[微积分初步]解应用题的辅导
《微积分初步》解应用题的辅导
一．本课程考核的应用主要是导数的应用，求最值。题型以几何应用为主。 求最值问题的解题步骤：
（1）列出目标函数；
（2）对目标函数求导，令目标函数的导数等于0，求出驻点；
（3）若驻点唯一，再判定该驻点为极值点；
（4）在驻点唯一的情况下，极大（小）值点即为最大（小）值点，得出结论，回答问题。
二．典型例题
例1．设矩形的周长为120厘米，以矩形的一边为轴旋转一周得一圆柱体。试求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大。
分析：本题是要求矩形的边长为多少时，才能使圆柱体的体积最大，设矩形的边长分别为（厘米），且以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则该圆柱体的体积为 再由已知条件，，即，代入即得
圆柱体的体积为
所以我们的问题就是求 为多少时，可使取得最大值。
解：设矩形的边长分别为（厘米），则有
若矩形以边长为 的边为轴旋转一周得圆柱体，则圆柱体的体积为。
求导得
令得 舍去）
，
说明是极大值点，故当 厘米并以矩形短边为旋转轴时可使圆柱的体积最大。
例2欲用围墙围成面积为216平方米的一个矩形的土地，并在正中用一堵墙将其隔成两块，问这块土地的长和宽选取多大尺寸，才能使所用建筑材料最省？
分析：这是一个求用料最省的问题。用料最省实际上就是所建的围墙长度最短，当然是在围墙围成面积为216平方米的约束条件下，所要建的围墙如图，
设土地一边长为，另一边长为，所建的围墙长度为，由约束条件 ，
于是
这样此题就转化为求边长为为多少时，函数的最小值问题。
解：设土地一边长为，另一边长为，共用材料为
于是
令得到唯一驻点（舍去）
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当土地一边长为，另一边长为18时，所用材料最省。
例3某制罐厂要生产一种体积为V的有盖圆柱形容器，问容器的底半径与高各为多少时可使用料最省？
解：设容器的底半径为，高为，则其表面积为
由，得唯一驻点，由实际问题可知，当时可使用料最省，此时，即当容器的底半径与高分
别为与时，用料最省．
例4欲做一个底为正方形，容积为32立方米的长方体开口容器，怎样做法用料最省？解：设底边的边长为，高为，用材料为，由已知
令，解得是惟一驻点，易知是函数的极小值点，此时有，所以当，时用料最省．
例5用钢板焊接一个容积为4的底为正方形的无盖水箱，已知钢板每平方米10元，焊接费40元，问水箱的尺寸如何选择，可使总费最低？最低总费是多少？
解：设水箱的底边长为，高为，表面积为，且有
所以
令，得，
因为本问题存在最小值，且函数的驻点唯一，所以，当时水箱的面积最小. 此时的费用为 （元）