二项式定理(习题含答案)

二项式定理

一、 求展开式中特定项 1

、在30

的展开式中，x的幂指数是整数的共有（） A．4项 B．5项 C．6项 D．7项 【答案】C

r

【解析】Tr1C30

x

30r

15r1r6

，r0,1,2......30，若要是幂指数是C30xx

r

5

整数，所以r0，6，12，18，24，30，所以共6项，故选C．

1

3、若(x23)5展开式中的常数项为．（用数字作答）

x

【答案】10

【解】由题意得，令x1，可得展示式中各项的系数的和为32，所以2n32，解得n5，所以(x2

15r105r2

，当r2时，常数项为C510， )展开式的通项为Tr1C5x3

x

4

、二项式)8的展开式中的常数项为． 【答案】112

【解析】由二项式通项可得，Tr1C(x)

r8

8r

r

rrr

()(2)C8x（r=0,1,,8）,显然x

2x

当r2时，T3112，故二项式展开式中的常数项为112.

1

)(13x)4的展开式中常数项等于________． x

【答案】14．

1r

2【解析】因为(2)(13x)4中(13x)4的展开式通项为Cr4(3x)，当第一项取时，

x

1

2，此时的展开式中常数为；当第一项取时，C1C0144(3x)12，此时的展开

x

式中常数为12；所以原式的展开式中常数项等于14，故应填14．

5、(26、设a





2x，则sinx12cosdxx22的展开式中常数项是． 2

6



【答案】332 332a





2

sinx12cos

x

dx

0sinxcosxdx(cosxsinx)02，2

(

66

的展开式的通项为

r

Tr1C66r(rr

(1)r26rC6x3r，所以所求常数项为35

332． T(1)3263C62(1)5265C6

二、 求特定项系数或系数和

7

、(x)8的展开式中x6y2项的系数是（）

A．56 B．56 C．28 D．28

【答案】A

r8r2

【解析】由通式C8令r2，则展开式中x6y2项的系数是C8 x(2y)r，(2)256．

8、在x（1+x）的展开式中，含x项的系数是． 【答案】15

rr2

【解】1x的通项Tr1C6x，令r2可得C615．则x1x中x3的系数为15.

6

6

63

9、在(1x)6(2x)的展开式中含x3的项的系数是． 【答案】-55

32【解析】(1x)6(2x)的展开式中x3项由2C6(x)3和（-x）C6(x)2两部分组成，32所以x3的项的系数为-2C6C655． e10、已知n1

6

13ndx，那么（x）展开式中含x2项的系数为．

xx

6

【答案】135

e

【解析】根据题意，n1

3n1e6

（x）dxlnx|16，则中，由二项式定理的通项公式

xx

rnrrr6r

Tr1Cnab，可设含x2项的项是Tr1C6x(3)r，可知r2，所以系数为2

． C69135

11、已知1xa0a11xa21xLa101x，则a8等于（）

A．－5 B．5 C．90 D．180

101082

a(1x)(21x)C(2)454180.选Ｄ． 810【答案】D因为，所以等于

10210

12、

在二项式1n

x)的展开式中，只有第5项的二项式系数最大，则n________；2

展开式中的第4项＝_______． 【答案】8，7x．

(nr)(2nr)1r21r1rr33

xCn()x【解析】由二项式定理展开通项公式Tr1C()x，由题

22

rn

193

19

(163)131

7x3．意得，当且仅当n4时，C取最大值，∴n8，第4项为C()x3

2

rn38

13、如果(12x)7a0a1xa2x2a7x7，那么a0a1a7的值等于（） （A）－1 （B）－2 （C）0 （D）2 【答案】A

【解析】令x1，代入二项式(12x)7a0a1xa2x2a7x7，得(1

7

2)a0a1a2

x令代入二项式(12x)7a0a1xa2x2a7x7，a10，7，

得(10)7a01，所以1a1a2a71，即a1a2a72，故选A． 14、（

﹣2）7展开式中所有项的系数的和为

【答案】-1 解：把x=1代入二项式，可得（﹣2）7 =﹣1， 15、（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中所有项的系数和等于 【答案】0 解：在（x﹣2）（x﹣1）5的展开式中，令x=1，即（1﹣2）（1﹣1）5=0， 所以展开式中所有项的系数和等于0. 16

