哲学与生活

以科學哲學與科學社會學的類比來瞭解教室生活

指導教授：楊文金教授

報告者：黃明瑩、詹玉貞

序言

1. 許多不同領域(包括認知心理學、社會學、人類學、心理語言學和人工智慧)的理論已被應用於數學教育的問題上。但對於科學哲學的興趣則侷限於數學教育如何成為成熟科學的議題上。

(1)Piaget最初的工作傾向於被應用在數學和科學教育上。專注於Piaget的階段論(尤其是如何使學生進展至下一階段)掩蓋了Piaget理論的基本觀點。

(2)源自於一般科學哲學的同化及Kuhn(1970)理論的科學概念是一種根本的誤解，尤其是所有數學和科學教育者所熟悉的標準心理學家的階段論的基模。

(3)有一天我們的數學教育會成為成熟科學(在穩定的、固定的意義上達成共識)的信念可能支持那些在各種思想學派間尋求永久必然性而感到失望的人。

(4)那些想要知道數學教育中的許多短暫的改革運動及流行風潮的歷史根源的人，往往都是在兩種極端 (強調概念性理解或程序性能力)之間來回擺盪(Steiner,1987)，這種情況可以類比於成熟科學─物理學的標準範例。「一系列的原子理論，及物質的基本性質„沒有任何的聚集，但在連續和不連續間擺盪，場的觀念和粒子的觀念，且甚至在不同的拓撲空間間推測(Hesse,1972)。」

 本體論的多樣性並不表示知識不成熟的狀態(Shweder, 1983)。

2. 建構知識的過程是我們應付現實的方法之一(Rorty,1983)。

(1)作者所研究和發展的成果即牽涉到在小學二年級的教室中發現處理生活中的錯綜複雜的事物的方法。

(2)作者嘗試建構一個意義網，並發展一本體論使教室中所發生的變得可以理解。

(3)在尋找詞彙的過程中，科學哲學和科學社會學已證明是類比的豐富來源。這些類比是此篇文章的首要焦點。

3. 科學或數學的認識論應該是描述性和經驗性旳，而不是規範性的(Steiner,1989)。

(1)應該關心的是科學與數學真正被人類建構及使用的方式，不管是個體層次或集體層次，也不管是專業的數學家、科學家、技術人員或是工程師、教師與學習者均然。

(2)一旦接受這樣的想法，相信數學與科學是創意的人類活動，那麼在科學家或數學家及學校之學生間的類比就是十分顯然的了。

(3)例如，庫恩的典範概念和皮亞傑的基模構念間的類比已使它們自己變成範例。幾位學者已舉例並詳盡說明了同化和典範解釋之間及調適和典範改變之間的關係(Carey,

1985; Nussbaurn, 1989; Posner, Strike, Hewson, & Gerizog, 1982; Strike & Posner, 1982)。

4. 在學術的行列中，科學哲學習慣於告知個別學生學習的認知分析。

5. 就我們的目的而言，當他(她)與老師和他(她)的同儕參與社會互動時，強調發生在社

會脈絡中的學生的學習或認知的重建是重要的。這種說話互動的組成與經常性地緘默、有關自己與他人的話語論題的責任和期許所共享的假定、活動的意圖或目的等等的背景是相反的。

 在這篇文章中我們的焦點將置於這些被協商的和被接受的背景假定的過程，也就是教師和學生可持續和具衍生性的科學對話或數學對話的過程。在此我們已從科學哲學和科學社會學中找到有用的類比。

數學對話和科學對話

1. 數學對話和科學對話間存在相似處。

 Lakatos(1976)重建了尤拉定理(超過200年)的發展史，藉以說明數學的發展是經由提出證明、辨別反例和重建以處理證明和反例間的張力的過程。

 Lakatos的分析可被視為是嘗試將Popper之詭辯反證擴展到數學上。

 他的工作在近年來已被精緻和修訂了，且引導數學哲學的擬─經驗論學派的發展。

2. 「擬─經驗論」是指這些哲學家所爭論的數學發展過程與經驗科學的發展有重要的相似之處。

(1)就像科學理論一樣，證明是一個以說服別人自己猜測之效度的論證(Cobb, 1989; Hanna,1989)。因此，

 證明可以被認為是一種具有公開性和變通性的辯論會。

 證明也與科學理論一樣不是最終的，「及確實是有意義的社會協商過程，而不是從一開始就應用正式的標準，引導證明的改進及增加其接受性」(Hanna,1989)。

(2)數學想法的發展是牽涉到深奧的概念重組。

 Grabiner(1986)和Ekeland(1988)爭議數學是知識探究的領域，且此領域的概念革命已是最深遠和廣泛的。

(3)許多分析已證明經驗的和概念的異例在科學想法的發展上扮演著重要的角色。

 駁斥反例被視為是經驗性異例的類比。他們構成的「資料」是有關數學家詳盡闡述可共享的數學實體。

3. 因為科學和擬─經驗論的當代科學哲學的一個根源隱喻是對話和爭辯，所以前述的相似處並不會使我們感到驚訝(Cobb,1990;Oakeshott,1989;Richard,付印中;Rorty, 1979)。

