数列问题分类
怎 样 学 好 数 列
在广东高考中,数列一般都是一大一小。是一个比较难的知识点。
用函数思想研究数列, 发现数列与函数的关系.是灵活解决题目的关键。 数列的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的数组成的数列,次序不同则就是不同的数列.函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类似地,数列就有列举法、图示法、通项公式法.由于数列的自变量为正整数,于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系,从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法.
找通项:由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学习中的一个难点,要学会分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),特殊到一般很重要!
求和:(1)常见数列的数列和要牢记。自然数的和、奇数的和、偶数的和。自然数10以内的和要记熟。(2)基本的求和方法要会。等差数列、等比数列的和,拆项求和、错位相减、分组求和。
重视通法通解:做题目时技巧很美,但在有限的时间内能想到也不是那么容易,所以,平时一定要重视通解通法的练习。
第一讲 求 通 项:
基础知识
题型一例1 根据数列的前几项,写出下列个数列的一个通项公式:4142-, , -, , ; 52117
0.9,0.99,0.999,0.9999, …;(3)1,0,1,0,1,0, ….
1、 已知a 1=1, a n +1-a n =2,则a n =_______.
2 已知数列{
3 已知S n =n 2-2,则a n =_______.
即时练习:(1) 设数列的前n 项和为S n =n 2+2n +4(n ∈N +) ,求这个数列的通项公公式
(2)设数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +n +1,则通项a n = ______。
} 的前n 项和S n =2n 2+2n ,求数列{}的通项公式
1 已知a 1=1, a n +1=na n ,则a n =_______.
2 已知a 1=1, a n +1-a n =n ,则a n =_______.
3 已知a 1=2, a n =3a n -1-2(n ≥2),则a n =_______.
4 已知a 1=2, a n +1=2a n +2n ,则a n =_______.
即时练习:(1)a 1=1,a n =a n -1+2n (n ≥2)
(2)a 1=1, a n +1=2a n +3(n ≥1)
(3)已知数列{a n }满足a a n
1=33, a n +1-a n =2n , 则n 的最小值为__________.
题型四
1 写出下面各数列一个通项公式.(1)a a
1=1, a n +1=1+n
2(n ≥1);
(2)a 2a n -11=1,a n =2+a (n ≥2) ;
n -1
即时练习:(1)a 3a n 1=1,a n +1=3+a (n ≥1) ;
n
(2)a 1=1,a n
n +1=n +1a n (n ≥1) ;
(3)a 1=1,a n +1=2n ⋅a n (n ≥1)
(4)已知a 2a n
1=1, a n +1=a ,则a n =_______.
n +2
题型五
1 a 1=1, a 2=3, a n +2=3a n +1-2a n (n ∈N *).
2、 已知a 2
1=2, a n +1=2a n ,则a n =_______.
3、 已知a 1=1, a 2=2, a n +2=5a n +1-4a n ,则a n =_______.
4、a =1, a 2π
12=2, a n +2=(1+cos n
2) a sin 2n π
n +2, n =1, 2,3, . a n =_______.
求通项练习
1 15. [2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,且{b n -a n }为等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式;
15.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得
a 4-a 112-3d ==3. 33
所以a n =a 1+(n -1) d =3n (n =1,2,…) .
设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得
b 4-a 420-12q 3===8,解得q =2. b 1-a 14-3
所以b n -a n =(b 1-a 1) q n 1=2n 1.
-从而b n =3n +2n 1(n =1,2,…) . --
4 19. (本小题满分14分) 拆项求和与线性规划综合治理
⎧x >0⎪(n ∈N *) 表示的平面区域为D n ,记D n 内在平面直角坐标系上,设不等式组⎨y ≥0
⎪y ≤-2n (x -3) ⎩
的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为a n .
