[物理学]李寿松 胡经国 主编 习题解答答案 第三.四章

第三章 刚体的定轴转动

选择题

3－1 如图所示, 四个质量相同、线度相同而形状不同的物体, 它们对各自的几何对称轴的转动惯量最大的是 （ A ）

（A ）

(B) (C) (D)

3－2 在上题中, 它们对各自的几何对称轴的转动惯量最小的是 （ C ） 3－3 如图所示, P 、Q 、R 、S 是附于刚体轻细杆上的四个质点, 它们的质量分别为4m 、3m 、2m 和m , PQ =QR =RS =l , 该系统对OO '轴的转动惯量为 （ A ）

(A) 50ml ; (B) 14ml ; (C) 10ml ; (D) 9ml .

2222

3－4 均匀细棒OA , 可绕通过点O 与棒垂直的光滑水平轴转动, 如图所示. 如果使棒从水平位置开始下落, 在棒到竖直位置的过程中, 下列陈述正确的是 （ A ）

(A) 角速度从小到大, 角加速度从大到小;

(B) 角速度从小到大, 角加速度从小到大;

(C) 角速度从大到小, 角加速度从大到小;

(D) 角速度从大到小, 角加速度从小到大.

3－5 几个力同时作用在一个具有固定转轴的刚体上. 如果这几个力的矢量和为零, 则下列陈述正确的是 （ D ）

(A) 刚体必然不会转动; (B) 刚体的转速必然不变;

(C) 刚体的转速必然会变; (D) 刚体的转速可能变, 也可能不变.

3－6 在光滑的桌面上开一个小孔, 把系在绳的一端质量为m 的小球置于桌面上, 绳的

另一端穿过小孔而执于手中. 设开始时使小球以恒定的速率v 在水平桌面上作半径为r 1的圆周运动, 然后拉绳使小球的轨道半径缩小为r 2, 新的角速度ω2和原来的角速度ω1的关系为

（ B ） ⎛r (A) ω2= 1

⎝r 2

⎛r (C) ω2= 2

⎝r 1

2⎫⎛r 1⎫ωω=; (B) ⎪1 ⎪ω1; 2⎭⎝r 2⎭⎫⎛r 2⎫ωω=; (D) ⎪1 ⎪ω1. 2⎭⎝r 1⎭2223－7 在上题中, 新的动能和原来的动能之比为 （ A ） ⎛r ⎫⎛r ⎫r r (A) 1⎪; (B) 1; (C) 2; (D) 2⎪. r 2r 1⎝r 2⎭⎝r 1⎭

3－8 刚体绕定轴高速旋转时, 下列陈述正确的是 （ D ）

(A) 它受的外力一定很大; (B) 它受的外力矩一定很大;

(C) 它的角加速度一定很大; (D) 它的角动量和转动动能一定很大.

3－9 芭蕾舞演员绕通过脚尖的竖直轴旋转, 当她伸长手臂时的转动惯量为J , 角速度为ω. 她将手臂收回至前胸时, 转动惯量减小为J , 此时她的角速度为 （ A ） 3

1; (D) ω. 3(A) 3ω

3－10 三个完全相同的转轮绕一公共轴旋转. 它们的角速度大小相同, 但其中一轮的转动方向与另外两个轮相反. 今沿轴的方向施力, 将三者靠在一起, 使它们获得相同的角速度. 此时靠在一起后系统的动能与原来三转轮的总动能相比是 （ B ）

(A) 减少到11; (B) 减少到; 39

(C) 增大到3倍; (D) 增大到9倍.

计算题

3－11 一电动机的电枢转速为1800r ⋅min , 当切断电源后, 电枢经20s 停下. 求:

(1) 切断电源后电枢转了多少圈;

(2) 切断电源后10s 时, 电枢的角速度以及电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度(设电枢半径为10cm ).

解 (1) 切断电源时, 电枢的转速为 -1

ω0=

1800⨯2πrad ⋅s -1=60πrad ⋅s -1 60

电枢的平均角加速度为

α=0-ω0-60π=rad ⋅s -2 =-3.0πrad ⋅s -2 ∆t 20

2由ω2-ω0=2α∆θ, 且ω=0, 可得切断电源后电枢转过的角度为

2-(60π)-ω0∆θ==rad =600πrad 2α2⨯-3π2

转过的圈数为

N =∆θ600π=r =300r 2π2π

(2) 切断电源后10s 时, 电枢的角速度为

ω=ω0+αt =(60π-3.0π⨯10)rad ⋅s -1=30πrad ⋅s -1

此时电枢边缘上一点的线速度、切向加速度和法向加速度分别为

v =r ω=0.10⨯30πm ⋅s -1=3.0πm ⋅s -1=9.42m ⋅s -1

a t =r α=-0.10⨯3.0πm ⋅s -2=-0.30πm ⋅s -2=-0.942m ⋅s -2

a n =r ω2=0.10⨯(30π)m ⋅s -2=90π2m ⋅s -2=888m ⋅s -2

3－12 一飞轮由直径为0.30m 、厚度为2.0⨯10-2m 的圆盘和两个直径为0.10m 、长为8.0⨯10-2m 的圆柱体组成. 设飞轮的密度为7.8⨯103kg ⋅m -3, 求飞轮对转轴的转动惯量.

