小题精练7

小题精练(七) 简单的线性规划

(限时：60分钟)

x ＋y －7≤0，⎧⎪

1．(2014·高考新课标全国卷Ⅱ) 设x ，y 满足约束条件⎨x －3y ＋1≤0，

⎪⎩3x －y －5≥0，大值为( )

A ．10 B ．8 C ．3 D ．2 x ＋y －2≥0，⎧⎪

2．(2014·高考北京卷) 若x ，y 满足⎨kx －y ＋2≥0，

⎪⎩y ≥0，的值为( )

11

A ．2 B ．－2 D ．－22

y ≥1⎧⎪

3．(2014·河北省保定调研) 已知x ，y 满足约束条件⎨y ≤x

⎪⎩2x ＋y －6≥0最小值为( )

A. B ．8 C. D ．10 24

x －ay ≤2⎧⎪4．(2014·贵州省六校联考) 当x ，y 满足⎨x －y ≥－1

⎪⎩2x ＋y ≥4

则z ＝2x －y 的最

且z ＝y －x 的最小值为－4，则k

，那么z ＝2x ＋3y 的

时，z ＝x ＋y 既有最大值也有最小值，则实数a 的取值范围是( ) 1

A ．a

2C ．0≤a ＜1 D ．a

3x ＋y －6≥0⎧⎪

5．(2014·山西省四校联考) 设变量x ，y 满足约束条件⎨x －y －2≤0

⎪⎩y －3≤0＋ax 的最小值为－7，则a 的值为( ) A ．－2 B ．－4 C ．－1 D ．1

x ≥2⎧⎪

6．(2014·山西省四校联考) 实数x ，y 满足⎨x －2y ＋4≥0，

⎪⎩2x －y －4≤0

，且目标函数z ＝y

若z ＝kx ＋y 的最大值为13，

则实数k ＝( ) 139

A ．2 B. C. D ．5

24

⎧⎪x －2y ＋2≥0

7．(2014·河南洛阳高三考试) 实数x ，y 满足条件⎨x ≥0

⎪⎩y ≥0

( )

11

A. B. C ．1 D ．4 42

x ＋y －4≤0

，则22x y 的最小值为

－

⎧0≤x ≤2，8．在平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎨y ≤2，

⎩x 2y ，

A ．2 B ．32 C ．4 D ．3

x ≥1⎧⎪

9．(2014·长春调研) 实数x ，y 满足⎨y ≤a (a ＞1)，

⎪⎩x －y ≤0数a 的值为( ) 3

A ．2 B ．3 C ．4 D.

2

2x －y ＋2≥0⎧⎪

10．(2014·辽宁省五校联考) 已知集合A ＝{(x ，y )|⎨x －2y ＋1≤0

⎪⎩x ＋y －2≤0－1) 2≤m }，若A ⊆B ，则m 的取值范围是( ) A ．m ≥1 B ．m ≥2 C ．m ≥2 D ．m ≥5

x ＋y －2≥0，⎧⎪

11．(2014·高考安徽卷) 不等式组⎨x ＋2y －4≤0，

⎪⎩x ＋3y －2≥0

给定．若M (x ，y ) 为

→→

D 上的动点，点A 的坐标为2，1) ，则z ＝OM ·OA 的最大值为( )

若函数z ＝x ＋y 的最大值为4，则实

}，B ＝{(x ，y )|x 2＋(y

表示的平面区域的面积为________．

⎧⎪x －y －1≥012．(2014·温州模拟) 若变量x ，y 满足不等式⎨，则x 2＋y 2的最小值为

⎪y ≥1⎩

________．

x －y ≤0⎧⎪

13．(2014·云南省昆明调研) 设x ，y 满足约束条件⎨x ＋y －1≥0，

⎪⎩x －2y ＋2≥0小值为4，则m ＝________.

若z ＝x ＋3y ＋m 的最

x －y ＋2≤0⎧⎪

14．(2014·深圳模拟) 已知变量x ，y 满足约束条件⎨x ≥1

⎪⎩2x ＋y －8≤0________．

y

，则x

(2x －y ＋2)(4x －y －2)≤0⎧⎪

15．(2014·山西省四校联考) 设实数x ，y 满足⎨0≤x ≤2

⎪⎩y ≥0

，若目标函数

m 1

z ＝x ＋y (m ＞0，n ＞0) 的最大值为10，则2m ＋的最小值为________． n n

小题精练(七) 简单的线性规划

1．解析：选B. 画出可行域后利用直线在y 轴上的截距的几何意义可求得最值． 画出可行域如图所示．

由z ＝2x －y ，得y ＝2x －z ，欲求z 的最大值，可将直线y ＝2x 向下平移，当经过区域内的点，且满足在y 轴上的截距－z 最小时，即得z 的最大值，如图，可知当过点A 时z