(1)就如Billig(1987)所注意到的，當他的修辭學方法進展至社會心理學時，論辯的一般過程牽涉到一般的和特殊的，理論的及異例經驗的結果，或證明和駁斥反例的頻繁的相互影響。

(2)Rorty(1983)在本質上做了相同的論點，而這樣的論點頗令人感到刺激的，當他主張科學家「和我們一樣皆使用平凡且明顯的方法時。他們檢驗違反標準的例子：他們捏造足夠的資料以避免需要新模型；他們嘗試我們的種種猜測，用通用的專門術語來陳述，希望藉由某些事以掩飾無法捏造的實例」。

(3)Knorr-Cetina(1982)從她的實驗室生活的人種誌的調查推論：單就實驗室活動而言，沒有獨有的理性或日常的實務。科學家是在特定的知識社群的社會脈絡中展現實踐理

性。

 這些觀察引導我們主張對於研究者所感興趣的話語互動，將科學哲學和科學社會學視為類比的來源是可行的。

 科學和數學對話間存在相似處及數學哲學和數學社會學存在相對發展不完全的本質，因而這個方法對於數學教育者而言，是特別適當的。

 就這一點而言，我們注意到擬─經驗論者的哲學家已利用科學哲學和科學社會學於他們努力瞭解的個人和團體的數學活動中，並且挑戰實證主義和絕對主義最後的堡壘。  下面的部分，我們首先要考慮我們觀察的二年級數學教室中的科學社群和社會生活間的類比。然後我們討論可以幫助我們處理教室中的孩童的複雜信念的類比、有關的數學對話及數學學習。

教室的社會生活

1. 所觀察和錄影記錄的二年級教室在這樣互動的、以問題為中心的教法中是不平常的。  以問題為中心是從數學的所有領域開始的(包含所謂的基礎，例如算術計算)。

(1) 在典型的一天中，孩童首先會嘗試兩人或偶爾三人一組去解決教育活動。

(2) 當學生從事數學活動時，教師在小組間移動，觀察學生和與學生互動。

(3) 教師下一步會要求全班一起並協調討論孩童們的解答。

 在課程的這一階段期間，教師不會明確地評量學生的解答或嘗試指點學生她想要的正式解答。取而代之的，她問問題以澄清解釋或幫助孩童重建他(她)的解答。假如孩童們製造的衝突解釋或提供的衝突答案常常發生，她會替孩子們將衝突架構為問題以引導他們嘗試解決衝突。一般來說，她的首要責任之一是促進孩童間的數學對話。

2. 這些課程結構與在數學教室中典型的發現形成清楚地對比是一目了然的。

(1)當我們更詳細地看教室社會互動模式時，也是這種情況(Voigt,1985)。例如，

 假如我們考慮全班的討論，教師的行為意向是鼓勵孩童去解釋，且有需要時，證明他們的解釋和解法。

 然而，教師期望學童應該清楚表達他們實際上如何解釋和嘗試解決教育活動，這與他們在一年級時的班級討論的先前經驗是相反的。

(2)這樣的討論已開始將學生引導至正式認可的解釋和解法中。

(3)但對學童而言，全班的討論是一種讓他們感覺到不得不嘗試和推論教師心中所想為何，而不是表達他們自己的瞭解的情況。

(4)教師和學生對於他們自己和彼此的活動有不同的責任和期望，以及擁有關於數學活動的一般性質的衝突信念(Cobb, Yackel, & Wood,1989)。

(5)他們是在兩種不同的常模(tradition)中運作，繼Richards之後，我們把這些常模叫做學校數學和探究式數學。

 學校數學可類比為期刊數學緊持的「重建的邏輯」，然而，探究式數學則與所謂的「發現的脈絡」的開放性相似。

 注意到這兩種教室的數學常模的特點不僅僅是不同的數學理解，這是重要的。他們也涉及到對於理解數學和給予解釋的意思的不同理解。

 學校數學是高度程序化的活動，其基本特徵是堅持數學的慣例，然而，探究式數學則涉及到越來越複雜的數學事物的交互組合，這些事物是參與者實際經驗的。

3. 教師和學生的解釋立場間存在衝突，教師必需在活動中表達她已被接受的權威以便開始引導教室社會規範的重新協商，因此，使得探究式數學活動的常模在她的教室中有發展的可能性。

(1)按照Peirce的宣稱─「真實概念的起因顯示出這個概念涉及到社群的想法」，社會規範的重新協商和所謂的教室探究常模的改變間的類比似乎是合理的。

(2)這種洞悉(考慮到深藏在互為主觀的訊息中的規範的合理性的適當分析)適用於孩童學習數學的合理性就如同是對於科學的合理性一樣。

 如Knorr-Cetina(1982)所提出的，科學家是實踐理性，科學家「時常述及他們的決定和選擇以期待『validators』的社群中的特定成員的回答」。

(3)我們必需瞭解大部分的時間，學生並不是理論家，而是實踐者。他的工作是對於教師所給問題給予解答，解答的可接受性是與教室情境有關的。在這樣的脈絡中，最重要的事是有效。(Balache- ff,1986)。