解 飞轮上的圆盘的半径为r 1=0.15m , 圆柱体的半径为r 2=0.05m .

飞轮上的圆盘质量为 2

m 1=ρπr 12h 1=7.8⨯103π⨯0.152⨯2.0⨯10-2kg =11.0kg

圆柱体的质量为

m 2=ρπr 22h 2=⨯7.8⨯103π⨯0.052⨯8.0⨯10-2kg =4.90kg

飞轮的转动惯量是圆盘和两个圆柱体的转动惯量之和为

1⎛1J =m 1r 12+m 2r 22= ⨯11.0⨯0.152+4.90⨯0.052

2⎝2⎫22 kg ⋅m =0.136kg ⋅m ⎪⎭

3－13 如图所示, 质量分别为2m 、3m 和4m 的三个小球, 用长均为l 、质量均为m 的三根均匀细棒相连, 如图所示(小球的半径r

解 该物件的转动惯量是三个小球和三根细棒的转动惯量之和为

1J =2ml 2+3ml 2+4ml 2+3⨯ml 2=

10ml 2 3

3－14 细棒长为l , 质量为m , 设转轴通过棒上离中心为h 的一点并与棒垂直. 求棒对此轴的转动惯量.

解 由平行轴定理, 细棒的转动惯量为

J =J c +mh 2=12⎛1⎫ml +mh 2=m l 2+h 2⎪ 12⎝12⎭

3－15 一个半径为R 质量为m 的均匀圆盘, 挖去直径为R 的

一个圆孔, 如图所示. 求剩余部分对通过圆心O 且与盘面垂直的轴

的转动惯量.

解 开孔圆盘的转动惯量等于完整圆盘的转动惯量减去位于

圆孔部位的被挖去的小圆盘的转动惯量:

⎡1m ⎛R ⎫2m ⎛R ⎫2⎤13122J =mR -⎢+=mR ⎥ ⎪ ⎪24⎝2⎭⎥⎢⎣24⎝2⎭⎦32

3－16 如图所示, 某飞轮的直径为0.50m 、转动惯量为2.4kg ⋅m 、转速为2

1.0⨯103r ⋅min -1. 如果制动时闸瓦对轮的压力为490N , 闸瓦与轮之间的滑动摩擦因数为0.4, 求制动后飞轮转多少圈才停止.

解 制动前, 飞轮的转速为

2π⨯1.0⨯103

ω0=rad ⋅s -1=105rad ⋅s -1 60

飞轮所受的制动力矩为

M =-μF n R =-0.4⨯490⨯0.25N ⋅m =-49N ⋅m

根据转动定律, M =J α, 可得制动后飞轮的角加速度为

α=M -49=rad ⋅s -2=-20.4rad ⋅s -2 J 2.4

2由ω2-ω0=2α∆θ, 且ω=0, 可得制动后飞轮转过角度为

2-ω0-1052

∆θ==rad =270rad 2α2⨯(-20.4)

转过的圈数为

N =∆θ270=r =43.0r 2π2π

o 3－17 如图所示, 一物体质量为5kg , 从一倾角为37的斜面滑下, 物体与斜面的摩擦

因数为0.25. 一滑轮装在固定轴O 处, 轻绳的一端绕在滑轮上, 另一端与物体相连. 若滑轮可视为是实心圆盘, 其质量为20kg 、半径为0.2m , 绳与轮间无相对滑动, 且轮轴的摩擦阻力矩忽略不计. 求：

(1) 物体沿斜面下滑的加速度;

(2) 绳中的张力

.

解 物体和滑轮的示力图以及坐标选取如图所示. 图中P 为重力, F N 为正压力, F r 为摩

'. Ox 轴沿斜面向下, Oy 垂直于斜面. 设物体的质量为m 1, 滑轮的擦力, F T 为张力, F T =F T

质量为m 2, 滑轮的半径为r .