⎧x ＋y －7＝0，⎧x ＝5，⎪⎪

⎨最大，由得⎨即A (5,2)，则z max ＝2×5－2＝8. ⎪⎪⎩x －3y ＋1＝0，⎩y ＝2，

2．解析：选D. 作出可行域，如图中阴影部分所示，直线kx －y ＋2＝0与x 轴的交点为2

k 0⎫. A ⎛⎝⎭

21

∵z ＝y －x 的最小值为－4，∴4，解得k ＝－，故选D.

k 25

3．解析：选B. 作出可行域如图，求得A (，1) ，B (2,2)，

2z 2

当y ＝－x 经过A 点时，z 最小且最小值为

8.

33

⎧⎪x －y ＋1≥0

4．解析：选B. 先作出不等式组⎨表示的可行域，再作x －ay －2≤0，因为

⎪2x ＋y －4≥0⎩

x －ay －2＝0过定点(2,0)，且x －ay －2≤0与前面可行域围成的区域是封闭区域，故实1

数a ＜a ＜1.

2

5．解析：选A. 由题知可行域如图，直线z ＝y ＋ax 只有过A 、B 、C 三点时才有可能取得最值，若直线z ＝y ＋ax 过点C (5,3)时满足题意，则－7＝3＋5a ，a ＝－2，经检验此时确实取最小值－7，所以选A.

6．解析：选C. 设直线x －2y ＋4＝0与2x －y －4＝0、直线x －2y

＋4＝0与x ＝2的交点分别为A 、B ，则A (4,4)、B (2，3) ，z ＝kx ＋y 可化为y ＝－kx ＋z . 当k ＝0时，显然不符合题意．当－k ＞0，即k ＜0时，A 、B 两点都可能是最优点，但9

代入后检验都矛盾；当－k ＜0，即k ＞0时，显然点A (4,4)是最优解，代入后可得k ＝.

47．解析：选B. 画出可行域，如图所示．求22x y 的最小值等

－

价于求2x －y 的最小值，令z ＝2x －y ，则y ＝2x －z ，由图知1－

当该直线过点(0,1)时，22x y 取得最小值，即为.

2

8．解析：选C. 如图作出区域D ，目标函数z ＝2x ＋y 过点B (2，2) 时取最大值，故z 的最大值为2×2＋2＝4，故选

C.

9．解析：选A. 由z ＝x ＋y ，得y ＝－x ＋z ，则z 表示该组平行直线x ≥1⎧⎪

在y 轴上的截距．又由约束条件⎨y ≤a (a ＞1)

⎪⎩x －y ≤0

作出可行域如图，先

画出y ＝－x ，经平移至过y ＝x 和y ＝a 的交点A (a ，a ) 时，z 取得最大值，即z max ＝a ＋a ＝4，所以a ＝2，故选A.

10．解析：选C. 作出可行域，如图中阴影部分所示，三个顶点到圆心(0,1)的距离分别是1,1，2，由A ⊆B 得三角形所有点都在圆的内部，故m ≥2，解得m ≥

2.

⎧⎪x ＋3y －2＝0，

11．解析：由⎨得A (8，－2) ．

⎪x ＋2y －4＝0⎩

11

由x ＋y －2＝0得B (0,2)．又|CD |＝2，故S 阴影＝×2×2×2×2＝4.

22答案：4

12．解析：已知不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示，而x 2＋y 2是阴影部分内的点到原点的距离的平方，显然其最小值为点(2,1)到原点的距离的平方，故其答案为

5.

答案：5

11

13．解析：画出可行域，如图所示，设z ′＝x ＋3y ，变形为y ＝－x ′，当z ′取到

33

⎧⎪x －y ＝011

最小值时，直线的纵截距最小，此时直线过C 点．由⎨可知C (，代入

22⎪⎩x ＋y －1＝0

11

目标函数z ＝x ＋3y ＋m ，得4＝3×m ，得m ＝

2.

22

答案：2

14．解析：如图，画出可行域，易得A (2,4)，B (1,6)，∴它们y y －0y

与原点连线的斜率分别为k 1＝2，k 2＝6，又x ，∴k 1≤x

x －0y

≤k 2，即2≤≤6.

x 答案：[2,6]

m

15．解析：由题知可行域如图阴影部分，在目标函数z ＝n m 2m

＋y 中令z ＝0，作出直线y ＝－x ，平移至过点(2,6)时，z 取得最大值，故6＝10，

n n 所以m ＝2n ，所以2m ＋n ＝4n ＋n ≥4(当且仅当n ＝时，等号成立) ．

2

答案：4