微分方程解3
第十二章 微分方程(客观题)题解
四、解答下列各题:
1.求微分方程y '=xy 的通解.
x 2dy +c 1 解:分离变量,得 =xdx ,积分,得所求的通解为 ln y =2y
即 y =ce .
2. 求微分方程xdy -3ydx =0满足初始条件y (1) =1的特解. x 22
解:分离变量,得 dy 3dx ,两边积分,得所求的通解为ln y =3ln x +ln c =y x
即 y =cx 3
当x =1, y =1代入,得c =1,所以特解为y =x 3
3.求方程x (y 2-1) dx +y (x 2-1) dy =0的通解.
解:分离变量,得 . x y dx +dy =0, 22x -1y -1
积分,得所求的通解为 ln(x 2-1) +ln(y 2-1) =ln c
即 (x 2-1)(y 2-1) =c
4.求方程dy y +=1的通解. dx x
-解:y =e ⎰x dx 1
[⎰e ⎰x dx 1
dx +c ]=e -ln x 11x 2
(⎰e dx +c ) =(⎰xdx +c ) =(+c ) x x 2ln x
即 x 2-2xy =c
5.求方程(x +1) 2dy +2xy =4x 2的通解. dx
dy 2x 4x 2
+y =2解:原方程变形为 dx x 2+1x +1
y =e -⎰x 2+1dx 2x 4x 2⎰x 2+1dx 4x 2
l n x (2+1) l n x (2+1) (⎰2e dx +c ) =e (⎰2e dx +c ) x +1x +12x
=11432(4x dx +c ) =(x +c ) x 2+1⎰x 2+13
14(x 3+c ) . 即 y =2x +13
1
6.求方程(e x +y -e x ) dx +(e x +y +e y ) dy =0的通解.
e x e y
解:分离变量,得 e x +1dx +e y -1dy =0,
积分,得所求的通解为 ln(e x +1) +ln(e y -1) =ln c
即 (e x +1)(e y -1) =c
7.求方程dy
dx +2xy =2xe -x 2的通解.
解:先求解对应的齐次方程 dy
dx +2xy =0 分离变量dy =-2xdx ,两边积分,的通解ln y =-x 2+ln c ,即 y =ce -x 2
y
再求非齐次方程的解,设y =c (x ) e -x 2为原方程的解,
代入原方程,得 c '(x ) =2x ,解得 c (x ) =x 2+c ,
则所求原方程的通解为 y =(x 2+c ) e -x 2.
8.求方程y '''=xe x 的通解.
解:y ''=⎰xe x dx =xe x -e x +c '
1
y '=⎰(xe x -e x +c 1') dx =xe x -2e x +c 1'x +c 2,
y =⎰(xe x -2e x +c 1'x +c 2) dx =(x -3) e x +c 1x 2+c 2x +c 3.
9.求方程y ''+2y '+3y =0的通解.
解:特征方程为r 2+2r +3=0,其根r 1, 2=-1±2i 是一对共轭复根,
因此所求通解为 y =e -x (c 1c o 2x +c 2s i 2x ) .
10.求方程y ''+10y '+25y =0的通解.
解:特征方程为r 2+10r +25=0,其根r 1=r 2=-5为相等的两个实根,
因此所求通解为 y =(c 5x
1+c 2x ) e -.
11.求方程y ''-4y '+3y =0满足条件y (0) =6, y '(0) =10的特解.
解:特征方程为r 2-4r +3=0,其根r 1=1, r 2=3为相异的两个实根,因此所求通解为
2 y =c x 3x 1e +c 2e .
当x =0, y =6, y '=10时,解得 c 1=4, c 2=2,
即特解为 y =4e x +2e 3x .
12.求方程y ''+25y =0满足条件y (0) =2, y '(0) =5的特解.
解:特征方程为r +25=0,其根r 1, 2=±5i 为一对共轭复根,因此所求通解为 y =c 1c o 5s x +c 2s i n 5x . 当x =0, y =2, y '=5时,解得 c 1=2, c 2=1,
即特解为 y =2cos 5x +sin 5x .