对物体, 根据牛顿第二定律, 在Ox 和Oy 方向分别有

m 1g sin37o -F T -F r =m 1a

F N -m 1g cos37o =0

重力P 2和轮轴对滑轮的压力F N2均通过转轴, 对转轴的力矩为零. 以垂直纸面向里为正

'⋅r =F T ⋅r . 对滑轮, 根据转动定律, 有 方向, 滑轮所受的力矩为M =F T

F T ⋅r =J α

而

a =r α

F r =μF N

J =1m 2r 2 2

联立解以上方程, 可得物体沿斜面下滑的加速度和绳中的张力分别为

a =(sin 37o -μcos37o )m 1g m 1+m 22 4⎫5⎛3 = -0.25⨯⎪⨯⨯9.8 m⋅s -2=1.31 m⋅s -2

5⎭5+⨯20⎝5

2

F T =J α

r =11m 2a =⨯20⨯1.31 N=13.1 N 22

3－18 如图所示, 长为l 、质量为m 的均匀细棒可绕点O 转动. 此棒原先静止在竖直位置, 受微小扰动而倒下. 若不计摩擦和空气阻力, 求细棒倒至与竖直位置成θ角时的角加速度和角速度.

解 细棒的倒下, 可看成定轴转动, 其转轴通过地面上细

棒端点, 垂直于细棒的转动平面. 在细棒倒下的过程中, 细棒与

地球组成的系统机械能守恒. 以地面为势能零点, 设细棒倒至与

竖直方向成θ角时, 角速度为ω, 有

1l l J ω2+mg cos θ=mg 222

而

1J =ml 2 3

由此可得, 角速度为

ω =只有细棒所受的重力对转轴有力矩. 以垂直纸面向里为正方向, 细棒倒至与竖直方向成θ角时, 重力对转轴的力矩为M =mg

律, 有 l sin θ. 设此时的角加速度为α, 则对细棒, 根据转动定2

l mg sin θ=J α 2

将J =12ml 代入上式, 可得角加速度为 3

α=3g sin θ 2l

3－19 如图所示, 两个物体质量分别为m 1和m 2. 定滑轮的质量为m 、半径为R , 可视为

圆盘. 已知m 2与桌面间的摩擦因数为μ. 设轻绳与轮间无相对滑动, 且可不计滑轮轴的摩擦力矩, 求m 1下落的加速度和滑轮两边绳中的张力

.

解 两个物体和滑轮的示力图以及坐标选取如图所示. 图中P 为重力, F N 为正压力,

'=F T1, F T2'=F T2. Ox 轴水平向右, Oy 轴竖直向下. 两个物体的F r 为摩擦力, F T 为张力, F T1

加速度虽方向不同, 但大小相同, a 1=a 2=a .

对物体m 1, 根据牛顿第二定律, 在Oy 方向有

m 1g -F T1=m 1a

对物体m 2, 根据牛顿第二定律, 在Ox 方向有

F T2-F r =m 2a

滑轮所受的重力和转轴对滑轮的压力都通过转轴, 对转轴的力矩为零. 以垂直纸面向里为正方向, 滑轮所受的力矩为M =F T1R -F T2R . 对滑轮, 根据转动定律, 有

F T1R -F T2R =J α

而

J =1mR 2 2

a =R α

F r =μm 2g

联立解以上方程, 可得物体的加速度与绳中的张力分别为

a =2(m 1-μm 2)g 2m 1+2m 2+m

F T1=2m 2(1+μ)+m m 1g 2m 1+2m 2+m

2m 1(1+μ)+m m 2g 2m 1+2m 2+m F T2=

3－20 一圆盘状的均匀飞轮, 其质量为100kg 、半径为0.5m , 绕几何中心轴转动. 在30s 内, 由起始转速3000r ⋅min -1均匀地减速至1000r ⋅min -1. 求阻力矩所做的功.

解 飞轮初、末角速度分别为

ω0=2π⨯3000rad ⋅s -1=100πrad ⋅s -1 60

2π⨯1000100rad ⋅s -1=πrad ⋅s -1 603ω=

飞轮的转动惯量为

J =11mR 2=⨯100⨯0.52kg ⋅m 2=12.5kg ⋅m 2 22

根据动能定理理, 外力矩对飞轮所做的功等于飞轮转动动能的增量, 可得在飞轮减速的过程中, 阻力矩对飞轮所做的功为

11122J ω2-J ω0=J (ω2-ω0) 222 ⎡⎛100π⎫212⎤5 =⨯12.5⨯⎢ ⎪-(100π)⎥J =-5.48⨯10J 2⎢⎥⎣⎝3⎭⎦

3－21 质量为m '、半径为R 的转台, 可绕过中心的竖直轴转动. 质量为m 的人站在转台A =的边缘. 最初人和转台都静止, 后来人在转台的边缘开始跑动. 设人的角速度(相对于地面) 为ω, 求转台转动的角速度(转台可看成质量均匀分布的圆盘, 并忽略转轴处的摩擦力矩和空气的阻力).

