7221:勾股数
学科名称：数学 知识点名称：勾股数
第一部分：知识清单
一、当前知识点知识清单
1、
标题：直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理） 直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）
如果三角形三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。
标题：勾股数 2. 勾股数
满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。
第二部分：点拨指导
一、重点
标题：直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）及勾股数 直角三角形的判别条件（勾股定理的逆定理）及勾股数 （1）如果三角形三边长a 、b 、c ，满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形。如图，在△ABC 中，如果AB 2=AC2+BC2，那么△ABC 是直角三角形，∠C 是直角。
C
B
（2）满足a 2+b 2=c 2的三个正整数，称为勾股数。 如42+32=52，所以，3，4，5是勾股数。
常见的勾股数有：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41等。
二、难点
标题：利用勾股定理的逆定理判定直角三角形 利用勾股定理的逆定理判定直角三角形.
三、关键点
标题：利用勾股定理的逆定理判定一个是直角三角形
利用勾股定理的逆定理判定一个三角形是直角三角形的关键是“一个三角形的三边满足a 2+b 2=c 2”为条件。
四、易混点
标题：勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别 （1）勾股定理与勾股定理的逆定理的联系与区别： 联系：①两者都与三角形三边关系a 2+b 2=c 2有关；
②两者都与直角三角形有关。
区别：勾股定理是以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到这个直角三角形的三边数量关系a 2+b 2=c 2；
标题：勾股数特征
（2）①一组勾股数中各数的相同的整数倍得到一组新的勾股数；
②记住勾股数可以提高做题速度。
第三部分：解题示范
题干：例1. 判断下列线段组成的三角形是不是直角三角形。
（1）12，16，20 （2）8，11，13
答案：（1）是直角三角形 （2）不是直角三角形
解析：（1）因为122+162=202，所以三边为12，16，20的三角形是直角三角形。（勾股定理的逆定理）
（2）因为82+112≠132，所以三边为12，16，20的三角形不是直角三角形。 题干：例2. 如图，在四边形ABCD 中，∠B=90°，AB=4，BC=3,CD=12，AD=13，求四边形ABCD 的面积。
答案：四边形ABCD 的面积36
解：连接AC ，∵∠B=90°，∴△ABC 是Rt △ 由勾股定理得AC ²=AB²+BC²=4²+3²=25=5²， ∴AC=5
在△ACD 中，AD ²=13²=169，CD ²+AC²=12²+5²=169 ∴AD ²= CD²+AC²，
∴△ACD 是Rt △，∠ACD=90°（勾股定理的逆定理） ∴四边形ABCD 的面积=△ABC+△ACD=
11
AB ⨯BC +AC ⨯CD 22
D
11
=⨯4⨯3+⨯12⨯5（三角形面积公式） 22
=6+30 =36
解析：要求四边形的面积，得把四边形分割成三角形，连接AC ，△ABC 是Rt △，若△ACD 也是Rt △，问题就解决了。
第四部分：三套检测题 巩固训练、针对性诊断、再次诊断
一、巩固训练 题型I
题干：1. 下列各组数据可以构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，5，6 B. 2，3，4 C. 6，7，9 D. 1.5，2，2.5 答案：D
题干：2．下列长度的各组线段中，是勾股数的一组是（ ） A. 0.3，0.4，0.5 B. 6，8，10 C. 4，5，6 D. 答案：B
111, , 345
题型II
题干：1．可以构成直角三角形的三个连续的自然数是（ ）。 A. 1，2，3 B. 3，4，5 C. 6，7，8 D. 6，8，10 答案：B
解析：要判断三条边能否构成直角三角形，需要用勾股定理逆定理来判断。 词条：勾股定理逆定理
题干：2．测得一个三角形花坛的三边分别是6m ，8m ，10m ，则这个花坛的面积是（ ）m ²。
A. 12 B. 24 C. 26 D.48 答案：B
解析：由勾股定理逆定理可知这是一个直角三角形，从而利用两直角边的乘积的一半求得三角形的面积。 词条：勾股定理逆定理
题型III
题干：1. 如图所示的一块地，∠ADC=90°，AD=12m，CD=9m，AB=39m，BC=36m，求这块地的面积。（）
A
C
B
答案：216m ² 解析：连接AC ， 在Rt △ACD 中，
由勾股定理得，AC ²=AD²+CD²=12²+9²=225=15² 所以AC=15
在△ACB 中，AB ²=39²=1521，AC ²+BC²=15²+36²=1521 所以AB ²= AC²+BC²，
所以△ACB 是直角三角形，∠ACB=90°
所以这块地的面积是S △ABC-S △ADC=270-54=216m² 词条：勾股定理、直角三角形的面积公式
A
C
B
二、针对性诊断 题型I
题干：1、下列几组是勾股数的是（ ） A. 2,3,4 B. 5,12,13 C. 答案：B
111115, , D. , , 3453412
题型II
题干：1、△ABC 三边分别是7，24，25，则三角形的最大内角的度数是（ ）。 A.90° B.60° C.120° D.150° 答案：A
解析：由勾股定理逆定理可知这是一个直角三角形，所以得 解。 词条：勾股定理逆定理
题干：2、若一个三角形的三边长分别是a,b,c, 且满足a 2+b 2=c 2，则此三角形的形状是（ ）三角形。
A. 锐角 B. 直角 C. 钝角
解析：由勾股定理逆定理可知这是一个直角三角形。 词条：勾股定理逆定理
题型III
1. 题干：在四边形ABCD 中，∠C 是直角，AB=13，BC=4,CD=3,AD=12,试说明：AD ⊥BD
答案：∵在直角三角形BCD 中，BC=4,CD=3, ∴由勾股定理：BD 2=42+32，即BD=5. 在△ABD 中，BD=5 ,AD=12，AB=13， ∴AB 2=AD2+BD2，
∴由勾股定理的逆定理可知，△ABD 是直角三角形，且∠ADB 是直角。
∴AD ⊥BD
A
解析：要判断AD ⊥BD ，可用勾股定理逆定理来判定，只要能判断△ABD 是直角三角形即可。
词条：勾股定理、勾股定理逆定理
三、再次诊断 题型I
题干：1. 下列各组数据可以构成直角三角形的一组是（ ） A. 3，4，5 B. 6，8，12 C. 6，7，9 D. 7，24，26 答案：A
题干：2．下列长度的各组线段中，是勾股数的一组是（ ） A. 0.8，1.5，1.7 B. 9，40，41 C. 4，5，6 D.
111, , 72425
题型II
题干：1. 测得一个三角形草坪的三边分别是15m ，20m ，25m ，则这个草坪的面积是（ ）m ²。
A. 300 B. 500 C. 250 D.150 答案：D
解析：由勾股定理逆定理可知这是一个直角三角形，从而利用两直角边的乘积的一半求得三角形的面积。 词条：勾股定理逆定理
题型III
题干：如图所示，在△ABC 中，AC=5，BC=12，AB=13，求BC 边上的高。 答案：
60
13
解析：∵5²+12²=169=13² ∴AC ²+AB²=BC²
∴△ACB 是直角三角形，且∠ACB=90°
11
∴S △ACB =AC ×BC=×5×12=30
2211
又∵S △ACB =AB ×CD=×13×CD
22
1
∴×13×CD=30 2
60∴CD=
13
C B
词条：勾股定理逆定理、三角形的面积公式、解方程
第五部分：讲解