一元一次方程 经典难题复习巩固(学生用)

一、知识梳理

知识点一：一元一次方程及解的概念

1、一元一次方程的概念：只含有一个未知数，并且未知数的次数都是1的方程叫做一元一次方程。 一元一次方程的标准形式是： (其中 是未知数， 是已知数，且 )。 2、方程的解：使方程左右两边的值 的未知数的值叫做方程的解

要点诠释：

（1）一元一次方程必须满足的3个条件： 只含有一个未知数； 未知数的次数是1次； 整式方程． （2）判断一个数是否是某方程的解：将其代入方程两边，看两边是否相等．

知识点二：方程变形——解方程的重要依据

1、等式的基本性质（也叫做方程的同解原理）:

等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍 。 即：如果

，那么

；(c为一个数或一个式子) 。

等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍 。 即：如果

，那么

；如果

，那么

a c =b c

2、分数的基本的性质:

a b

am bm

分数的分子、分母同时乘以或除以同一个不为0的数，分数的 不变。 即：

=

=a ÷m b ÷m x +40. 2

（其中m ≠0）

注：分数的基本的性质主要是用于将方程中的小数系数（特别是分母中的小数）化为整数， 如方程：

x -30. 5

-

=1. 6，将其化为的形式：

10x -30

5

-

10x +40

2

=1. 6。方程的右边没有变化，

这要与“去分母”区别开。

知识点三：解一元一次方程的一般步骤：

1、解一元一次方程的基本思路：

通过对方程变形，把含有未知数的项归到方程的一边，把常数项归到方程的另一边，最终把方程“转化”成x ＝a 的形式。

2、解一元一次方程的一般步骤是：

注意：

(1)解方程时应注意：

①解方程时，表中有些变形步骤可能用不到，并且也不一定按照自上而下的顺序，要根据方程形

式

灵活安排求解步骤。熟练后，步骤及检验还可以合并简化。

②去分母时，不要漏乘没有分母的项。去分母是为了简化运算，若不使用，可进行分数运算。 ③去括号时，不要漏乘括号内的项，若括号前为“－”号，括号内各项要改变符号。 (2)在方程的变形中易出现的错误有以下几种情况： ①移项时忘记改变符号；

②去分母时，易忘记将某些整式也乘最简公分母；

③分数线兼有括号的作用，在去分母后，易忘记添加括号； 3、理解方程ax=b在不同条件下解的各种情况，并能进行简单应用:

b

(1)a≠0时，方程有唯一解x ＝；

a

(2)a=0，b=0时，方程有无数个解； (3)a=0，b ≠0时，方程无解。

知识点四：列一元一次方程解应用题的一般步骤:

1、列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1） ，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系． （2） ，一般求什么就设什么为x ，但有时也可以间接设未知数．

（3） ，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程． （4） ．

（5） ，看方程的解是否符合题意． （6）写出答案．

2、解应用题的书写格式：设→根据题意→解这个方程→答。 注意：

(1)在一道应用题中，往往含有几个未知数量，应恰当地选择其中的一个，用字母x 表示出来，即所设的

未知数，然后根据数量之间的关系，将其它几个未知数量用含x 的代数式表示。

(2)解应用题时，不能漏掉“答”， “设”和“答”中都必须写清单位名称。 (3)列方程时，要注意方程两边是同一个量，并且单位要统一。

(4)一般情况下，题目中所给的条件在列方程时不能重复使用，也不能漏掉不用。重复利用同一个条 件，会得到一个恒等式，无法求得应用题的解。

知识点五：常见的一些等量关系

常见列方程解应用题的几种类型：

二、经典例题透析

类型一：一元一次方程的有关概念

1、 已知下列各式：

12

①2x －5＝1；②8－7＝1；③x ＋y ；④x －y ＝x 2；⑤3x ＋y ＝6；⑥5x ＋3y ＋4z ＝0；⑦

1m

1n

＝8；

⑧x ＝0。其中方程的个数是( )

A 、5 B 、6 C 、7 D 、8 [变式1]判断下列方程是否是一元一次方程： （1）-2x 2+3=x （2）3x-1=2y （3）x+

1x

=2 （4）2x 2-1=1-2(2x-x2)

[变式2]已知：(a-3)(2a+5)x+(a-3)y+6＝0是一元一次方程，求a 的值。

类型二：一元一次方程的解法

解一元一次方程的一般步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1。如果我们在牢固掌握这一常规解题思路的基础上，根据方程原形和特点，灵活安排解题步骤，并且巧妙地运用学过的知识，就可以收到化繁为简、事半功倍的效果。 1、巧凑整数解方程