解 人和转台组成的系统对中心轴角动量守恒. 以人的角速度的方向为正方向, 设转台的角速度为ω1, 有

J ω1+mR 2ω=0

而

J =

由此可得 1m 'R 2 2

ω1=-2m ω m '

式中的负号表明, 转台的转动方向与人的转动方向相反.

3－22 如图所示, 一个转动惯量为J 、半径为R 的圆木盘, 可绕通过中心垂直于圆盘面的轴转动. 今有一质量为m 的子弹, 在距转轴R 的水平方2

向以速度v 0射入, 并嵌在木盘边缘. 求子弹嵌入后木盘转

动的角速度.

解 子弹和木盘组成的系统, 对转轴角动量守恒. 以

垂直于纸面向外为正方向, 设子弹嵌入后, 木盘转动的角速

度为ω, 有

(J +mR 2) ω=m v 0

由此可得 R 2

ω=m v 0R 22(J +mR )

3－23 如图所示, 一均匀细棒长为l 、质量为m , 可绕经过端点O 的水平轴转动. 棒被拉到水平位置由静止轻轻放开, 下落至竖直位置时, 下端与放在地面上的静止物体相撞. 若物体的质量也为m , 物体与地面间的摩擦因数为μ, 物体滑动s 距离后停止. 求:

(1) 棒与物体碰撞后, 物体的速度;

(2) 棒与物体碰撞后, 棒的角速度.

解 (1)根据动能定理, 摩擦力对滑块所做的功等

于滑块动能的增量. 设物体因碰撞而获得的速度为v , 有

1-μmgs =0-m v 2 2

由此可得

v = (2) 细棒下落的过程中, 细棒与地球组成的系统机械能守恒定律. 以地面为势能零点, 设细棒下落至竖直位置时的角速度为ω0, 有

1l 2J ω0=mg 22

而

1J =ml 2 3

由此可得

ω0=碰撞过程中角动量守恒. 以垂直纸面向外为正方向, 设碰撞后, 细棒的角速度为ω, 有

J ω+m v l =J ω0 将J =

12ml 、v

ω0=, 可得

3ω=若ω>0, 碰撞后细棒继续向右转动, 若ω

第四章 热学基础

选择题

4—1 有一截面均匀的封闭圆筒, 中间被一光滑的活塞隔成两边, 如果其中一边装有

0.1kg 某一温度的氢气, 为了使活塞停在圆筒的正中央, 则另一边应装入同一温度的氧气的

质量为 （ C ） (A) 1kg ; (B) 0.8kg ; (C) 1.6kg ; (D) 3.2kg . 16

4—2 根据气体动理论, 理想气体的温度正比于 （ D ）

(A) 气体分子的平均速率; (B)气体分子的平均动能;

(C) 气体分子的平均动量的大小; (D)气体分子的平均平动动能.

4—3 在一固定的容器内, 理想气体的温度提高为原来的两倍, 那么 （ A ）

(A) 分子的平均平动动能和压强都提高为原来的两倍;

(B) 分子的平均平动动能提高为原来的四倍, 压强提高为原来的两倍;

(C) 分子的平均平动动能提高为原来的两倍, 压强提高为原来的四倍;

(D) 分子的平均平动动能和压强都提高为原来的四倍.

4—4 一瓶氦气和一瓶氮气的密度相同, 分子的平均平动动能相同, 且均处于平衡态, 则

它们 （ C ）

(A) 温度和压强都相同;

(B) 温度和压强都不相同;

(C) 温度相同, 但氦气的压强大于氮气的压强;

(D) 温度相同, 但氦气的压强小于氮气的压强.

4—5 下面说法中正确的是 （ D ）

(A) 在任何过程中, 系统对外界做功不可能大于系统从外界吸收的热量;

(B) 在任何过程中, 系统内能的增量必定等于系统从外界吸收的热量;

(C) 在任何过程中, 系统内能的增量必定等于外界对系统所做的功;

(D) 在任何过程中, 系统从外界吸收的热量必定等于系统内能的增量与系统对外界做功

之和.

4—6 如图所示, 一定量的理想气体, 从状态A 沿着图中直线变到状态B , 且

p A V A =p B V B , 在此过程中: （ B ）

(A) 气体对外界做正功, 向外界放出热量;

(B) 气体对外界做正功, 从外界吸收热量;

(C) 气体对外界做负功, 向外界放出热量;

(D) 气体对外界做负功, 从外界吸收热量.

4—7 如图所示, 一定量的理想气体从状态A 等压压缩到状态B , 再由状态B 等体升压

V A =2V B , 则气体从状态A 到C 的过程中 到状态C . 设p C =2p B 、（ B ）

(A) 气体向外界放出的热量等于气体对外界所做的功;

(B) 气体向外界放出的热量等于外界对气体所做的功;

(C) 气体从外界吸收的热量等于气体对外界所做的功;

(D) 气体从外界吸收的热量等于外界对气体所做的功

.