(1)求出a 1, a 2, a 3的值(不要求写过程);(2)求数列{a n }的通项公式;
19. 解:(1)a 1=9, a 2=15, a 3=21; ………………3分
(2)由x >0, y ≥0, -2n (x -3) ≥y 得 0
a n =(4n +1) +(2n +1) +1=6n +3 …………………9分
5 19、 已知数列{a n }的前n 项和为
(1)求数列{a n }的通项公式;
1219.解:(1) 当n =1时,a 1=S 1,由S 1+2a 1=1,得a 1=3分)
11当n ≥2时,∵S n =12a n, S n -1=1-2n -1,(2分)
111∴S n -S n -12(a n -1-a n ) ,即a n =2a n -1-a n ) ,∴a n =3n -1(n ≥2) ,(3分)
21∴{a n }为首项,(5分) 33
21n -11故a n =() =(n (n ∈N +) .(7分) 333
6 (20)(本小题共14分)
设a 是一个自然数,f (a ) 是a 的各位数字的平方和,定义数列{a n }:a 1是自然数,a n =f (a n -1) (n ∈N *,n ≥2).
(Ⅰ)求f (99),f (2014);
解:(Ⅰ)f (99)=9+9=162;
f (2014)=2+0+1+4=21. ……………5分
7 18. [2014·安徽卷] 数列{a n }满足a 1=1,na n +1=(n +1) a n +n (n +1) ,n ∈N *.
⎧a ⎫(1)证明:数列⎨n 是等差数列; ⎩⎭222222
a n +1a a n +1a ⎧a ⎫a 18.解: (1)证明:由已知可得=+1,即1,所以⎨n 是以1为首项,11⎩⎭n +1n n +1n
为公差的等差数列.
一、 求前n 项和:
11、 已知a 1=1, a n =2a n -1(n ≥2),则数列{a n }的前n 项和S n =_________.
n-112、数列(-1)(2-n )的前n 项和S n =_________. {}
14、数列⎨⎧2n +1⎫⎬的前n 项和S n =_________. n 3⎩⎭
15、数列2n -n +3的前n 项和S n =_________.
012n 16、a n =2n -1, n =1,2, ,则a 1C n +a 2C n +a 3C n + a n +1C n =______. {}
三、检测:
17、等差数列{a n }的各项均为正数,a 1=3,前n 项和为S n ,{b n }为等比数列, b 1=1,且b 2S 2=64, b 3S 3=960.(1)求a n 与b n ;(2)求和:
111++ +.
S 1S 2S n
S ⎛r ⎫18、已知首项不为零的数列{a n }的前n 项和S n ,对任意的r 、t ∈N 都有r = ⎪。 S t ⎝t ⎭*2
(1)判断数列{a n }是否是等差数列,并说明理由;
(2)若a 1=1, b 1=3, 数列{b n }第n 项b n 是数列{a n }的第a b n -1项(n ≥2),求b n ; (3)在(2)的条件下求和T n =a 1b 1+a 2b 2+a n b n 。
1 5.设数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +n +1,则通项a n = ______。 答案:
n (n +1)
+1 2
解析:∵a 1=2, a n +1=a n +n +1 ∴a n =a n -1+(n -1)+1,a n -1=a n -2+(n -2)+1,
a n -2=a n -3+(n -3)+1, ,a 3=a 2+2+1,a 2=a 1+1+1,a 1=2=1+1
将以上各式相加得:a n =⎡⎣(n -1)+(n -2)+(n -3)+ +2+1⎤⎦+n +1 =
(n -1)⎡)+⎣(n -1
21⎤⎦+n +1=(n -1)n +n +1=n (n +1)+1
22
15.( 满分12分) 已知数列{a n }中,a 1=-2,且a n +1=S n (n ∈N +) ,求a n 及S n . 16.(满分14分) 数列{a n }满足a 1+2a 2+3a 3+ +na n =n (n +1)(n +2) ,求{a n }的前n 项和S n .
题型二:已知递推公式,求特殊数列的通项公式.
5(2010安徽文数)(5)设数列{a n }的前n 项和S n =n 2,则a 8的值为 (A ) 15 (B) 16 (C) 49 (D )64
【解析】a 8=S 8-S 7=64-49=15.
【方法技巧】直接根据a n =S n -S n -1(n ≥2) 即可得出结论.