1、解方程：

[变式]解方程：

2、巧用观察法解方程

＝2x －5

2、解方程：

3、巧去括号解方程

含多层括号的一元一次方程，要根据方程中各系数的特点，选择适当的去括号的方法，以避免繁杂的计算过程。

3、解方程：

[变式]解方程：

4、运用拆项法解方程

在解有分母的一元一次方程时，可以不直接去分母，而是逆用分数加减法法则，拆项后再合并，有时可以使运算简便。

4、解方程：

5、巧去分母解方程

当方程的分母含有小数，而小数之间又没有特殊的倍数关系时，若直接去分母则会出现比较繁琐的运算。为了避免这样的运算。应把分母化成整数。化整数时，利用分数的基本性质将分子、分母同时扩大相同的倍数即可。

5、解方程：＝1

6、巧组合解方程

6、解方程：

7、巧解含有绝对值的方程

解含有绝对值的方程的基本思想是先去掉绝对值符号，转化为一般的一元一次方程。对于只含一重绝对值符号的方程，依据绝对值的意义，直接去绝对值符号，化为两个一元一次方程分别解之，即若|x|＝m ，则x ＝m 或x ＝－m 。

[变式1] 5|x |-16＝3|x |-4

7、解方程：|x－2|－3＝0

[变式2]

小结：解一元一次方程有一般程序化的步骤，我们在解一元一次方程时，既要学会按部就班(严格按步骤) 地解方程，又要能随机应变(灵活打乱步骤) 解方程。对于一般解题步骤与解题技巧来说，前者是基础，后者是机智，只有真正掌握了一般步骤，才能熟能生巧。 解一元一次方程常用的技巧有：

(1)有多重括号，去括号与合并同类项可交替进行。

(2)当括号内含有分数时，常由外向内先去括号，再去分母。 (3)当分母中含有小数时，可用分数的基本性质化成整数。

(4)运用整体思想，即把含有未知数的代数式看作整体进行变形。

解方程时，认真观察方程的结构特征，灵活采用解方程的一些技巧，可达到事半功倍的效果。

类型三、一元一次方程的综合应用题 1．优化方案问题

1、由于活动需要，78名师生需住宿一晚，，他们住了一些普通双人间和普通三人间，结果每间客房正好住满，且在宾馆给他们打五折优惠的基础上一天一共付住宿费2130元。请你算一算，他们需要双人普通间和三人普通间各多少间？

2．行程中的追及相遇问题

2、甲、乙两人从A 、B 两地同时出发，甲骑自行车，乙骑摩托车，沿同一条路线相向匀速行驶.

出发后经3小时两人相遇. 已知在相遇时乙比甲多行了90千米，相遇后经1小时乙到达A 地. 问甲、乙行驶的速度分别是多少？

举一反三：

[变式] 甲、乙两地相距240千米，汽车从甲地开往乙地，速度为36千米/时，摩托车从乙地开往甲地，速度是汽车的

2

3

小时后遇到摩托车？

。摩托车从乙地出发2小时30分钟后，汽车才开始从甲地开往乙地，问汽车开出几

3．日历中的方程

3、（1）在2006年8月的日历中(如图(1))，任意圈出一竖列上相邻的三个数，设中间的一个数为a ，则用含a 的代数式表示这三个数(从小到大排列) 分别是＿＿＿。

数。

(2)现将连续自然数1至2006按图中(如图(2))的方式排成一个长方形阵列，用一个长方形框出16个

①图中框出的这16个数的和是____________。

②在图(2)中，要使一个长方形框出的16个数之和分别等于2000、2006，是否可能？若不可能，试说明理由；若有可能，请求出该长方形框出的16个数中的最小数和最大数。

总结升华：

(1)日历中的数量关系

①在日历中，每一横排相邻两个数字之间差1。 ②在日历中，每一竖排相邻两个数字之间差7。

③在日历中，左上到右下方向相邻两个数字之间差8。 ④在日历中，右上到左下方向相邻两个数字之间差6。 (2)用一个正方形任意圈出9个数的规律

①中间一个数字是所有九个数字的平均值。

②每一横排、每一竖排、每一斜排，中间一个数字都是它们的平均值。

[变式1]每人准备一份日历，在各自的日历上任意圈一个竖列上的相邻的四个数，两个分别把自己所圈4个数的和告诉同伴，由同伴求出这个数。 (1)4个数的和等于42。(2)4个数的和等于60。