4—8 摩尔定容热容为2.5R （R 为摩尔气体常量）的理想气体, 由状态A 等压膨胀到状

态B , 其对外界做的功与其从外界吸收的热量之比为 （ C ）

(A) 2:5; (B) 1:5; (C) 2:7; (D) 1:7.

4—9 质量相同的同一种理想气体, 从相同的状态出发, 分别经历等压过程和绝热过程,

使其体积增加一倍. 气体温度的改变为 （ C ）

(A) 绝热过程中降低, 等压过程中也降低;

(B) 绝热过程中升高, 等压过程中也升高;

(C) 绝热过程中降低, 等压过程中升高;

(D) 绝热过程中升高, 等压过程中降低.

4—10 一理想气体的初始温度为T , 体积为V . 由如下三个准静态过程构成一个循环过

程. 先从初始状态绝热膨胀到2V , 再经过等体过程回到温度T , 最后等温压缩到体积V . 在此

循环过程中, 下述说法正确的是 （ A ）

(A) 气体向外界放出热量; (B) 气体对外界做正功;

(C) 气体的内能增加; (D) 气体的内能减少.

4—11 有人试图设计一台可逆卡诺热机, 在一个循环中, 可从400K 的高温热源吸收热

量1800J , 向300K 的低温热源放出热量800J , 同时对外界作功1000J , 这样的设计是

（ D ）

(A) 可以的, 符合热力学第一定律;

(B) 可以的, 符合热力学第二定律;

(C) 不行的, 卡诺循环所做的功不能大于向低温热源放出的热量;

(D) 不行的, 这个热机的效率超过理论最大值.

4—12 对运转在T 1和T 2之间的卡诺热机, 使高温热源的温度T 1升高∆T , 可使热机效率

提高∆η1; 使低温热源的温度T 2降低同样的值∆T , 可使循环效率提高∆η2. 两者相比, 有

（ B ）

(A) ∆η1>∆η2; (B) ∆η1

(C) ∆η1=∆η2; (D) 无法确定哪个大.

4—13 在327o C 的高温热源和27o C 的低温热源间工作的热机, 理论上的最大效率为

（ C ）

(A) 100%; (B) 92%; (C) 50%; (D) 25%.

4—14 下述说法中正确的是 （ C ）

(A) 在有些情况下, 热量可以自动地从低温物体传到高温物体;

(B) 在任何情况下, 热量都不可能从低温物体传到高温物体;

(C) 热量不能自动地从低温物体传到高温物体;

(D) 热量不能自动地从高温物体传到低温物体.

4—15 热力学第二定律表明 （ D ）

(A) 热机可以不断地对外界做功而不从外界吸收热量;

(B) 热机可以靠内能的不断减少而对外界做功;

(C) 不可能存在这样的热机, 在一个循环中, 吸收的热量不等于对外界作的功;

(D) 热机的效率必定小于100%.

4—16 一个孤立系统, 从平衡态A 经历一个不可逆过程变化到平衡态B , 孤立系统的熵增量∆S =S B -S A 有 （ A ）

(A) ∆S >0; (B) ∆S

计算题

4—17 容器内装满质量为0.1kg 的氧气, 其压强为1.013⨯106Pa , 温度为47C . 因为漏气, 经过若干时间后, 压强变为原来的一半, 温度降到27C . 求:

(1) 容器的容积;

(2) 漏去了多少氧气.

解 (1) 根据理想气体的物态方程pV =o o m RT , 可得气体的体积, 即容器的容积为 M

V =m 0.1⨯8.31⨯(373+47) 3-33RT =m =8.20⨯10m -36Mp 32⨯10⨯1.013⨯10

m 1RT 1, 可得剩余M (2) 漏气使容器内气体的状态改变, 根据理想气体的物态方程p 1V =

气体的质量为

132⨯10-3⨯⨯1.013⨯106⨯8.20⨯10-3Mp 1V m 1==kg =0.05kg RT 18.31⨯(273+27)

漏掉的气体质量为

-∆m =m -m 1=(0.1-0.05)kg =0.05kg

4—18 如图所示, a 、c 间曲线是1000mol 氢气的等温线, 其中压强p 1=4⨯105Pa , p 2=10⨯105Pa . 在点a , 氢气的体积V 1=2.5m 3, 求:

(1) 该等温线的温度;

(2) 氢气在点b 和点d 的温度T b 和T d .