(4)就實踐理性而言，無論他或她是一位科學家或二年級的數學學生，已建立的社會規範會限制什麼會被視為問題及被視為可接受的解法 (Barnes, 1982;Carter, 1989; Martin, 1989)。

4. 教師和學生在數學教學期間重新協商他們的責任和期望的方法可類比於科學社群「鎚打出」科學的和合理的事物的方式(Rorty,1980;Sassower,1989)。

 在學年開始時發生的教室對話的雙重結構反映出這種協商的過程。在其中一個層次，教師和孩童談論數學(talk about mathematics)，然而，在另一個層次，他們談論如何談數學(talk about talking about mathematics)。

(1)例如下述的事件：這是發生在學年的第一天。討論中心為文字題，「有多少賽跑者在

一起？每一支隊伍有六個賽跑者。比賽中有兩支隊伍。」

T：Jack，你想出的解答是什麼？

Jack：14。

T：14。你是如何得到答案的？

Jack：因為6加6是12。2支隊伍有2位跑者„(Jack停止講話，將他的手放在臉旁並看

著地下。然後他看看教師，再看看他的拍擋Ann。他轉過身去面向教室的前面

而背對著教師，並無條理地咕噥)。

T：你可以再說一次嗎？我沒有完全聽懂。你可不可以„請再說一次。

Jack：(輕聲地，仍然面向教室的前面。)每一支隊伍有6位跑者。

T：對。

Jack：(轉身看著教師。)我犯了一個錯誤。它是錯的。它應該是12。(他轉身面對教

室的前面。)

 當教師和學生談論數學時，教師扮演一非評價者的角色。然而，Jack瞭解到他的答案是錯的，而從他遠離教室以避免看到其他孩童的反應來看，他將這種情況視為是極為困窘的。就傳統教學的社會規範(期望學生使用規定的方法得出正確的答案)而言，他的情感行為是適當的(Cobb,Yackel,&Wood,1989)。

(2)可是傳統教學的社會規範混淆了教師期望孩童可以隨意公開解釋和證明他們的數學

活動。因此，教師必須當場修改她的目的並且在這特定情況開始重新協商社會規範。為了這個目的，她立即開始將如何處理錯誤的議題作為她和孩童討論如何談數學(talk about talking about mathematics)的主題。在這個層次，她是有方向的使用她的權威。

T：(輕聲地。)哦，可以的。犯錯是可以的嗎？

Andrew：是的。

T：犯錯是可以的嗎，Jack？

Jack：(仍然面對著教室的前面。)是的。

T：你確信它可以。只要你在我的教室，犯錯是可以的。因為我一直犯錯，所以我

們從我們的錯誤中學習到很多。Jack已理解了，「哎呀。我第一次沒有得到正

確的答案」(Jack轉身微笑地看著教師)但他持續做它，並做對了。

 教師使用這個事件作為範例情況，嘗試告訴孩子們他們應該如何解釋這種情況和類似的情況。這樣做時，她強調Jack試圖以各種方法解決問題是適當的。

(3)經由在這一年的開始時加入此種討論及相似的討論，教師引導共同建構社會規範使得

孩童討論他們的數學解釋和解法是可能的。之後，在說明25+42= 的事件中，孩童們不會將錯誤解釋為困窘或害羞的，反之，將事件視為教室生活的正常過程。

Charles：67。

T：67。

Joel：不同意。

T：好的，Joel，你認為呢？

Joel：72。

T：你認為它是72(許多學生表示他們不贊同)。

Joel：好的„(他站起來並走到教室前面)。

T：讓我們聽聽Joel的解釋。

Joel：(站著看著黑板。)我使用25加10等於35。加另一個10等於45，再加另一個

10等於55。(他停止並看著他手上的紙。)加另一個等於65(暫停)﹝及再加

2等於﹞67(他轉身看著教師。)我不贊同我的答案。(他笑了。)

T：(笑)我喜歡那樣。我不贊同我的答案。那太好了。假如你曾經不贊同你自

己的答案的人，舉起你的手。我們全部都曾發生過。

5. 此實例說明了教師並不嘗試以給學生規則(脈絡自由的規定)去遵守的方式來引導教室社會規範的演變。她寧願利用未預料到的事件將之架構為範例。

 就像科學家一樣，她是實踐的理性者，在具體情況下，運用她的智慧和判斷力來做當場的介入。

 無論是在科學實驗室(Bran- nigan,1981)或數學教室的活動(Brousseau,1984;Bruner, 1986)，這樣的規範源自於個人的協調活動。

 不管教師的意圖，除非孩童們瞭解範例事件的可能意義，不然無法建立規範，而孩童理解範例事件的方式是與教師意圖相一致，且如此可為他們自己的活動(符合教師的期望)創造責任。

