第五章力法51 超静定结构概述

第五章 力 法

§5—1 超静定结构概述

超静定结构是工程实际中常用的一类结构，前已述及，超静定结构的反力和内力只凭静力平衡条件是无法确定的，或者是不能全部确定的。例如图5—1a所示的连续梁，它的水平反虽可由静力平衡条件求出，但其竖向反力只凭静力平衡条件就无法确定，因此也就不能进一步求出其全部内力。又如图5—1b所示的加劲梁，虽然它的反力可由静力平衡条件求得，

但却不能确定杆件的内力。因此，这两个结构都是超静定结构。

分析以上两个结构的几何组成，可知它们都具有多余约束。多余约束上所发生的内力称为多余未知力。如图5—1a所示的连续梁中，可认为B 支座链杆是多余约束，其多余未知力为F By (图5—1c)。又如图5—1b所示的加劲梁，可认为其中的BD 杆是多余约束，其多余未知力为该杆的轴力F N (图5—d)。超静定结构在去掉多余约束后，就变成为静定结构。

常见的超静定结构类型有：超静定梁（图5—2），超静定刚架（图5—3），超静定桁架（图5—4），超静定拱（图5—5），超静定组合结构（图5—6）和铰接排架（图5—7）等。

超静定结构最基本的计算方法有两种，即力法和位移法，此外还有各种派生出来的方法，如力矩分配法就是由位移法派生出来的一种方法。这些计算方法将在本章和以下两章中分别

介绍。

§5—2 力法的基本概念

在掌握静定结构内力和位移计算的基础上，下面来寻求分析超静定结构的方法。

先举一个简单的例子加以阐明。设有图5—8a所示一端固定另一端铰支的梁，它是具有一个多余约束的超静定结构。如果以右支座链杆作为多余约束，则去掉该约束后，得到一个静定结构，该静定结构称为力法的基本结构。在基本结构上，若以多余未知力X 1代替所去约束的作用，并将原有荷载q 作用上去，则得到如图5—8b所示的同时受荷载q 和多余未知力X 1作用的体系。该体系称为力法的基本体系。在基本体系上的原有荷载是已知的，而多余力X 1是未知的。因此，只要能设法先求出多余未知力X 1，则原结构的计算问题即可在静定的基本体系上来解决。显然，如果单从平衡条件来考虑，则X 1可取任何数值，这时基本体系都可以维持平衡，但相应的反力、内力和位移就会有不同之值，因而B 点就可能发生大小和方向各不相同的竖向位移。为了确定X 1，还必须考虑位移条件。注意到原结构的支座B 处，由于受竖向支座链杆约束，所以B 点的坚向位移应为零。因此，只有当X 1的数值恰与原结构右支座链杆上实际发生的反力相等时，才能使基本体系在原有荷载和X 1共同作用下B 点的竖向位移(即沿X 1方向的位移)Δ1等于零。所以，用来确定X 1的位移条件是：在原有荷载和多余未知力共同作用下，在基本体系上去掉多余约束处的位移应与原结构中相应的位移相等。由上述可见，为了唯一确定超静定结构的反力和内力，必须同时考虑静力平衡条件和位移条件。

若命Δ11及Δ1P 分别表示基本结构在多余未知力X 1及荷载q 单独作用时B 点沿方向的位移(图5—8c、d)，其符号都以沿方向者为正。根据叠加原理及Δ1=0，有

Δ11＋Δ1P ＝0

再令δ11表示X 1为单位力X 1＝1时，点沿X 1方向所产生的位移，则Δ11＝δ11X 1，于是上式可写成

δ11X 1＋Δ1P ＝0

由于δ11和Δ1P 都是静定结构在已知外力作用下的位移，均可按第四章所述计算位移的方法求得，于是多余未知力即可由式（5—1）确定。这里采用图乘法计算δ11及Δ1P 。先分别绘出X 1＝1和荷载q 单独作用在基本结构上的弯矩图M 1(图5—8e)和M P (图5—8f),