1.(2009北京文) 若数列{a n }满足:a 1=1, a n +1=2a n (n ∈N *) ,则a 5=;前8项的和S n =
(用数字作答)
【解析】本题主要考查简单的递推数列以及数列的求和问题.m 属于基础知识、基本运算的考查.
a 1=1, a 2=2a 1=2, a 3=2a 24a , 4=2a 3=8a , 5=
a 2164=,
28-1
S 8==255
2-1 易知,∴应填255.
1.(2009安徽文) (本小题满分12分)
已知数列{a n } 的前n 项和S n =zn x +zn ,数列{b n }的前n 项和T n =2-b x (Ⅰ)求数列{a n }与{b n }的通项公式;
2
(Ⅱ)设c n =a n ⋅b n ,证明:当且仅当n ≥3时,c n +1<c n
⎧a (n =1) 2 【思路】由a =⎨1可求出a n 和b n ,这是数列中求通项的常用方法之一,在求
s -s (n ≥2) n -1⎩n
出a n 和b n 后,进而得到c n ,接下来用作差法来比较大小,这也是一常用方法。
【解析】(1)由于a 1=s 1=4
当n ≥2时, a n =s n -s n -1=(2n 2+2n ) -[2(n -1) 2+2(n -1)]=4n ∴a m =4n (n ∈N *) 又当x ≥n 时b n =T n -T n -1-(2-6m ) -(2-b m -1) ∴2b n =b n -1
11
∴数列{b n }项与等比数列, 其首项为1, 公比为∴b n =() n -1 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
22
1(n +1) -12
16(n +1) ⋅() 1n -1C n +1(n +1) 222(2)由(1)知C 1=a 1⋅b n =16n ⋅() ∴ ==2
2C n 2n 16n 2⋅() n -12
C n +1(n +1) 2由
0∴n >1n ≥3
C n 2n
(n +1)2C n +1
0恒成立. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 又n ≥3时成立, 即2n 2C n
因此, 当且仅当n ≥3时, C n +1
19. (本小题满分14分) 拆项求和与线性规划综合治理
⎧x >0⎪
(n ∈N *) 表示的平面区域为D n ,记D n 内在平面直角坐标系上,设不等式组⎨y ≥0
⎪y ≤-2n (x -3) ⎩
的整点(横坐标和纵坐标均为整数的点)的个数为a n .
(1)求出a 1, a 2, a 3的值(不要求写过程);(2)求数列{a n }的通项公式; (3)令b n =
1
(n ∈N *),求b 1+b 2+…+b n .
a n a n +1
19. 解:(1)a 1=9, a 2=15, a 3=21; ………………3分 (2)由x >0, y ≥0, -2n (x -3) ≥y 得 0
D n 内在直线x =1和x =2上的整点个数分别为a n =(4n +1) +(2n +1) +1=6n +3 …………………9分
(3)∵b n =
4n+1和2n+1,
1111
=(-) ……………10分
a n a n +166n +36(n +1) +3
∴b 1+b 2+…+b n
111111111=[(-) +(-)+(-)+⋅⋅⋅+(-)]66⨯1+36⨯2+36⨯2+36⨯3+36⨯3+36⨯4+36n +36(n +1) +3
111n ………………………14分 =(-) =
66⨯1+36(n +1) +327(2n +3)
19、(本小题满分14分) 已知数列{a n }的前n 项和为(1)求数列{a n }的通项公式; (2)设数n 的值。
,求适合方程的正整
12
19.解:(1) 当n =1时,a 1=S 1,由S 1+a 1=1,得a 1=分)
2311
当n ≥2时,∵S n =12a n, S n -1=1-2n -1,(2分)
111
∴S n -S n -12(a n -1-a n ) ,即a n =2a n -1-a n ) ,∴a n =3n -1(n ≥2) ,(3分) 21
∴{a n }3为首项,3(5分) 21n -11
故a n =3(3) =(3n (n ∈N +) .(7分)
111