(2)可是傳統教學的社會規範混淆了教師期望孩童可以隨意公開解釋和證明他們的數學

活動。因此，教師必須當場修改她的目的並且在這特定情況開始重新協商社會規範。為了這個目的，她立即開始將如何處理錯誤的議題作為她和孩童討論如何談數學

(talk about talking about mathematics)的主題。在這個層次，她是有方向的使用她的權威。

T：(輕聲地。)哦，可以的。犯錯是可以的嗎？

Andrew：是的。

T：犯錯是可以的嗎，Jack？

Jack：(仍然面對著教室的前面。)是的。

T：你確信它可以。只要你在我的教室，犯錯是可以的。因為我一直犯錯，所以我

們從我們的錯誤中學習到很多。Jack已理解了，「哎呀。我第一次沒有得到正

確的答案」(Jack轉身微笑地看著教師)但他持續做它，並做對了。

 教師使用這個事件作為範例情況，嘗試告訴孩子們他們應該如何解釋這種情況和類似的情況。這樣做時，她強調Jack試圖以各種方法解決問題是適當的。

(3)經由在這一年的開始時加入此種討論及相似的討論，教師引導共同建構社會規範使得

孩童討論他們的數學解釋和解法是可能的。之後，在說明25+42= 的事件中，孩童們不會將錯誤解釋為困窘或害羞的，反之，將事件視為教室生活的正常過程。

Charles：67。

T：67。

Joel：不同意。

T：好的，Joel，你認為呢？

Joel：72。

T：你認為它是72(許多學生表示他們不贊同)。

Joel：好的„(他站起來並走到教室前面)。

T：讓我們聽聽Joel的解釋。

Joel：(站著看著黑板。)我使用25加10等於35。加另一個10等於45，再加另一個

10等於55。(他停止並看著他手上的紙。)加另一個等於65(暫停)﹝及再加

2等於﹞67(他轉身看著教師。)我不贊同我的答案。(他笑了。)

T：(笑)我喜歡那樣。我不贊同我的答案。那太好了。假如你曾經不贊同你自

己的答案的人，舉起你的手。我們全部都曾發生過。

5. 此實例說明了教師並不嘗試以給學生規則(脈絡自由的規定)去遵守的方式來引導教室社會規範的演變。她寧願利用未預料到的事件將之架構為範例。

 就像科學家一樣，她是實踐的理性者，在具體情況下，運用她的智慧和判斷力來做當場的介入。

 無論是在科學實驗室(Bran- nigan,1981)或數學教室的活動(Brousseau,1984;Bruner, 1986)，這樣的規範源自於個人的協調活動。

 不管教師的意圖，除非孩童們瞭解範例事件的可能意義，不然無法建立規範，而孩童理解範例事件的方式是與教師意圖相一致，且如此可為他們自己的活動(符合教師的期望)創造責任。

 孩童們嘗試去盡到這些責任以引導教師和越來越多的學生架構事件為範例情況，而且這使得孩童們有額外的機會去修正他們的責任。因此，正如在科學實驗室中一樣，在教室中的常模演化來自參與者的實務，並受到後續實務的修正。

6. 這種常模演化，或者我們稱之為數學活動本質的共同故事，與什麼算是科學的、理性的，不能以非歷史的效標加以規範的觀點是一致的(Feyerabend,1975 ; Kuhn,1970 ; Lakatos, 1970)。取而代之的，科學知識和圍繞的常模是以一個通知另一個的方式一起被建構的。這兩種層次可類比於二年級教室中對話的雙重架構。這兩種會話是由不同邏輯層次引導的(Bateson, 1973)，即教師使用她的權威使孩童說出他們實際上如何解釋和解決作業。

7. 就被視為科學的哲學家和社會學家而言，在學校環境中容易確認的知識社群及共同故事(發生在數週而非數年的事件)中的改變，在教室中的社會協商過程的分析可以是類比的潛在豐富的來源。就這一點而言，我們同意Barners的建議「雖然科學文化在某些方法上可能要比孩童的要更複雜，但在其它方法上它比較簡單和容易理解，以致於說每一個脈絡的方法和發現也可以用作另一個的資源」。

8. 科學社群和教室社群間的基本差異是個人(教師)有責任去教化(accult- urate)他或她的學生至更廣的社群認知數學和科學的方法。換句話說，教師在他或她所引導的教室中的制度化的數學或科學活動中必需有權威，以致於個別孩童的概念發展可同時構成教化的過程。儘管科學社群中的某些成員比其他人有更大的權力(例如，雜誌編輯，科學會議的主席)，但角色的不對稱並非典型地極端(Elias,1983)。因而，教室社會生活提供特殊情況的例子，也就是以權威開始引導探究常模的改變。

兒童的信念

1.科學家的默會知識

Kuhn(1970) & MacIntyre(1977)皆主張科學家之默會的知識，是在當機立斷下作判斷及決定時所呈現出來的知識，而對於理解科學來說，這樣的知識是比以命題和規則所清楚論述的知識來得重要。

Barnes(1982)更進一步地主張科學家無法由一般的命題而直接推論出合適的作用；不僅如此，即使科學家聲稱他們是遵循實證主義者對於實務上的處理方法，但存在於目前的情境及模型或典範實例間的類比總是有關聯的。