然后求得

1l 22l l 3

δ11=××= EI 233EI

Δ1P 11ql 23ql 4=−(⋅l ××l =− EI 3248EI

所以由式（5—1）有 Δ1P ql 43EI 3=×3=ql X 1=−Δ118EI l 8

多余未知力X 1求得后，就与计算悬臂梁一样，完全可用静力平衡条件来确定其反力和内力。

例如A 端的弯矩为 M AB =X 1l −ql ×l 32121=ql −ql =−ql 2 2828

最后弯矩图和剪力图如图5—8g、h所示。

以上所述计算超静定结构的方法称为力法。它的基本特点就是以多余未知力作为基本量，并根据基本体系上相应的位移条件将多余未知力首先求出，以后计算即与静定结构无异。力法可用来分析各种类型的超静定结构。

§5—3 超静定次数的确定

由上节所述基本概念不难理解，在一般情况下用力法计算超静定结构时，首先应确定多余约束的数目，亦即多余未知力的数目。这个数目表示：除静力平衡方程之外，尚需补充多少个反映位移条件的方程以求解多余未知力，从而才能确定所给结构的内力。通常将多余约

束或多余未知力的数目称为结构的超静定次数。

确定结构超静定次数的方法是，去掉结构的多余约束，使原结构变成一个静定的结构，则所去掉约束的数目即为结构的越静定次数。下面结合具体例子加以说明。

图5—9a所示结构，如果将链杆CD 切断(图5—9b)，原结构就成为一个静定结构，因为一根链杆相当于一个约束，所以这个结构具有一个多余约束，是—次超静定结构。

去掉多余约束使超静定结构成为静定结构，可以有多种不同的方式。例如图5—10a所示单跨梁，可以把B 支座链杆去掉而使结构成为静定的悬臂梁(图5—10b)，所以它是具有一个多余约束的超静定结构。如果在原结构的固定支座A 处，将阻止转动的约束去掉，使之成为固定铰支座，则成为图5—10c所示的简支梁。因固定支座相当于三个约束，改成固定铰支座就相当于去掉一个约束，这时与所去约束相对应的多余未知力则是固定端截面的弯矩。对于同一个超静定结构，由于去掉多余约束的方式不同，因而所得基本结构也不同，但是所去多余约束的数目，应该是—样的。例如图5—10a所示结构，虽然可取成不同的基本结构，但都只有一个多余约束，是一次超静定结构。

图5—11a所示刚架，可将A 、B 两固定支座改成固定铰支座，则得图5—11b所示的静定结构，所以是两次超静定的。也可去掉中间铰C ，而得图5—11c所示静定结构。所以去掉—个联结两刚片的铰，相当于去掉两个约束，即阻止铰接处两侧截面发生相对水平位移和相对竖向位移的约束。

图5—12a所示刚架，若将B 端固定支座撤去，则得图5—12b所示悬臂刚架，所以是三次超静定的。如果将原结构从横梁中间切断，则得图5—12c所示两个悬臂刚架，所以将—梁式杆切断，就相当于去掉三个约束，即阻止切口两侧截面发生相对水平位移和相对竖向位移以及相对转角的约束。我们还可将原结构横梁的中点及两支座处改成铰接，得图5一12d 所示三铰刚架。所以凡将受弯杆件某处改成铰接，就相当于去掉一个约束，即阻止该处

两侧截面发生相对转角的约束。

根据上述例子可知，在结构上去掉多余约束的方法，通常有如下几种：

1 切断一根链杆，或者撤去一个支座链杆，相当于去掉一个约束。

2将—固定支座改成固定铰支座，或者将受弯杆件某处改成铰接，相当于去掉一个约束。

3．去掉一个联结两刚片的铰，或者撤去一个固定铰支座，相当于去掉两个约束。 4

将—梁式杆切断，或者撤去一个固定支座，相当于去掉三个约束。

应用上述去掉约束的基本方式，可以确定任何结构的超静定次数。例如图5—13a所示结构，将它从中间切开，就成为图5—13b所示的静定结构，由于切断了原结构的两根梁式

杆，所以相当于去掉六个约束，故结构是六次超静定的。值得指出，在图5—13a所示的刚架中，由CD 、DF 、FE 、EC 四根杆件刚性联结起来的封闭框格CDFE ，必须将它从某一截面处切开，才能确定这一部分结构的内力。绝不能认为将图5—13a所示结构撤去一个固定支座以后就成为静定的了，因为这样去掉的约束只有三个，而这时CDFE 部分的内力仍无法由静力平衡条件确定。

