八年级数学学案---十字相乘法 因式分解

一. 教学内容：

十字相乘法 因式分解小结

二. 重点、难点

十字相乘法是因式分解中非常重要的一种方法，书上虽然已删去，但是相关的题目还保留着，只不过利用分组分解法来解决，相对比较麻烦。而且在今后的一元二次方程中利用十字相乘法解方程是一种非常重要的方法。在学习十字相乘法时要把握十字相乘的本质，把首项拆成两项之积，把尾项拆成两项之积，交叉相乘得中间项，那么这个多项式可以用十字相乘法来分解。注意在这里首项、尾项是指广义上的，并不单纯指第一项与最后一项。在下面的例题中有讲解。

【典型例题】

[例1] 分解因式

2

（1）2x -3x -2

（2）3x +xy -2y 解：

（1）首项2可拆成1与2尾项-2可拆成-2与

1

22

∴ 原式=(x -2)(2x +1)

（2）若将y 看成常数，则为关于x 的二次三项式

∴ 原式=(3x -2y )(x +y )

[例2] 分解因式x -(p +q ) x +pq (p +q )(p -q )

22

分析：上式的第三项中p 与p -q 及q 与p +q 相乘可得到p 与q ，可考虑用十字相乘法。

222

解：原式=

x -(p +q ) x -p (p -q )[-q (p +q )]

222

∴ 原式=[x -p (p -q )][x -q (p +q )]

22

=(x -p +pq )(x -pq -q )

3322

[例3] 分解因式a b -ab +a +b +

1

分析：联想上题a b -ab =ab (a +b )(a -b ) 所以可十字相乘法。 解：原式=ab (a +b )(a -b ) +a +b +1

2

2

33

∴ 原式=[a (a -b ) +1][b (a +b ) +1]=(a -ab +1)(b +ab +1)

[例4] 分解因式x -2xy -8y -x -14y -6

解法一：

分析：把x 看作字母，y 看作常数，化成二次三项式的形式利用十字相乘法。

解：原式=x -(2y +1) x -(8y +14y +6)

2=x -(2y +1) x -2(4y +3)(y +1)

2

2

2

2

2

2

∴ 原式=(x -4y -3)(x +2y +2)

解法二：注意到这是六项式，利用齐次分组法再利用十字相乘法。 解：原式=(x -4y )(x +2y ) -(x +14y ) -6

∴ 原式=(x -4y -3)(x +2y +2)

[例5] (ab +1)(a +1)(b +1) +ab

分析：此题要展开非常麻烦，而且也不好分组，观察到(a +1)(b +1) =ab +1+a +b 把

(ab +1) 看作一个整体再利用十字相乘法。

解：原式=(ab +1)(ab +1+a +b ) +ab =(ab +1) +(a +b )(ab +1) +ab

2

∴ 原式=(ab +1+a )(ab +1+b )

2266

x +y =1x +y =2x +y [例6] 已知：，，求

222(x +y ) =1x +2xy +y =1 解：

1xy =-

2 ∴ 2xy =-1 ∴

说明：利用因式分解进行代数式求值是因式分解比较广泛的应用。

2

[例7] 若x +3x +1=0，求

113

=8-3(-) 22=

x +y =(x ) +(y ) =(x +y ) -3x y (x +y ) 22

6

6

23

23

2

23

2

2

2

2

x 4+

1

x 4的值。

解：由条件可知x ≠0 ∴ 两端同除以x ∴

x +3+

11=0x +=-3x x ∴

x 2+

11211242

=(x +) -2=7x +=(x +) -2=47

x x 2x 4x 2

2

2

2

2

2

[例8] 已知(a +b )(x +y ) =(ax +by )

x y

=a b 求证：

分析：以连比形式出现的结论，容易让人想到非负数的性质，即若干个非负数之和等于0，

则它们分别为0因此想到配方法。

证明：(a +b )(x +y ) =(ax +by )