Polanyi(1962)指出一般而言默會的知識之實例被認為是認知的全貌，且Schon(1983)認為特別對教學來說也是如此。

2.兒童的默會知識──針對數學教室而言

Voigt(1985)引進義務及期望的觀點來分析教師和學生於特定的情境中如何能以合適的方法去反應。

就整體層次來看，我們可以用大部分隱含的信念來概念化兒童默會的知識，而要理解這些信念乃是源自於兒童橫跨特定情境之領域的義務及期望的概觀描述。

作為理論架構的信念的價值是存在於實際中，而此信念價值幫助我們處理教室生活的複雜度。特別是在考慮兒童的信念時，我們將爭論點放在研究常模中以教師為始的改變期間中，

學童將如何重新組織他們的世界觀。如此作時，同時可描繪出我們在教室中所觀察到的潛在課程的輪廓面貌。

在此所使用〝belief〞，是以Dewey，James，及Peirce等人的觀點來說的。特別是指，〝對與信念有關的行動自願去實行及„„，承擔行動中的若干危險和責任，皆是象徵實際確信的必要指標〞(Smith, 1978, p.24)。

1.在最初階段，對於在教室中兒童的義務和期望的分析是顯而易見的，同時也注意到有關兒童本身及教師角色所發展的隱含信念(Osborne & Freyberg, 1985)。

兒童相信當他們在小組中工作時，應當協力合作以產生彼此都能接受的答案及理想的、彼此能接受的解釋和解決的方法。他們也相信當他們嘗試去完成教育的活動時，若有問題產生則他們應該持續地去解決問題。

關於全班性的討論活動，兒童們認為應當解釋在實際上是如何嘗試去解決問題，如何去挑戰彼此的解法，及當有需要時他們應該要對他們自己的解法加以證明。

同時，他們視教師為可以提供指導而不是提供明顯處方的人，且他們認為教師可以幫助他們表達出他們的想法。

一般而言，兒童相信他們有解決數學問題的能力，且也相信教師對於他們在解決數學問題上的努力成果是會加以看重的。藉由促進以上這些信念的發展，教師便建立一種信賴兒童的關係。

2.兒童對於他們自己及對於教師角色的信念，二者與他們對於數學活動本質的信念具有緊密的關係，且是隨著他們對於數學活動本質之信念而改變的。

舉例來說，在整體討論的過程中，兒童接受的義務所引起的信念為數學的解法應該是可解釋及可證明的。

通常由兒童的解釋中指出：他們並沒有將學校中的數學從實際的、學校外的問題解決中隔離出來。

此外，在兒童的解釋中，他們對存在於數學客體之間的作用及關係上的描述，並不會固著於學校數學的傳統習慣。

由他們解決問題的活動中，亦顯示出他們至少隱約地瞭解到數學問題可以有多種的解法，且有時候甚至要花上數小時而不是數分鐘才能解決一個問題。

關於角色及關於數學活動本質的信念之普遍的相互依存性，一再地說明了在教室中研究常模的社會演化歷程所扮演的重要角色。

如Kuhn(1970)所作的結論指出，在科學中所謂的進步係高度地依賴在科學家之間所實行的社會磋商。透過這樣的實行，兒童建構教室常模中的默會知識，就如他們的信念所呈現的一樣。

常態數學

1.生手科學家成為科學之專門社群成員與兒童從事常態教室數學之類比

Toulmin(1983)指出“生手科學家在被栽培成為科學的專門社群中之成員時，其對於科學目前所解釋的觀點很精熟”。類似地，教師教授和指導兒童有關學校數學中教師所採取的解釋觀點，在此過程中兒童短時間內建構了上述觀點的輪廓。而一旦被建構完成大部分是在學年最初的兩個月中，學童便已從事所謂的常態教室數學。

2.常態科學研究之常模與數學活動本質的共同故事之類比

Barnes(1982)認為「在常態科學中所作的判斷是傳統常模的延伸，而此延伸是依賴和肯定所接受學說的主體，對於常態科學時期的研究可理解成為常模活動的型態，而此活動是由權威及社會控制的機制所支持的。」Barnes所作的這些教室觀察，是我們心中想要研究的。有時，教師一直是權威的代表，其帶動全班開始對話，在對話中她和兒童們談論到如何談論數學。

然而，在對話中教師介入的需要逐漸減少。就大部分來說，兒童嘗試以他們所認定的、已被接受的學說之方式來完成他們的義務──對於有關數學活動本質的共同故事。事實上，正是兒童活動的例行性，使我們可對兒童的信念作推論。

因此，當科學研究的常模被科學家的活動所保留下來時，那麼教師和兒童便會不斷地繼續使關於數學活動本質的共同故事保留下去。並且，當一科學理論藉由其與研究常模的關係而得以理解時，則兒童在課堂上的學習只有被理解成是與兒童和教師所建構關於數學活動本質的共同故事有關連。

談論數學

當教師和兒童在談論數學時，教師並沒有很明顯地去評估兒童的解釋及解法，這是她的實行與傳統的教授知識間最根本不同的地方。而相對於典型的教室(在典型的教室中，教師是唯一的validator)來說，她的實行是教師與兒童一起構成a community of validators。 採用這個根本的方法，有兩個主要的理由：

第一個理由是：當兒童嘗試去重建他們的解法時，全班性的對話可為兒童產生多樣性的學習機會，使他們從自己及其他人的活動中，越過自己的看法，而去理解另一種觀點，進而解決不相容觀點間的衝突，且更廣泛地，對於數學活動而言，可利用此來建構共識之領域範圍。