由于去掉多余约束的方案不同，同一结构的基本结构就会有不同的形式，但应注意，得到的基本结构必须是几何不变的。为了保证基本结构的几何不变性，有时某些约束是绝对不能去掉的。例如图5—14所示的连续梁，其水平支座链杆就绝对不能去掉，否则将成为几何可变体系。又如图5—15所示两铰拱，其任—竖向支座链杆也绝对不能去掉，否则将成为瞬

变体系。

§5—4力法的典型方程

如前所述，用力法计算超静定结构是以多余未知力作为基本未知量，并根据相应的位移条件来求解多余来知力；待多余未知力求出后，即可按静力平衡条件求其反力和内力。因此，用力法解算一般超静定结构的关键即在于根据位移条件建立力法方程以求解多余未知力。下面拟通过—个三次超静定的刚架来说明如何建立力法方程。

图5—16a所示刚架为三次超静定结构，分析时必须去掉它的三个多余约束。设去掉固定支座B ，并以相应的多余未知力X 1、X 2和X 3代替所去约束的作用，得到图5一16b 所示的基本体系。在原结构中，由于B 端为固定端，所以没有水平位移、竖向位移和角位移。因此，承受荷载F P 1、F P 2和三个多余未知力X 1、X 2、X 3作用的基本体系上，也必须保证同样的位移条件，即B 点沿X 1方向的位移(水平位移)Δ1和沿X 2方向的位移(竖向位移)Δ2和沿X 3方向的位移(的位移)Δ3都应等于零，即

Δ1=0， Δ2=0， Δ3=0

基本结构上B 点沿X 1、X 2和X 3方令δ11、δ21和δ31分别表示当X 1＝1单独作用时，

内的位移(图5—16c)；δ12、δ22和δ32分别表示当X 2＝l单独作用时，基本结构上B 点沿X 1、X 2和X 3方向的位移(图5—16d)；δ13、δ23和δ33分别表示当X 3＝l单独作用时，基本结构上B 点沿X 1、X 2和X 3方向的位移(图5—]6e)；Δ1P 、Δ2P 和Δ3P 分别表示当荷载(F P 1、F P 2)单独作用时，基本结构上B 点沿X 1、X 2和X 3

方向的位移(图5—16f)。根据叠加原理，则位移条件可写成：

Δ1=0，δ11X 1+δ12X 2+δ13X 3+Δ1P =0Δ2=0，δ21X 1+δ22X 2+δ23X 3+Δ2P =0Δ3=0，δ31X 1+δ32X 2+δ33X 3+Δ3P =0这就是根据位移条件建立的求解多余来知力X 1、X 2和X 3的方程组。这组方程的物理意义为：在基本体系中，由于全部多余未知力和已知荷载的作用，在去掉多余约束处(现即为B 点)的位移应与原结构中相应的位移相等。在上列方程中，主斜线(从左上方的δ11至右下方的的δ33)上的系数δii 称为主是系数，其余的系数δik 称为副系数ΔiP (如Δ1P 、Δ2P 和Δ3P )则称为自由项。所有系数和自由项，都是基本结构中在去掉多余约束处沿某一多余未知力方向的位移，并规定与所设多余未知力方向一致的为正。所以，主系数总是正的，且不会等于零，而副系数则可能为正、为负或为零。根据位移互等定理可以得知，副系数有互等关系，即

δik =δki

方程(5—2)通常称为力法的典型方程。其中各系数和自由项都是基本结构的位移，因而可根据第四章求位移的方法求得。

系数和自由项求得后，即可解算典型方程以求得各多余未知力，然后再按照分析静定结构的方法求原结构的内力。

对于n 次的超静定结构来说，共有n 个多余未知力，而每一个多余未知力对应着一个多余约束，也就对应着一个已知的位移条件，故可按n 个已知的位移条件建立n 个方程：当已知多余未知力作用处的位移为零时，则力法典型方程可写为

δ11X 1+δ12X 2+⋅⋅⋅+δ1i X i +⋅⋅⋅+δ1n X n +Δ1P =0δ21X 1+δ22X 2+⋅⋅⋅+δ2i X i +⋅⋅⋅+δ2n X n +Δ2P =0