、在1

3)n(nN*)的展开式中，所有项的系数和为32，则的系数等于．

x1

的项就是x

【答案】270

【解析】当x1时，-232，解得n5，那么含

n

113

C523270，所以系数是-270. xx

17、设k

2





(sinxcosx)dx，若(1kx)8a0a1xa2x2a8x8，则

．a1a2a3a8 【答案】0.

【



解



析】由

k(sinxcosx)dx(cosxsinx)

(cossin)(cos0sin0)2，

令x1得：(121)8a0a1a2a8，即a0a1a2a81 再令x0得：(120)8a0a10a20a80，即a01 所以a1a2a3a80

18、设（5x﹣）的展开式的各项系数和为M，二项式系数和为N，若M﹣N=240，则展开式中x的系数为 . 【答案】150

解：由于（5x﹣）n的展开式的各项系数和M与变量x无关，故令x=1，即可得到展开式的各项系数和M=（5﹣1）n=4n．

再由二项式系数和为N=2n，且M﹣N=240，可得 4n﹣2n=240，即 22n﹣2n﹣240=0. 解得 2n=16，或 2n=﹣15（舍去），∴n=4. （5x﹣5？令4﹣

4﹣r

n

）的展开式的通项公式为 Tr+1=．

n

？（5x）？（﹣1）？

4﹣rr

=（﹣1）？

r

？

=1，解得 r=2，∴展开式中x的系数为 （﹣1）？

r

？5

4﹣r

=1×6×25=150，

19、设(1x)8a0a1xa7x7a8x8，则a1a7a8． 【答案】255

【解析】a1a7a8a1a2a3a4a5a6a7a8， 所以令x1，得到28a0a1a2a3a4a5a6a7a8， 所以a1a2a3a4a5a6a7a828-a02561255 三、 求参数问题

20

、若的展开式中第四项为常数项，则n（） A．4B．5C．6D．7

【答案】B

【解析】根据二项式展开公式有第四项为T4C(x)为常数，则必有

3n

n3

n

(

12x

)C2x

3

3n

3

n52

，第四项

n5

0，即n5，所以正确选项为B. 2

21、二项式(x1)n(nN*)的展开式中x2的系数为15，则n （ ） A、5 B、 6 C、8 D、10 【答案】B

k

【解析】二项式(x1)n(nN*)的展开式中的通项为Tk1Cnxnk，令nk2，得n22kn2，所以x2的系数为CnCn

n(n1)

15，解得n6；故选B． 2

22、(a＋x)4的展开式中x3的系数等于8，则实数a＝________．【答案】2

333rr4r

【解析】∵Tr+1=C4∴当4r3，即r1时，T2=C1ax，4ax4ax8x,a2．

23、若1x1ax的展开式中x2的系数为10，则实数a（） A

1B．或1 C．2或 D

．B．

【解析】由题意得(1ax)4的一次性与二次项系数之和为14，其二项展开通项公式

rrrTr1C4ax，

221∴C4aC4a10a1或，故选B．

4

5

353

53

24、设(1x)(1x)2(1x)3(1x)n

a0a1x22axnn，a当x

a0aan254时，n等于（） 1a2

A．5B．6C．7D．8

【答案】C． 【解析】令x1，

2(2n1)

2n12254n18n7，故选C． 则可得2222

21

2

3

n

四、 其他相关问题

25、20152015除以8的余数为( ) 【答案】7

【解析】试题分析：先将幂利用二项式表示，使其底数用8的倍数表示，利用二项式定理展开得到余数． 试题解析：解：∵2015=20162012+…+故2015

2015

20152015

=？2016，

2015

﹣？2016+

2014

？2016﹣

2013

？

？2016﹣

除以8的余数为﹣=﹣1，即2015

2015

除以8的余数为7，