解 (1) 根据理想气体的物态方程pV =

得在等温线上, 气体的温度为 m RT , 可M

M p 2V 1110⨯105⨯2.5T ==⨯K =301K m R 10008.31

(2) 由p 2V 2p 1V 2, 可得气体在点b 的温度为 =T b T c

p 210⨯105

T b =T c =⨯301K =753K p 14⨯105

由p 1V 1p 2V 1, 可得气体在点d 的温度为 =T d T a

p 14⨯105

T d =T a =⨯301K =120K p 210⨯105

4—19 2.0⨯10-2kg 氢气装在4.0⨯10m 的容器内, 求当容器的压强为3.90⨯10Pa 时, 氢气分子的平均平动动能.

解 根据理想气体的物态方程pV =

子的平均平动动能为 -335m MpV RT , 可得气体的温度为T =. 此时气体分M mR

εt =kT =k 3

23MpV 3MpV =2mR 2mN a

-35-332⨯10⨯3.90⨯10⨯4.0⨯10 =⨯22.0⨯10-2⨯6.02⨯1023

的温度从27C 升到177C , 体积减少一半. 求: o o J =3.89⨯10-22J 4—20 在一个具有活塞的容器中盛有一定量的气体. 如果压缩气体, 并对它加热, 使它

(1) 气体的压强是原来压强的多少倍;

(2) 气体分子的平均平动动能是原来平均平动动能的多少倍.

解 (1) 由p 1V 1p 2V 2, 可得压缩后与压缩前的压强之比为 =T 1T 2

p 2VT 2(273+177) =12==3 p 1V 2T 1(273+27)

即压强增加为原来的三倍.

(2) 分子的平均平动动能与温度的关系为εt =

的平均平动动能之比为 3kT . 由此可得, 压缩后与压缩前的分子2

εt2T 2273+1773====1.5 εt1T 1273+272

即增加为原来的1.5倍.

4—21 容器中储有氦气, 其压强为1.013⨯10Pa , 温度为0C . 求:

(1) 单位体积中分子数n ;

(2) 气体的密度;

(3) 分子的平均平动动能.

解 (1) 根据理想气体的物态方程p =nkT , 可得单位体积中的分子数为 7o

p 1.013⨯107

n ==m -3=2.69⨯1027m -3 -23kT 1.38⨯10⨯273

(2)根据理想气体的物态方程pV =m pMV RT , 可得m =. 气体的密度为 M RT

m pM 1.013⨯107⨯4⨯10-3

ρ===kg ⋅m -3=17.9kg ⋅m -3 V RT 8.31⨯273

(3) 分子的平均平动动能为

εt =kT =⨯1.38⨯10-23⨯273J =5.65⨯1021J

4—22 如图所示, 一系统从状态A 沿ABC 过程到达状态C , 从外界吸收了350J 的热量, 同时对外界做功126J .

(1) 如沿ADC 过程, 对外界作功为42J , 求系统

从外界吸收的热量;

(2) 系统从状态C 沿图示曲线返回状态A , 外界对

系统做功84J , 系统是吸热还是放热? 数值是多少?

解 根据热力学第一定律, Q =ΔE +A , 可得从状态A 沿ABC 过程到状态C , 系统内能的增量为 3232

ΔE =Q -A =350J -126J =224J

(1)从状态A 经ADC 过程到状态C , 系统内能的增量为ΔE =224J . 系统吸热为

Q a =ΔE +A a =224J +42J =266J

(2)从状态C 沿图示曲线返回状态A , 系统内能的增量为ΔE =-224J . 系统吸热为

Q b =ΔE +A b =-224J -84J =-308J

Q b

4-23 如图所示, 一定量的空气, 起始在状态A , 其

5压强为2.0⨯10Pa , 体积为2.0⨯10-3m 3沿直线AB 变

化到状态B 后, 压强变为1.0⨯105Pa , 体积变为

3.0⨯10-3m 3. 求此过程中气体对外界所做的功.

解 在此过程中气体作正功, 大小为直线AB 下梯形的面积

1(p A +p B )(V B -V A )2 1 =(2.0⨯105+1.0⨯105)(3.0⨯10-3-2.0⨯103)J =150J 2A =

4—24 在标准状态下, 1mol 的氧气经过一等体过程, 到达末状态. 从外界吸收的热量为336J . 求气体到达末状态的温度和压强. 设氧气的摩尔定容热容C V ,m =5R . 2

解 1mol 的氧气初始状态为标准状态, p 0=1.013⨯105Pa , V 0=2.24⨯10-2m 3, T 0=273K .