…………………………………………………………

δi 1X 1+δi 2X 2+⋅⋅⋅+δii X i +⋅⋅⋅+δin X n +ΔiP =0

…………………………………………………………

δn 1X 1+δn 2X 2+⋅⋅⋅+δni X i +⋅⋅⋅+δnn X n +ΔnP =0

§5—5用力法计算超静定刚架

图5—17a为—超静定刚架，如果在A 支座处将固定支座改为固定铰支座；将B 支座处的竖向支座链杆去掉，并以相应的多余未知力X 1、X 2代替其作用，则得到图5—17b所示的基本体系。该结构是两次超静定的。根据原结构中CA 杆的A 端不能转动以及原结构B 点不可能发生竖向位移，得出应满足的位移条件，即在基本体系中A 点沿X 1方向，B 点沿X 2方向的位移应等于零，于是可写出力法典型方程如下：

δ11X 1+δ12X 2+Δ1P =0

δ21X 1+δ22X 2+Δ2P =0

其中各系数和自由项的物理意义示于图5—17c、d、e中。

为了用图乘法求得各系数和自由顶，作出单位弯矩图M 1、M 2和荷载弯矩图M P 如图5-18a、b、c所示。由图乘法算得

δ11=1⎛12⎞1•l ×1××=1 ⎜⎟EI 1⎝23⎠3EI 1

δ221⎛122⎞1⎛122⎞l 3 =⎜•l וl ⎟=⎜•l וl ⎟+EI 1⎝23⎠2EI 1⎝23⎠2EI 1

1⎛121⎞l 2

=−⎜•l ×⎟=−EI 1⎝23⎠6EI 1 δ12=δ21

Δ1P 1⎛11F P l ⎞F P l 2= ⎜•l ×1××⎟=EI 1⎝232⎠12EI 1

F P l 2⎞7F P l 31⎛11⎛1l F P l 5⎞=−וl ⎟−וl ⎟=− ⎜•l ×⎜××EI 1⎝223⎠2EI 1⎝2226⎠32EI 1 Δ2P

代入典型方程并整理得 F l 1l X 1−X 2+P =0 3612

7F l 1l X 1+X 2−P =0 6232 −

联立解得

X 1=−173F P l X 2=

F P 4080

多余未知力求得后，最后弯矩图可按叠加原理由下式计算：

M =X 1M 1+X 2M 2+M P

例如，AC杆C 端的弯矩为(设使 C端外侧受拉的弯矩为正)

F l 6⎛17⎞⎞⎛3M CA =⎜−F P l ⎟×0+⎜F P ⎟(−l )+P =F P l 8040280⎠⎝⎠⎝

根据基本结构上荷载和各多余未知力作用的情况，应将刚架的弯矩图分为三段，分别计算出各段控制截面的弯矩值后，即可作出最后弯矩图如图5—18d所示。

至于剪力图和轴力图，在多余未知力求得后，便不难按绘制静定结构内力图的方法作出。剪力图和轴力图示于图5—L8e、f中。

由这个例子可以看出，在荷载作用下，如果结构中各根杆件的弹性模量E 相同(即为同一种材料)，则结构的内力只与各杆件惯性矩的比值有关。当各杆所用材料不同时，弹性模量E 就不能从计算式中消去，此时结构的内力就与各杆的抗弯刚度EI 的比值有关。这是超静定结构的一个重要特性。由于这一特性、在计算荷载作用下结构的内力时，为了简便起见，各杆件的刚度可采用其比值。

根据以上所述，可将力法计算超静定结构的步骤归纳如下：

1．确定基本未知量数目。

2．去掉结构的多余约束得出一个静定的基本结构，并以多余未知力代替相应多余约束的作用。

3．根据基本体系在多余未知力和原有荷载共同作用下，多余未知力作用点沿多余未知力方向的位移应与原结构中相应多余约束处的位移相同的条件，建立力法典型方程。为此，需要：

(1)作出基本结构的单位内力图和荷载内力图(或列出内力的表达式)。

(2)按照求位移的方法计算系数和自由项。

4．解典型方程，求出各多余未知力。

5．多余未知力确定后，即可按分析静定结构的方法绘出原结构的内力图。这种内力图也称最后内力图 。

6．校核。

对最后内力图进行校核可分两步。第一步是静力平衡校核，就是取结点或结构中某一部分为隔离休，检查它们是否平衡。但这种校核不能发现建立和解算典型方程时的问题。因为

正确的单位弯矩图(M i 图)和荷载弯矩图(M P 图)是满足平衡条件的，将M i 图与多余未知力相乘，然后与M P

图叠加，不论多余未知力正确与否，其结果仍然会满足平衡条件。

第二步是位移条件的校核。为此，首先讨论超静定结构的位移计算问题。如已知图5—l7a 所示超静定结构的位移与图5—17b所示基本体系的位移相等。为了简便计算，超静定结构的位移计算常在其基本体系上进行。例如欲计算原结构(图5—17a)CB梁中点的竖向位移，便可转换为求图5—17b所示基本体系CB 梁中点的位移。根据第四章讨论的计算位移的