13.一曲线通过点(2,3),他在两坐标轴间的任意切线线段均被切点所平分,求这曲线方程. 解:设切点为p (x , y ) ,则切线在x 轴、y 轴的截距分别为2x 、2y , 2
2y y ,即tan α=-,从而的该曲线应满足的微分方程 2x x
dy y =- dx x tan(π-α) =
于是dy dx =-⎰y ⎰x ,ln y =-ln x -ln c ,即 xy =c
当x =2, y =3时,c =6,
所求曲线方程为 xy =6.
14.求一曲线方程,这曲线经过原点,并且它在点(x , y ) 处的切线斜率等于2x +y .
解:由题意,得y '=2x +y , y (0) =0,于是
dx -dx x -x x -x y =e ⎰[2x e ⎰dx +c ]=e [2xe dx +c ]=e [-2x d e +c ] ⎰⎰⎰
=e x (-2xe -x -2e -x +c )
当x =0, y =0时,c =2,
所求曲线方程为 y =2(e -x -1) .
15.求微分方程y ''+y =x +1的一个特解.
2解:λ=0不是特征方程r +1=0的根,所以设特解为 x 2
y *=b 0x 2+b 1x +b 2
因 y
*''""=2b 0x +b 1, y *=2b 0,将y *, y *, y *代入原方程,得 3
2b 0+b 0x +b 1+b 2≡x 2+1
于是得 b 0=1, b 1=0, b 2=-1,所求特解为 y *=x 2-1.
16.求微分方程y ''-3y '+2y =xe 2x 的通解.
解:特征方程为r -3r +2=0,其根r 1=1, r 2=2,对应的齐次方程的通解是Y =c 1e x +c 2e 2x
因λ=2是特征方程单根,所以设特解为y *=x (b 0x +b 1) e 2x 2
'y *=e 2x [2b 0x 2+(2b 0+2b 1) x +b 1] 则 "y *=e 2x [4b 0x 2+(8b 0+4b 1) x +(2b 0+4b 1)]
将y , y , y **'*"代入原方程,得2b 0x +(2b 0+b 1) ≡x
于是得 b 0=11, b 1=-1,则特解为 y *=(x 2-x ) e 2x 22
122x 原方程的通解为y =c 1e x +c 2e 2x +(x -x ) e . 2
17.求微分方程y ''+10y '+25y =2e -5x 的通解.
解:特征方程为r +10r +25=0,其根r 1=r 2=-5,对应的齐次方程的通解是Y =(c 1+c 2x ) e -5x
因λ=-5是特征方程重根,所以设特解为y *=bx 2e -5x
将y , y , y **2'*"*2-5x 代入原方程,得b =1,则特解为 y =x e
2-5x 原方程的通解为y =(c 1+c 2x ) e -5x +x e .
18.求微分方程y ''+3y '+2y =e -x cos x 的一个特解.
解:先求方程 y ''+3y '+2y =e (-1+i ) x (1)
2**(-1+i ) x 的特解y , 因λ=-1+i 不是特征方程r +3r +2=0的根,所以设特解为 y =be ,
则 y *'"'"=b (-1+i ) e (-1+i ) x ,y *=-2bie (-1+i ) x ,将y *, y *, y *代入原方程,得
-2bi +3b (-1+i ) +2b =1
111=--i -1+i 22
11(-1+i ) x 1i *=(--) (c o x s +i s i n x ) e -x 则特解为 y =(--i ) e 2222
1111-x =e [(-cos x +sin x ) +i (-cos x -sin x )] 2222 得 b =
4
由于原方程右端是方程(1)的实部,因此原方程的特解y *1是y * 的实部,即
y 1=*1-x e (sinx -cos x ) . 2
19.求微分方程y ''+y '=x 2的通解.