(2)1-S n 2a n =(3n ,b n =log 3(1-S n +1) =log 3(3) n +1=-n -1,(9分) 1111=-分) b n b n +1(n +1)(n +2)n +1n +2
[1**********](+-) +…+() =- b 1b 2b 2b 334b n b n +123n +1n +22n +21125解方程2=51,得n =100.(14分)
n +2
(20)(本小题共14分)
设a 是一个自然数,f (a ) 是a 的各位数字的平方和,定义数列{a n }:a 1是自然数,a n =f (a n -1) (n ∈N *,n ≥2). (Ⅰ)求f (99),f (2014); (Ⅱ)若a 1≥100,求证:a 1>a 2; (Ⅲ)求证:存在m ∈N *,使得a m
解:(Ⅰ)f (99)=9+9=162;
f (2014)=2+0+1+4=21. ……………5分 (Ⅱ)假设a 1是一个n 位数(n ≥3),
那么可以设a 1=b n ⋅10n -1+b n -1⋅10n -2+ +b 3⋅102+b 2⋅10+b 1,
其中0≤b i ≤9且b i ∈N (1≤i ≤n ),且b n ≠0. 由a 2=f (a 1) 可得,a 2=b n 2+b n -12+ +b 32+b 22+b 12.
2
2
2
2
2
2
a 1-a 2=(10n -1-b n ) b n +(10n -2-b n -1) b n -1+ +(102-b 3) b 3+(10-b 2) b 1+(1-b 1) b 1,
n -1n -2
=(10-b n b ) (10-b n -1b n -) n +1+ +
2
1(1-b 03b +b +1-) b b 1(13) -b (120
) ,
所以a 1-a 2≥(10n -1-b n ) b n -(b 1-1) b 1. 因为b n ≠0,所以(10n -1-b n ) b n ≥99. 而(b 1-1) b 1≤72,
所以a 1-a 2>0,即a 1>a 2. ……………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)可知当a 1≥100时, a 1>a 2.
同理当a n ≥100时, a n >a n +1. 若不存在m ∈N *,使得a m
则对任意的n ∈N *,有a n ≥100,总有a n >a n +1. 则a n ≤a n -1-1, 可得a n ≤a 1-(n -1) .
取n =a 1,则a n ≤1,与a n ≥100矛盾.
存在m ∈N *,使得a m
⎧a ⎫
(1)证明:数列⎨n 是等差数列;
⎩⎭
(2)设b n =3n a n ,求数列{b n }的前n 项和S n .
a n +1a a n +1a ⎧a ⎫a 18.解: (1)证明:由已知可得=+1,即1,所以⎨n 是以1为首项,1
1⎩⎭n +1n n +1n 为公差的等差数列.
a (2)由(1)得1+(n -1)·1=n ,所以a n =n 2,
n 从而可得b n =n ·3n .
-
S n =1×31+2×32+…+(n -1) ×3n 1+n ×3n ,①
+
3S n =1×32+2×33+…+(n -1)3n +n ×3n 1. ② ①-②得-2S n =3+3+…+3-n ·3
1
2
n
n +1
3·(1-3n )3n 1-3n +1(1-2n )·=n ·3=,
21-3
+
(2n -1)·3n 1+3
所以S n =.
4
+
15. [2014·北京卷] 已知{a n }是等差数列,满足a 1=3,a 4=12,数列{b n }满足b 1=4,b 4=20,{b n -a n }为等比数列.
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式; (2)求数列{b n }的前n 项和.
15.解:(1)设等差数列{a n }的公差为d ,由题意得
d a 4-a 112-33=3
=3.
所以a n =a 1+(n -1) d =3n (n =1,2,…) . 设等比数列{b n -a n }的公比为q ,由题意得 q 3=b 4-a 4b -a =20-12=8,解得q =2.
114-3所以b -
-
n -a n =(b 1-a 1) q n 1=2n 1.
从而b -
n =3n +2n 1(n =1,2,…) .
(2)由(1)知b -
n =3n +2n 1(n =1,2,…) .