单位荷载法，将虚拟力作用于基本结构上即得计算位移的虚拟状态(图5—19)。由于基本结构是静定的，所以虚拟状态中的弯矩图根据平衡条件即可绘出。图5—17b所示基本体系的弯矩图也就是原结构的弯矩图，已示于图5—18d中。将图5—19和图5—18d所示两弯矩图进行图乘，便得所求位移：故有

ΔDV =11l 26117×××(×F P l −×F P l ) + 3802EI 122380

11l 2613××⋅l ×(×F P l −×F P l ) EI 122380380

F P

l 331F P l 3

＝0. 00807(↓) ＝EI 13840EI 1

上述超静定结构的位移计算方法的优点在于虚拟状态是静定的，所以比较简便。在超静定结构中，当通过力法计算，其最后内力图已经绘出来了以后，可用这种方法来计算超静定结构的任一位移。例如图5—17a所示刚架支座A 的角位移也可以用这种方法计算。但是支座A 是固定支座，其角位移应等于零。这时，我们可以利用这一已知的位移条件，校核所求得的最后内力图。图5—17a所示刚架中支座A 的角位移等于图5—17b所示基本体系中截面A 的角位移。计算图5—17b所示基本体系中截面A 的角位移时，将虚拟力M ＝1作用于基本结构的截面A ，便得到计算该位移的虚拟状态。图5—18a即为所求的虚拟状态。

如果图5—18d根据图5—18a与图5—18d所示的弯矩图用图乘法计算A 截面的角位移ϕA ，

所示的最后弯矩图是正确的，则ϕA ＝0。现在计算如下：

ϕA =111623××1⋅l ⋅(×F P l −×F P l ) =0 EI 12380380

由此可知该位移条件得到满足。基本体系中ϕA ＝0，就是用力法计算图5—17a所示刚架时，建立典型方程的第—个体移条件。除此以外，还用到了基本体系中B 点的竖向位移等于零的条件。若第二个位移条件也能满足，则可证明最后弯矩图(图5—18d)无误。

§5—6对称性的利用

在工程中常有这样一类结构，它们不仅杆件轴线所构成的几何图形是对称的，而且杆件的刚度及支撑情况也是对称的，这类结构称对称结构。例如图5—20a、b 所示的刚架就是两个对称结构。平分对称结构的中线称为对称轴。现根据对称结构的特点来研究它们的简化计

算方法。

作用在对称结构上的荷载，有两种持殊的情况。例如图5—21所示对称刚架，若将各部分绕对称轴转180°，则与右部分结构重合。如果左右两部分上所受荷载的作用线重合，且其大小和方向都相同(图5—21a、b)，则这种荷载称为正对称的；如果左右两部分上所受的荷载的作用线互相重合且其大小相同，但方向恰好相反(图5—21c、d)，则这种荷载称为反对称的。

下面讨论图5—22a所示对称结构受正对称荷载作用时的受力和变形特点．并由此得出其简化和计算方法。

现将刚架从CD 的中点截面K 处切开，并代以相应的多余未知力X 1、X 2、X 3得图5

—22b所示的基本体系。因为原结构中CD 杆是连续的，所以在K 处左右两边的截面，没有相对转动，也没有上下和左右的相对移动。据此位移条件，可写出力法典型方程如下：

δ11X 1+δ12X 2+δ13X 3+Δ1P =0

δ21X 1+δ22X 2+δ23X 3+Δ2P =0

δ

31X 1+δ32X 2+δ33X 3+Δ3P =0

以上方程组的第一式表示基本体系中切口两边截面沿水平方向的相对位移应为零；第二

式表示切口两边截面沿竖直方向的相对位移应为零；第三式表示切口两边截面的相对转角应为零。典型方程的系数和自由项都代表基本结构中切口两边截面的相对位移，例如在X 1＝1单独作用下，基本结构的变形如图5—23所示，为切口两边截面的相对水平位移，为切口