我們有極強烈的證據顯示兒童樂意用言辭表達他們的想法是取決於教師扮演一非評量者的角色(Cobb,Wood & Yackel, in press b;Wood,Cobb, & Yackel,1990)。

當教師嘗試以她心中的解法去引導學童時，在這樣的情況下，兒童幾乎都會立即拒絕再談論他們的數學。

而當被教師要求解釋他們的解法時，兒童會以他們並沒有嘗試去解題目或他們忘了如何解此問題等理由為藉口。結果，便失去了潛在豐富的學習機會。

第二個理由是：促使兒童成為a community of validators中的一份子，此理由與傳統方式之限制有關連，不論兒童是否會被內容的邏輯性，或涉及到發現的方法，抑或使用以

手操作的教材(而此教材被認為是使數學的結構更具體化)所吸引。在每一個例子中，教師運用嘗試說服學生以她的方式來看事物之教學法，來發展教學的情境。

爭論點：隱藏在教學中的爭議點是由教師或課程發展者對於數學現實的看法所造成的。其爭論之處乃在於如何理解學生已經建構他們應當學習的知識。而還沒有建構知識的學生便被留下來發展在他們的數學現實中沒有目的的意義。廣範圍的研究指出，後者學生佔大多數。

教師和兒童是生活在性質不同、不可共量的數學現實中。如果我們再把個別差異的現象加進來看的話，那麼情況會變得更複雜。(舉例來說，在目標班級中，學年開始時的臨床晤談及標準化的測驗皆指出：兒童若以數學概念的觀點來分等級，將會橫跨三個等級)(Cobb & Wheatley,1988)。

學生在多樣性的現實中活動，而每一個兒童所面對的現實與其他人、教師所面對的在性質上皆不相同。

這些多重的現實，與其說是不相容的，倒不如說是不可共量的，但在多重的現實中，教師和兒童可以彼此交談數學。然而，由於他們生活在數學客體之性質差異所造成的世界中，所以溝通不良是年來已久的。

成功的溝通需要有意義的磋商，在其中「聽者總是認為說者所說的都很有意義，這種確信使他試著去推論講者實際上所要傳達給他的訊息„.。而對這種態度的重要性予以廣傳是有困難的。」(Uhlenbeck,1978)。而正是此種態度充斥於科學哲學的研究工作中。Kuhn(1977)說：「當讀到一位重要思想家的作品時，首先應該在他的文章中找出明顯不合情理的言辭，並且問自己為何一個聰明的人會寫下這樣的話來」。

1.傳統教學法

關於真正想要嘗試去溝通的態度特徵，對於傳統教學法的限制來說是顯而易見的。如：藉由一人或其他人所指的意思，教師提出論點以促使學生以他/她的方式來看待事物。在這些情境脈絡中的討論，並不能構成真正的對話，除非在其中的每一個人皆假設其他人所說的話是有意義的。

另一種情形，當談論數學時教師以判斷有意義或無意義的方式，運用他的權力引導學生至特殊的回答。這樣做時，教師並不嘗試去瞭解學生所理解的，反而評估學生在有關於他/她心目中標準解釋或解法之貢獻。而這也正是下列兩種問法不同的地方，〝學生如何得到它？〞及〝學生如何思考？〞

2.另類教法─教師在實行上運用她的權力，可使兒童在無評量的環境中，說出他們真正所想的。

在教室裡所發生有關數學的真正對話中，教師的行為與人類學者或解經家非常相像。教師的問題並不在於如何將合理性的事物傳達給兒童，乃在於瞭解在學生的理解中究竟牽涉到什麼事物。

同時，教師便會瞭解兒童活動中最初感到奇妙或驚訝的情況為何，且可使教師對她自己認為理所當然的實行更瞭解(Cobb,Wood, & Yackel,in press a)。以此方式，當她與學生互動時，她便有所學習且也可幫助她一再地修正她的實行。

再者，對話提供一環境，使兒童可精緻化及重組他們的數學理解，以此方式兒童也可解釋及證明自己的看法，以滿足班級社群中其他成員的需求。

有關數學的全班性討論是由兒童的不同觀點所引導的，因此，對兒童來說要他們接受唯一的解法是很奇怪的。但是，他們可以解決存在兩個或更多個答案之間的衝突(這樣的衝突是由不同概念程度的兒童以他們可理解的多種證明所引起的)。

舉例來說，兒童被要求去解一問題，如下所排列的數列中，要求兒童算出箭頭所指的點所代表的數字為何及建構出存在於此數列中的關係為何？

3 8 13 ↓

‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧ ‧

在全班討論他們的解答時，兒童提出不同的答案，包括有25，22，18及23。最後，教師問：

T：我們要如何才能很快地把答案算出來？

Lisa：用手指來算13，14，„„.23。

T：還有沒有其他的方法，可用來驗證你們的答案？

Andrew：這個型式是一直加5下去(他站起來且很興奮地衝到教室前面，在銀幕上題目 的地方作手勢。)這點是13(他指著後面的第二點)。5加5是10，只要把10加13即可。 T：13加10是„„„