数列{3n }的前n 项和为32n (n +1) ,数列{2}的前n 项和为1×1-2n n -1
n 1-22-1,
所以,数列{b 3
n }的前n (n +1) +2n 2
-1.
且
怎 样 学 好 数 列
在广东高考中,数列一般都是一大一小。是一个比较难的知识点。
用函数思想研究数列, 发现数列与函数的关系.是灵活解决题目的关键。 数列的项是按一定顺序排列的,“次序”便是函数的自变量,相同的数组成的数列,次序不同则就是不同的数列.函数表示法有列表法、图象法、解析式法,类似地,数列就有列举法、图示法、通项公式法.由于数列的自变量为正整数,于是就有可能相邻的两项(或几项)有关系,从而数列就有其特殊的表示法——递推公式法.
找通项:由数列的前几项写出数列的一个通项公式是学习中的一个难点,要学会分析各项中的结构特征(整式,分式,递增,递减,摆动等),特殊到一般很重要!
求和:(1)常见数列的数列和要牢记。自然数的和、奇数的和、偶数的和。自然数10以内的和要记熟。(2)基本的求和方法要会。等差数列、等比数列的和,拆项求和、错位相减、分组求和。
重视通法通解:做题目时技巧很美,但在有限的时间内能想到也不是那么容易,所以,平时一定要重视通解通法的练习。
第一讲 求 通 项:
基础知识
题型二
4、 已知a 1=1, a n +1-a n =2,则a n =_______. 2 已知数列{
} 的前n 项和
S n =2n 2+2n ,求数列{
}的通项公式3 已知S n =n 2-2,则a n =_______.
即时练习:(1) 设数列的前n 项和为S n =n 2+2n +4(n ∈N +) ,求这个数列的通项公公式
(2)设数列{a n }中,a 1=2, a n +1=a n +n +1,则通项a n = ______。
题型三
1 已知a 1=1, a n +1=na n ,则a n =_______. 2 已知a 1=1, a n +1-a n =n ,则a n =_______. 3 已知a 1=2, a n =3a n -1-2(n ≥2),则a n =_______. 4 已知a 1=2, a n +1=2a n +2n ,则a n =_______.
即时练习:a =1,a n =a n -1+2n (n ≥2)
(1)1
(2)a 1=1, a n +1=2a n +3(n ≥1)
题型五
1
a 1=1, a 2=3, a *
n +2=3a n +1-2a n (n ∈N ). 5、 已知a =2a 2
1=2, a n +1n ,则a n =_______.
6、 已知a 1=1,
a 2=2, a n +2=5a n +1-4a n ,则a n =_______.
∴{a n +3}是以a 1+3=4为首项,2为公比的等比数列, ∴a n +3=4⋅2n -1=2n +1,所以该数列的通项a +1n =2n -3. (备用)∵a n +1=2a n +4, ∴a n +1+4=2(a n +4)
∴数列{a n +4}是以2为首项,2为公比的等比数列,
∴a n +4=2⨯2n -1,即a n =2n -4(n ∈N *) .
(3)∵a 1=1,a n =a n -1+2n (n ≥2) ∴a 2-a 1=2⨯2 a 3-a 2=2⨯3 a 4-a 3=2⨯4 … … a n -a n -1=2⨯n
将上述(n -1)个式子相加,得a n -a 1=2
⨯(2+3+4+ +n )
∴{a n +1-a n }是以a 2-a 1=2为首项,2为公比的等比数列. ∴a n +1-a n =2n (n ∈N *), ∴a n =(a n -a n -1) +(a n -1-a n -2) +... +(a 2-a 1) +a 1 =2n -1+2n -2+... +2+1
=2-1(n ∈N ). n *
[点评]若数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n +b n (数列{b }为可以求和的数列) ,则用累加法n 求解,即a n =a 1+(a 2-a 1) +(a 3-a 2) + +(a n -a n -1) .
[点评]若数列{a n }满足a 1=a ,a n +1=a n ⋅b n (数列{b }为可以求积的数列) ,则用迭乘法n
21