气体在过等体过程中, 吸受的热量等于内能的增量, Q V =∆E =m C V ,m ∆T . 由此可得, M

经过等体过程后, m =1mol 的氧气的温度变化为 M

∆T =

气体到达末状态时的温度为 Q V Q 336=V = K=16.1K C V ,m 2.5R 2.5⨯8.31

T =T 0+∆T =273K +16.1K =289K 根据等体方程p

T =p 0

T 0, 可得气体到达末状态时的压强为

p 01.013⨯105

p =T =⨯289 Pa=1.07⨯105Pa T 0273

4—25 在标准状态下, 0.032kg 的氧气经过一等温过程, 到达末状态. 从外界吸收的热量为336J . 求气体到达末状态的压强和体积.

解 0. 032k g 的氧气是1mol . 其标准状态为p 0=1.013⨯105Pa , T 0=273K , V 0=2.24⨯10-2m 3. 在过等温过程中, 气体吸受的热量等于其对外界所作的功, Q T =A T =p 0V 0ln V p =p 0V 0ln ,由此可得 V 0p 0

ln Q V p 336=ln =T ==0.148 V 0p 0p 0V 01.013⨯105⨯2.24⨯10-2

气体到达末状态的压强和体积分别为

p =p 0e -0.148=1.013⨯105⨯e -0.148 Pa=8.74⨯104Pa

V =V 0e -0.148=2.24⨯10-2⨯e -0.148 m3=2.60⨯10-2m 3

4—26 1mol 的氦气, 从温度为27C 、体积为2.0⨯10o -2m 3, 等温膨胀到体积为

3R , 请作出P -V 24.0⨯10-2m 3后, 再等体冷却到-27o C , 设氦气的摩尔定容热容C V ,m =

图, 并计算这一过程中, 氦气从外界吸收的热量和对外界做的功.

解 过程的P -V 图如图所示. 在等温过程AB 中, 1mol 的氦气吸受的热量等于对外所做的功, 有

Q T =A T =RT A ln V B

V A

4.0⨯10-2

=8.31⨯(273+27)⨯ln J -22.0⨯10

=1.73⨯103 J

在等体过程BC 中, 气体做功A V =0, 1mol 的氦

气吸受的热量为

Q V =C V ,m (T C -T B )=3R (T C -T B )2

3 =⨯8.31⨯[(273-27) -(273+27)] J=-673 J2

在过程ABC 中, 气体吸受的热量和所作的功分别为

Q =Q T +Q V =(1.73⨯103-673) J=1.06⨯103 J

A =A T =1.73⨯10 J3

4—27 将1mol 理想气体等压加热, 使其温度升高72K , 气体从外界吸收的热量为

1.6⨯103 J. 求:

(1) 气体对外界所做的功;

(2) 气体内能的增量;

(3) 比热容比.

解 (1) 在此1mol 理想气体等压过程中, 气体对外界所做的功为

A p =p (V 2-V 1) =R ∆T =8.31⨯72J =598J

(2) 根据热力学第一定律, Q =∆E +A , 可得在此过程中气体内能的增量为

∆E =Q p -A p =(1.6⨯103-598) J =1.00⨯103J

(3) 气体的摩尔定压热容和定容热容分别为

1.60⨯103

C p ,m ==J ⋅mol -1⋅K -1=22.2J ⋅mol -1⋅K -1 ∆T 72

C V ,m =C p ,m -R =(22.2-8.31)J ⋅mol -1⋅K -1=13.9J ⋅mol -1⋅K -1

比热容比为 Q p

γ=C p ,m

C V ,m =22.2=1.60 13.9

4—28 1mol 理想气体盛于气缸中, 压强为1.013⨯105Pa , 体积为3.0⨯10-2m 3. 先将此气体在等压下加热, 使体积增大一倍. 然后在等体下加热, 使压强增大一倍. 最后绝热膨胀使温度降为初始温度. 请将全过程在p -V 图中画出, 并求在全过程中内能的增量和对外所做的功. 设气体的摩尔定压热容C p ,m =5R . 2

解 过程的P -V 图如图所示. 因为末状态D 与初

状态A 的温度相同, 所以, 从状态A 到状态D 的全过程

中内能的增量为零:

∆E =0

根据热力学第一定律, Q =ΔE +A , 且∆E =0, 可

得气体在全过程中吸受的热量等于对外界所做的功. 气体在全过程中吸受的热量等于气体在等压过程AB 和等体过程BC 所吸热量之和. 因此, 对于1mol 理想气体, 在全过程中有

A =Q =C p ,m (T B -T A )+C V ,m (T C -T B ) 将C V ,m =5R 、C V ,m =C p ,m -R 和pV =RT 代入上式, 可得 2

A =5353(RT B -RT A )+(RT C -RT B )=(p B V B -p A V A )+(p C V C -p B V B ) 2222

由于p B V B =2p A V A , p C V C =2p B V B =4p A V A , 因此全过程中气体对外所做的功为

A =1111p A V A =⨯1.013⨯105⨯3.0⨯10-2 J=1.67⨯104 J 22

4—29 1mol 的氮气, 温度为27o C , 压强为1.013⨯105Pa . 将气体绝热压缩, 使其体积变为原来的1. 求: 5

(1) 压缩后的压强和温度;

(2) 在压缩过程中气体所做的功(γ=1.4) .