兒童(一致地說)：23

T：23，答對了！

在討論期間，兒童感到可以自由地，採取主動及著手他們自己的問題。此種轉換情境的能力特點是複雜的、獨特的且是不確定的，這些特點是科學家活動的核心(Knorr,Cetina, 1982)。

以下的討論發生在當兒童討論到分數記號，如：1/4，1/6，及7/8所代表的意義。(在開始對話時，教師在放映機上畫出圓形的區域且按照兒童的指示，將它們分成相同的部分。) T：John好像有話要說。他說他有一個想了很久的問題。

T：像這個嗎？(寫1/1) 好問題。

這裏，John提出一可能與分割圓形區域之順序相反的例子。(當教師確認及澄清John所提的問題時，教師扮演一個挑剔者的角色。)

學生：喔„„.是。

T：或者，假如你有這個除以這個(她寫4/4及6/6)。這是什麼意思？

有些學生舉手。此時，John開啟對話。

John：畫一個圓。

T：好，畫一個圓(她畫一個圓在放映機上，然後看著John)。

John：喔，像„„.我所想到的是1及1(他指1/1)。妳如何把它弄得像„„(看老師)。 T：你如何證明1及1，1除以1？

Ann：只要把它全部填入。

Mark：是啊！那是一片。

然後教師開始解釋Ann及Mark的意見給John，但他又再一次開啟對話。

T：OK，如果我們記得分數所告訴我們的，John„„

John：(興奮地打斷教師的談話)但它是整個的東西(他用手勢，指向較大的部分)，不只是一片(舉起一手指)。

此對話說明了兒童的數學教室活動與科學家的活動二者所共有的一些特徵：最主要的是，科學的研究是一協力合作的事業，而其評價是根據判斷。換言之，在科學上的協定是社會上所支持的合理協定，而不是主觀的喜好。正如科學之合理性的一般標準是經由磋商而得的，所以在這些標準的限制下，建構知識的過程一樣也涉及到磋商。

正如Knorr-Cetina所說的，科學家的工作構成了〝一種多面向互動的形式，而此形式是由其他人的論點所引導及支持的。 〞

同樣地，在我們所觀察的班級中也是這樣。鼓勵兒童成為有效力者之社群的一份子，既不是引導他們到智力的無政府狀態，也不是讓他們作純粹空想之科學知識的科學爭論。

科學之見解必須要有理性的根據、是可理解的、可辯護的，並且可為智識社群的人所接受。類似地，兒童有義務去解釋及證明他們的解釋和解法。而不被此方式支持的結果便會被打折扣。

在數學教室中的對話是必要的，正如在科學社群中的一樣，因為在這兩個例子中，其作判斷的理由須很明顯地可以被討論的。並且，在科學社群及二年級的教室中，若獲得解答的方式可被接受，則解答本身也是可被接受的。而在科學和數學教室中，存在於發現（或建構）的脈絡情境及辯證的脈絡情境二者間的差異已開始減少了。

注意在二年級算術的領域中，兒童從解決爭論中可得到有用的意義是──他們要能夠會計算！

其次，對學生來說，有可能達到以合理為基礎的一致性，而若此一致性是與較廣社群的數學是互相矛盾的。那麼教師必須前來介入以妨礙學生建構活動的潛在傾向。然而，對於學生在較廣社群中的責任而言，教師不應以訴諸權威的方式來做，而必須以理性的討論為始的方式來實行。

數學

研究者針對所有學區的二年級數學教學目標來設計活動，且在此活動中開始從事研究工作。且調整其他多種制度上的限制，最重要的是，必須能保證標準化的成就測驗分數令人滿意。發展此活動的過程牽涉到須預期：當兒童解釋情境及嘗試使用他們的數學程序時，對於在不同概念程度的兒童來說，究竟什麼是可能的問題。(此方式與傳統的課程發展的成果形成對比，課程發展乃是嘗試使獨立於心裡所想的數學結構更明顯及讓學生更容易理解數學間的關係。)

在兒童學習數學所使用認知模型的方法中，必須考慮到在具體情境中對學生來說什麼可能是問題，而此方法所反映的觀點是：實際的數學學習是一種互動式的問題解決過程。換句話說，學生為了應付現實的生活，而建構更有效的理解方式。就如科學家不斷努力地從不確定性及複雜性中，創造順序及理解。

Kuhn(1970,1977)時常經由學童的認知發展分析來確認他對於科學活動的分析。相反地，有幾位認知心理學家承認〝孩子是天生的理論家〞的看法之有效性。由此觀點來看，直到概念的或實證的異例變得明顯時，科學理論才能保持無異議的狀態(Laudan, 1977)，類似地，學生在他們的數學知識中尚未研究的領域裡活動時，則沒有任何理由可使學生去建構新的認知結構，除非他們目前的理解方法會引起問題的情境(von