4．教育储蓄

4、小张在银行存了一笔钱，月利率为2%，利息税为20%，5个月后，他一共取出了本息和为1080

元，问它存入的本金是多少元？

三、规律方法指导

解一元一次方程的注意事项：

1、分母是小数时，根据分数的基本性质，把分母转化为整数；

2、去分母时，方程两边各项都乘各分母的最小公倍数，此时不含分母的项切勿漏乘，分数线相当于除

号，去分母后分子各项应加括号；

3、去括号时，不要漏乘括号内的项，不要弄错符号；

4、移项时，切记要变号，不要丢项，有时先合并再移项，以免丢项；

5、系数化为1时，方程两边同乘以系数的倒数或同除以系数，不要弄错符号； 6、不要生搬硬套解方程的步骤，具体问题具体分析，找到最佳解法。

列方程解应用题的注意事项：

列一元一次方程解决实际问题的一般步骤也可以概括为：①设未知数。②根据等量关系列方程。③解方程。④检验解的合理性，如果合理就用以解决实际问题，不合理则需要重新回到开始。⑤作答。

列方程解应用题是将实际问题数学化的过程，这个过程的关键是建立等量关系，通过列方程解决实际问题要把握三个重要环节：一是整体的、系统的审清题意；二是找问题中的等量关系；三是正确求解方程并判断解的合理性，其中，审题是基础，找等量关系是关键，为了找准等量关系，可以借助线段、表格、图形等方法进行分析。

四、巩固练习

一、选择题：

1、已知x=2时，2x 2+mx+4=6 ；那么当x=-2时，2x 2+mx+4的值是（ ）. (A) –18 (B)-10 (C)18 (D)6

2、把方程中的分母化为整数，正确的是（ ）

(A) (B)

(C) (D)

3、甲、乙两人同时从张庄出发，步行前往李庄。由于乙中途停留了半小时，因而比甲晚15分钟，则以

下相等关系正确的是（ ）.

(A)甲行走时间+0.5=乙行走时间+0.25 (B)甲行走时间－0.5=乙行走时间+0.25 (C)甲行走时间+0.25=乙行走时间+0.5 (D)甲行走时间－0.25=乙行走时间－0.5

二、填空题：

1、由方程 2

、

三、解答题： 1、设

变形为的依据是__________，把方程两边都_____________。

是一元一次方程，则m=____________。

若，求x 的值。

2、若

的解，求代数式的值

3、解方程：

4、一份试卷共有25个选择题，每题均给出四个答案，其中只有一个正确的，要求学生将正确的答案选出来，每题选对得4分，不选或选错扣1分，一学生得了75分，他选对几题？该学生的得分可能是74分吗？

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一、判断正误：

1. 含有未知数的代数式是方程（ ）

2. －1是方程x 2－5x －6＝0的一个根，也可以说是这个方程的解（ ）

3. 方程 | x |＝5的解一定是方程 x －5＝0的解（ ）

4. 任何一个有理数都是方程 3x －7＝5x －（2x ＋7 ） 的解（ ）

5. 无论m 和n 是怎样的有理数，方程 m x＋n ＝0 都是一元一次方程（ ）

二、填空题：

1. 方程x ＋2＝3的解也是方程ax －3＝5的解时，a ＝___________；

2. 某地区人口数为m ，原统计患碘缺乏症的人占15%，最近发现又有a 人患此症，那么现在这个地区患此

症的百分比是_________；

3. 方程｜x －1|＝1的解是_____________；

4. 若3x －2 和 4－5x 互为相反数，则x ＝_____________；

5.|2x －3y |＋（y －2）＝0 成立时，x ＋y ＝_____________.

三、解下列方程：

1．

3．2（0.3x ＋4）＝5＋5（0.2x －7）；

4.

5. x －

四、列方程解应用题：

1、课外数学小组的女同学原来占全组人数的

课外数学小组原来有多少个同学．

2、A 、B 两地相距49千米，某人步行从A 地出发，分三段以不同的速度走完全程，共用10小时．已知第一段，第二段，第三段的速度分别是6千米/时，4千米/时，5千米/时，第三段路程为15千米，求第一段和第二段的路程．

132 22 －； 2. 3－； ； ； ，后来又有4个女同学加入，就占全组人数的12，问

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