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

y b y a x +a y +b x +b y =a x +2a b x +

a y -2abxy +b x =0

2

(ay -bx ) =0

x y =

ay -bx =0ay =bx ∴ ∴ a b

3333

[例9] 已知a +b =c +d ，a +b =c +d

2

2

2

2

求证：a

2003

+b 2003=c 2003+d 2003

3

3

3333

证明：a +b =c +d

(a +b ) -3ab (a +b ) =(c +d ) -3cd (c +d ) ∵ a +b =c +d ∴ ab (a +b ) =cd (c +d ) 当a +b =c +d ≠0 则ab =cd

(a -b ) 2=(a +b ) 2-4ab =(c +d ) 2-4cd =(c -d ) 2=c -d ∴ a -b 或a -b =d -c

⎧a +b =c 由⎨+d ⎧a =c ⎩a -b =c -d 得⎨⎩b =d ⎧由⎨a +b =c +d ⎧a =d ⎩a -b =d -c 得⎨⎩b =c

不管那一种情况a 2003

+b 2003=c 2003+d 2003成立 当a +b =c +d =0则a =-b c =-d

此时a 2003

+b 2003=0 c 2003

+d 2003=0 ∴ a

2003

+b 2003=c 2003+d 2003

【模拟试题】（答题时间：80分钟）

一. 判断

1. x 2

-9+2x =(x +3)(x -3) +2x 是因式分解。（ ） 2. 将x 2y -xy 2

+xy 因式分解，其结果为xy (x -y ) 。（ ）3. 将4m 2-9n 2

因式分解，其结果为(4m +9n )(4m -9n ) 。（ 4. -x 2

-x +6=(x +3)(x -2) （ ） 5. x 2

-6xy +8y 2

=(x -2y )(x -4y ) （ ）

16. 3a 2-b 2=(11

3a +b )(3a -b )

（ ）

7.

-a 2-b 2

-a -b =(a +b )(b -a -1) （ ） 2x 3+1y 3=(2x +1y )(4x 2218. 33-3xy +9y 2)

（ ）

9. -ab +a 2+1b 2=(1

2b -a ) 2

4（ ） 10. a 6

-1因式分解得(x 3+1)(x 3

-1) （ ）

二. 填空题

1. -3ma 3+6ma 2

-12ma 的公因式是 。

12.

4a 4=

() 2 27x 3=() 3 9(a -b ) 2=[ 8(x +y ) 3=[]3

3.

4x 2+12x +() =4(x +

) 2

]2

）

22

4. 将a +2a +1-b 分解因式为

22x +kxy +9y 5. 如果是一个完全平方式，那么k 的值是 。

6. 分解因式(x +z )(x -z ) +y (y -2x ) =。

2233x +xy +y =0x -y 7. 若，则的值为 。 n -3n q +q 8. 分解因式为 。

9. (x -y ) +14(x -y ) -15因式分解得 。

2

10. 若x +mx -5能在有理数范围内分解成两个一次因式的积，则m =

2

三. 选择题

1. 若x +y 是下列某式的一个因式，则该式是（ ）

2244

(x -y ) (x +y ) x -y A. B. 4433

C. x +y D. x y -xy

2

2

2. 下列各式中为完全平方式的是（ ）

2222

A. a +2ab -b B. ab -2ab +a b

C.

3. 下列各式中，进行了因式分解的是（ ）

3

2

2

3

2

2

1+a +

12a

4 D. -2a 2+4ab +2b 2

A. a +a -b -b =a (a +1) -b (b +1) B. ab -a -b +1=(a -1)(b -1)

2a +ab +ac +bc =a (a +b +c ) +bc C. 22

D. a -ab -ab +b =a (a -b ) -b (a -b ) 32

4. a -a -a +1因式分解的结果为（ ）

A. (a -1) (a +1) B. (a -1)(a +1)

22

(a -1)(a +1) (a -1)(a +1) C. D.

2

5. 对于多项式(a +b +c ) -a (a +b ) -ac 正确的结论是（ ）

22

A. 不能分解因式 B. 有因式(a +b ) C. 有因式(b +c ) D. 有因式(a +c ) 6. 提公因式后，能继续分解的多项式是（ ）

2

A. 3x -6x +12 32

B. -x +10x -100x

2

(x -4) x -4x (4-x ) -5(x -4) C.