解:特征方程为r +r =0,解得r 1=0, r 2=-1. ,故齐次方程的通解为 y =C 1+C 2e -x
因λ=0是特征方程的单根,可设 y *=x (ax 2+ba +c ) 2
11, b =-1, c =2,非齐次方程的特解为 y *=x 3-x 2+2x 33
132所求方程的通解为 y =C 1+C 2e -x +x -x +2x . 3代入原方程,得 a =
20.设f (x ) 具有二阶连续导数,f (0) =0, f '(0) =1,且[xy (x +y ) -f (x ) y ]dx
+[f (x ) +x 2y ]dy =0. 为一全微分方程,求f (x ) 及此全微分方程的通解.
解:这里P =xy (x +y ) -f (x ) y , Q =f '(x ) +x 2y
由∂P ∂Q 知:x 2+2xy -f (x ) =f ''(x ) +2xy =∂y ∂x
即 f ''(x ) +f (x ) =x 2
解得 f (x ) =C 1c o s x +C 2s i n x +x 2-2,由 f (0) =0, f '(0) =1,求得C 1=2, C 2=1
从而得 f (x ) =2cos x +sin x +x 2-2
于是原方程为
[xy 2-(2c o s x +s i n x ) y ]dx +(-2s i n x +c o s x +2x +x 2y ) dy =0
其通解为 -2y sin x +y cos x +122x y +2xy =C . 2
x =ln 2x 21.设y =e 是微分方程x y '+p (x ) y =x 的一个解,求此微分方程满足条件y =0的特解.
解:把特解y =e 代入原方程,得 p (x ) =xe
代入原方程,得 x y '+(xe
x -x x -x -x . -x ) y =x 化为标准形式, y '+(e -1) y =1,此为一阶线性微分方程,其通解为
y =e ⎰
由y
-(e -x -1) dx (e [⎰e ⎰-x -1) dx dx +C ]=e x +Ce x +e x x +e -x -12-x x =ln 2=0,得 C =-e ,故所求特解为 y =e -e 5 -12.
∂2z ∂2z 22.设函数f (u ) 具有二阶连续导数,而z =f (e sin y ) 满足方程2+2=e 2x z , 求f (u ) . ∂x ∂y x
解:令u =e x sin y ,则z =f (u ), u =e x sin y
由复合函数的求偏导公式,得
∂2z ∂z ∂z x x =f '(u ) e s i n y , =f '(u ) e c o s y ,2=f '(u ) e x sin y +f ''(u ) e 2x sin 2y ∂x ∂y ∂x
∂2z x 2x 2''' =-f (u ) e s i n y +f (u ) e c o s y ,代入原方程,得 f ''(u ) -f (u ) =0 2∂y
由此解得 f (u ) =C 1e u +C 2e -u (其中C 1, C 2为任意常数).
23.已知y 1=xe x +e 2x , y 2=xe x +e -x , y 3=xe x +e 2x -e -x 是某二阶线性微分方程的三个解,求此微分方程.
解:由题设,并根据二阶线性非齐次微分方程解的结构知,
y 1-y 3=e -x 是齐次方程的解,而y 2-e -x =xe x 仍为非齐次方程的特解,进而得y 1-xe x =e 2x 为齐次方程的解,即有e 2x 与e -x 是相应齐次方程的两个线性无关的解,且xe 是非齐次方程的一个特解,故x
y =xe x +C 1e 2x +C 2e -x 是所求方程的通解,有
y '=e x +xe x +2C 1e 2x -C 2e -x , y ''=2e x +xe x +4C 1e 2x +C 2e -x
消去C 1, C 2得所求方程为
y ''-y '-2y =e x -2xe x .
24.已知连续函数f (x ) 满足条件f (x ) =⎰3x
0t f () dt +e 2x ,求f (x ) . 3
解:两端同时对x 求导数,得一阶线性微分方程
f '(x ) =3f (x ) +2e 2x
即 f '(x ) -3f (x ) =2e
解此方程,有
f (x ) =(Q (x ) e ⎰2x ⎰P (x ) dx -P (x ) dx =(⎰2e 2x ⋅e -3x dx +C ) e 3x dx +C ) e ⎰
=(2⎰e -x dx +C ) e 3x =Ce 3x -2e 2x
3x 2x 由于f (0) =1,可得 C =3,于是 f (x ) =3e -2e .
6