Glasersfeld,1983,1990)。在這樣的情境中，不論是科學家或學生皆不知道他們到底需要認識什麼，但都知道他們需要去〝尋找它〞。

當兒童在小組中一起活動時，兒童發現問題的情境是有多種形式的。這些包括解決障礙或矛盾處，而此障礙及矛盾是當兒童使用目前的概念和程序時所引起的，也包括為驚訝的結果作說明（特別是兩種不同的程序，卻引至相同的結果），解決矛盾的觀點，觀察及監控彼此的活動(Forman & Cazden,1985)，及解釋或證明答案，（當學童自發地嘗試去教其他人時）。真實的數學問題是可由小組中的社會互動及由個別的嘗試去完成教育的活動時所引起。而這便是學童一起活動的理由。若將此類比的用途再延伸，則小組可想成是非正式的研究小組，在從事目前的探究工作。

對科學家而言，異例的產生是與研究上所認為理所當然的常模背景相互對抗的。而且，並不是異例會導致不安的感覺，但有幾分不安的感覺是可使事例成為異例的(Barnes ，

1982)。類似地，當兒童嘗試在教室生活的社會脈絡中，去達成他們的目標時，問題便會產生。這些目標一般都是依兒童的信念而定，且較特別的是，他們嘗試在具體的情境中完成任務。

在此，我們看到：在課業方面，小組及全班之間的關係，是類比於發現和證明兩脈絡之間的關係。

科學家創造並嘗試以潛在性的批判及接受的觀點來解決問題。類似地，兒童小組的問題解決活動是受制於他們解釋及證明答案的理解程度。因此，僅僅由其他兒童告知答案，將會導致不安的感覺(Cobb,Yackel, & Wood,1989)。

關於數學的共同故事(或至少兒童對此故事的理解，是以他們的信念來呈現的)，即使在兒童成功地解決問題的活動後，問題還是會產生。舉例來說，在我們所觀察的事例中，兒童有問題的地方，是因為他們無法理解幾個正確的解法如何能適當地組合起來。而在最不可能的時候，當事情無法被理解時，問題便產生了──因此光光產生答案是不夠的。

藉由解決這些問題，兒童以在教室中所建立的研究常模來精緻化他們的數學現實。就如當常態科學中的意義持續改變一樣，則兒童重組他們理解的方式，將會受制於有關數學的共同故事。

就較高的思考水平過程來說，實際的學習之論點是一互動的解決問題的過程，此論點應用最多是在所謂的基礎上，如算術的計算。

一旦一有效的計算規則之應用被建構起來時，則對兒童而言，有可能成為例行性的作業。而建構此算術的過程，其特徵為內省、感官馬達(sensory-motor)的重組及概念的活動。 在此，提供4個兒童非標準化的算術之例子。所有的題目皆是求解39+53=ˍˍ。 Anna：50+30──80，然後再9+1為90，再加2為92。

Joel：你有53 ，多10是63，再加10 ── 73，再加10為83，加9------92。

Jenny：看，39加50是89，之後加3成為92。

Eric：30加50是80且9加3是12，把這些都加起來，我可以得到92。

這些例子是很清楚的，學童的算術牽涉到將數字當作算術的物件及他們對位值(place value)之理解所提供的資訊。

Knorr-Cetin(1982)注意到在科學實驗室中，並不存在理論－實行(theory-practice)上的二分法，但取而代之的是活動─認知網(action-cognition mesh)。此同樣地應用在目標班級中，一般來說，在那裡的概念及程序的發展是共同發展的。這是採取與傳統教室中完成對比的立場，在傳統教室中，典型的學校數學是在紙上畫神秘的記號的例行性活動，且與學童生活中的各面向是分離的。

存在於科學家及數學學生之間最大的差異乃在於後者的知識建構是由教師所引導的，而教師本身已建構這些知識，且教師是在較廣社群中被其文化所同化的成員 。然而，即使如此，類比被證明為有效的。

但當學童在小組中活動時，教師卻作了多種的介入。在她最多的指示中，教師藉由發問一系列的問題使一位或多位學童從事蘇格拉底式的對話，而每一個問題都儘可能地像是一種符號的挑戰一樣。換言之，對學童來說，這些問題被設計來引起異例。並且，學童面臨的問題是重組他／她對每一問題的個別回答至合邏輯的答案。如此，學童對教師行為的解釋可想成是異例的額外來源。

簡言之，教師的介入會影響到學童嘗試要去解決的問題，且如此學童將以非常相似的方式(如實證的及概念的異例抑制科學家對理論知識的建構方式一樣)來建構知識。

結論

當研究者把焦點放在將教師及兒童視為是組成智識社群的構成成員時，及把焦點放在將兒童視為是以他們認知的方式來主動地建構知識時，研究者利用目前的研究來說明多種被證明有效的類比。

同時，研究者嘗試去描述出數學教學之例子的輪廓，而此例子是概括地與科學哲學及科學社會學目前的想法是相容的。

在理解學童的動機、情緒上的行為及對最佳答案的評價時，科學哲學的類比被證明是有效的。

當研究者嘗試去了解教師在教室中的學識及研究者和教師（執行者）之間的關係及研究者自己建構知識之歷史情境中，也看到類比的價值。

此外，研究者建議一些科學哲學家也可跟隨Kuhn及Barne的引導及視兒童的學習對他們自己的研究來說是有用的類比之來源。