2

D. (x -9) x +9x (x -9) -36(9-x )

7. 将多项式x -xy -4x +4y 进行因式分解，给出的下列几种分组中不正确的个数是

2

（ ）

（1）(x +4y ) -(xy +4x ) （2）(x -xy ) -(4x -4y )

22(x -4x ) -(xy -4y ) x -(xy +4x -4y ) （3） （4）

2

2

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

n n 2222x -y (x +y )(x -y )(x +xy +y )(x -xy +y ) ，则n 的值是（ ） 8. 若可分解为

A. 2 B. 4 C. 6 D. 8

四. 将下列各式因式分解

3223x -x y -xy +y 1.

23

2. 18b (a -b ) -12(b -a ) 2

3. x +7x +6

222x (y +2) -3y (x -3) -12xy 4. 2422

5. (x +3x ) -8(x +3x ) +16 22x -4xy +4y -6x +12y +8 6. 2

7. x -(2a +1) x -3a (a -1)

8. 4b c -(b +c -a )

22x -8xy +15y 9. 43

10. x +3x -6x -4

222222

11. x -8y -x -2xy -4y

422

12. x +x -2ax +1-a

3322

五. 求值

23

1. 已知x -x +1=0，求x +2的值。 33

2. 已知a +b =1，求a +3ab +b 的值。

2

3. 已知a +2a -14=0，求(a -3)(a +6)(a +5)(a -4) +20的值。

42

六. 已知x +kx -2有因式x -x -1，求k 的值及另一个因式。

【试题答案】

一.

1. × 2. × 3. × 4. × 5. √ 6. × 7. × 8. × 9. √ 10. × 二.

1. -3ma

12a

2. 2；3x ；3(a -b ) ；2(x +y )

3

3. 9；2 4. (a +1+b )(a +1-b )

5. ±6 6. (x -y +z )(x -y -z )

n -32q (1+q )(1-q +q ) 9. (x -y +15)(x -y -1) 10. ±4 7. 0 8.

三.

1. B 2. C 3. B 4. A 5. C 6. C 7. B 8. C 四.

1. =x (x -y ) -y (x -y ) =(x -y )(x +y )(x -y ) =(x -y ) (x +y )

22

=6(a -b ) [3b +2(a -b )]=6(a -b ) (2a +b ) 2.

3. =(x +1)(x +6)

2

2

2

4. =2x y +4x -3y x +9y -12xy =xy (2x -3y ) +(2x -3y )

22222

=(2x -3y )(xy +2x -3y )

5. =(x +3x -4) =(x +4) (x -1)

6. =(x -2y ) -6(x -2y ) +8=(x -2y -2)(x -2y -4)

2

2

2

2

2

7.

=(x -3a )(x -a +1)

8. =(2bc +b +c -a )(2bc -b -c +a ) =[(b +c ) -a ][a -(b -c ) ] =(b +c +a )(b +c -a )(a +b -c )(a -b +c ) 9. =(x -3y )(x -5y )

222222=(x +2)(x -2) -3x (x -2) =(x -2)(x +2-3x ) =(x -2)(x -1)(x -2) 10.

2

2

2

2

2

2

2

2

2

2

222222

=(x -2y )(x +2xy +4y ) -(x +2xy +4y ) =(x +2xy +4y )(x -2y -1) 11.

4222222

12. =x +2x +1-x -2ax -a =(x +1) -(x +a )

五.

=(x +1+x +a )(x +1-x -a )

2333

1. x -x +1=0 x +1=0 x =-1 x +2=-1+2=1

22

2. (a +b )[(a +b ) -3ab ]+3ab =1(1-3ab ) +3ab =1

22(a +2a -15)(a +2a -24) +20=(14-15)(14-24) +20 3.

=-1⨯(-10) +20=30

2

六.

2

∴ k +3=0 ∴ k =-3 ∴ 另一个因式为x +x +2