则AB ⋅AD =____________
13、(2010年山东)在∆ABC 中,角A , B , C 所对的边分别为a , b , c ,若a =
b =2,
sin B +cos B =,则角A 的大小为
14、(2010年江苏)在锐角三角形ABC ,A , B , C 的对边分别为a , b , c ,若则
b a
+=6cos C ,a b
tan C tan C
+= tan A tan B
15、(2011年江苏)在△ABC 中,角A , B , C 所对应的边为a , b , c (1)若sin(A +
16、(2011年山东)在△ABC 中,内角A , B , C 的对边分别为a , b , c 已知
π
1
) =2cos A , 求A 的值;(2)若cos A =, b =3c ,求sin C 的值. 63
cos A -2cos C 2c -a =.
cos B b sin C 1
(1)求的值;(2)若cos B =, b =2,△ABC 的面积S 。
sin A 4
17、(2011年江西)在△ABC 中,角A , B , C 的对边分别是a , b , c , 已知
sin C +cos C =1-sin
C
。(1)求s i n C 的值;(2)若a 2+b 2=4(a +b ) -8,求边c 的值。 2
18、(2010年浙江)在△ABC中, 角A , B , C 所对的边分别为a , b , c 。已知cos 2C =-(1)求sin C 的值;(2)当a =2,2sin A =sin C 时。求b 及c 的长.
19、(2010年全国2)∆ABC 中,D 为边BC 上的一点,BD =33,sin B =
1
4
5,13
cos ∠ADC =
复习回顾
3
,求AD . 5
1. 设a ,b 是两个不共线的非零向量(t ∈R )。
(1)若与起点相同,t 为何值时,,t ,(a +b ) 三向量的终点在一直线上; (2
=与夹角为60°,那么t
-的值最小。
2. 开口向下的二次函数f (x ) 对任意x ∈R 都有f (1-x ) =f (1+x ) 成立。设向量
1
3
a =(sinx , 2) ,=(2sin x , ) ,c =(cos2x -sin 2x , 1) ,d =(1, 2) ,其中x ∈[0, π],试求
不等式f (⋅) >f (⋅) 的解集。
12
正弦、余弦定理参考答案
1.C ;2.C ;3.D ;4.D ; 5.A; 6.A;
7.4; 8.120°; 9.13. 30°; 14.4; 15. (1)A =
14215
5,2; 11. 2; 12. ; ; 10.
5251
; 3
π
3
,(2)sin C =
16. (1)
sin C =2,(2)S =; sin A 4
3
,(2)c =7+1; 4
17. (1)sin C =
18. (1)sin C =19. AD =25 复习回顾 1. (1)t =
,(2)b =26, c =4或b =, c =4; 4
11 ,(2)t
=-最小,为a 222
2. ⎢0,
⎡π⎫⎛3π⎤⎪ , π⎥ ⎣4⎭⎝4⎦