解 (1) 在绝热过程中, pV γ为常数. 由此可得, 压缩后的压强为

⎛V ⎫p =p 0 0⎪=1.013⨯105⨯51.4Pa =9.64⨯105Pa ⎝V ⎭

在绝热过程中, V γ-1γT 亦为常数. 由此可得, 压缩后的温度为

γ-1⎛V ⎫T =T 0 0⎪⎝V ⎭

(2) 将γ=1.4代入=(27+273) ⨯5(1.4-1) K =571K =γ, 可得C V ,m =5R . 在绝热过程中, 气体对外界所做的2C V ,m +R

C V ,m

功, 等于气体内能增量的负值. 对于1mol 的氮气, 有

55A Q =-∆E =-C V , m (T -T 0) =-R (T -T 0) =-⨯8.31⨯[571-(27+273)]J =-5.63⨯103J 22

负号表明, 在绝热压缩过程中, 外界对气体做功.

4—30 一卡诺热机低温热源温度为7C , 效率为40%, 若要把它的效率提高到50%, 高温热源的温度应提高多少开?

解 在效率为40%和50%的两种情况下, 低温热源温度T 2相同. 由η=1-o T 2, 两种情 T 1

况下的效率分别表示为

η1=40%=1-

η2=50%=1-

由此可得 T 2T 11T 2T 12

5T 11=T 23

T 12=2T 2

高温热源的温度应提高

5⎫T 273+7⎛∆T =T 12-T 11=T 2 2-⎪=2=K =93.3K 3⎭33⎝

4—31 一卡诺热机, 高温热源的温度为400K , 每一个循环从高温热源吸收75 J热量, 并向低温热源放出60 J热量. 求:

(1) 低温热源温度;

(2) 循环效率.

解 (1) 对卡诺循环, 有Q 2T 2=, 由此可得低温热源的温度为 Q 1T 1

Q 260T 1=⨯400 K=320 K Q 175

Q 260=1-=20% Q 175

o T 2=(2) 热机的循环效率为 η=1-o 4—32 一卡诺机, 在温度127C 和27C 两个热源间运转. (1)若一个正循环, 从

127o C 热源吸收1200 J热量, 求向27o C 的热源放出的热量;(2)若此循环逆向工作, 从27o C 的热源吸收1200 J热量, 求向127o C 的热源放出的热量.

解 (1) 对卡诺热机, 有Q 2T 2=. 由此可得, 一个正循环向低温热源放出的热量为 Q 1T 1

T 227+273Q 1=1200⨯ J=900 J T 1127+273Q 2=

'T 2Q 2=. 由此可得, 一个逆循环向高温热源放出的热量为 (2) 对卡诺制冷机, 有Q 1T 1

第三章 第四章 45 Q 1=T 14'=⨯1200 J=1600 J Q 2T 23

4—33 理想气体做卡诺循环, 高温热源的热力学温度是低温热源热力学温度的n 倍, 求在一个循环中, 气体从高温热源吸收的热量有多少比例传给了低温热源.

解 对卡诺热机, 有Q 2T 2T =. 将1=n 代入, 可得 Q 1T 1T 2

Q 2=1Q 1 n

气体从高温热源吸收的热量有1传给了低温热源. n

4-34 质量为m , 摩尔质量为M 的理想气体, 其摩尔定容热容为C V ,m . 在可逆的等体过程中温度从T 1升高到T 2, 试证明在这一过程中气体的熵增量为

∆S =T m C V ,m ln 2 M T 1

证 在可逆的等体过程中, 气体的温度升高d T , 吸热为

d Q =

温度从T 1升高到T 2, 气体的熵增量为 m C V ,m d T M

T 2m T d Q d T m ∆S =S 2-S 1=⎰=⎰V ,m =C V ,m ln 2 T 1M T T M T 1

4-35 质量为m , 摩尔质量为M 的理想气体, 在可逆的等压过程中, 温度从T 1升高到T 2, 求在这一过程中, 气体的熵增量. 已知气体的摩尔定压热容为C p ,m .

解 在可逆的等压过程中, 气体的温度升高d T , 吸热为

d Q =

温度从T 1升高到T 2, 气体的熵增量为 m C p ,m d T M

∆S =S 2-S 1=⎰

T 2m T d Q d T m =⎰C p ,m =C p ,m ln 2 T 1M T T M T 1