两边截面的相对转角，(切口两边截面的相对竖向位移)为零，图中没有画出。

为了计算系数和自由项，我们分别绘出单位弯矩图和荷载弯矩图如图5—24所示。因为X 1和X 3是正对称的力，所以M 1和M 3图都是正对称图形。而X 2是反对称的力，所以M 2是反对称图形。又因杆件的刚度是对称的，所以按这些图形来计算系数时，其结果必然是

δ12=δ21=0

δ23=δ32=0

又由于M P 图是正对称图形，所以Δ2P =0。这样，典型方程为

δ11X 1+δ13X 3+Δ1P =0

δ31X 1+δ33X 3+Δ3P =0

δ22X 2=0

由方程组的第三式可得X 2＝0。由第一、二两式则可解出X 1和X 3。

根据上述分析可知，对称的超静定结构，如果从结构的对称轴处去掉多余约束来选取对称的基本结构，则可使某些副系数为零，从而使力法的计算得到简化。如果荷载是正对称的，则在对称的基本体系上，反对称的多余未知力为零。这时，作用在对称的基本结构上的荷载和多余未知力都是正对称的，故结构的受力和变形状态都是正对称的，不会产生反对称的内力和位移。如果荷载是反对称的，则基本结构上的M P 图也是反对称的，将它与对称的M 1、M 3图(图5—24b、d)进行图乘时，求得的自由项Δ1P 、Δ3P 必等于零。由此可知，正对称的多余未知力X 1、X 3

将等于零。于是，结构中的内力将成反对称分布，变形状态也必然是反对称的。据此，可得如下结论：对称结构在正对称荷载作用下，其内力和位移都是正对称的；在反对称荷载作用下，其内力和位移都是反对称的。

利用上述结论，可使对称结构的计算得到很大的简化。如在分析对称刚架时，可取半个刚架来进行计算。下面就图5—25a、c所示奇数跨和偶数跨两种对称刚架加以说明。图5—25a 所示对称刚架，在正对称荷载作用下，其变形和内力只能是正对称分布的，位于对称轴上的截面C ，不能发生转动和水平移动，只能发生竖向移动；该截面上的内力只可能存在

弯矩和轴力，不存在剪力。这种情况如同截面C 受到了一种约束，可以用一个定向支座形象地表示这种约束，并把右半部分刚架弃去，则得到图5—25b所示的半刚架。定向支座约束了截面C 的转动和水平移动，而允许产生竖向移动；定向支座能产生反力矩和水平反力,

与原来的情况完全相同。因此，这时图5—25b但无竖以反力，所以它使截面C 受到的约束，

所示刚架的受力和变形情况与图5—25a 中左半刚架的情况完全相同。

图5—25c所示对称刚架，在正对称荷载作用下，只可能发生正对称的内力和变形，因此柱CD 只有轴力和轴向变形，而不可能有弯曲和剪切变形。由于在刚架分析中，一般不考虑杆件轴向变形的影响，所以对称轴上的C 点，不可能发生任何位移。分析时截面C 处约束如同固定支座，故可得到图5—25d所示半刚架。而柱CD 的轴力即等于图5—25d中支座C 竖向反力的两倍。

图5—26a所示对称刚架在反对称荷载作用下，位于对称轴的C 截面上，由前述已知只有剪力，不存在弯矩和轴力。同时，由于这时刚架的变形是反对称的，所以C 截面可以左右移动和转动，但不会产生竖向位移。因此，截取半刚架时可在该处用一根竖向链杆的装置代替原有的约束作用(图5—26b)。

图5—26c所示为偶数跨对称刚架，在反对称荷载作用下，内力和变形都是反对称的，为了取出半刚架，设想将处于对称轴上的竖柱用两根惯性矩为的竖柱代替(图5 —26e)。将其沿对称轴切开，由于荷载是反对称的，故截面上只有剪力F QC (图5—26f)。剪力F QC 仅仅分别在左右柱中产生拉力和压力。又因求原柱的内力时，应将两柱中的内力叠加，故剪力

F QC 对原结构的内力和变形无影响。于是，可将其略去而取出如图5—26d中所示的半刚架。

计算出半刚架的内力后，另—半刚架的内力利用对称性即不难确定。若对称刚架上作用着任意荷载(图5—27a)，则可先将其分解为正对称和反对称两组(图5—27b、c)，然后利用

上述方法分别取半刚架计算。最后将两个计算结果叠加，即得原结构的内力。

[例5—1] 图5—28a所示结构，EI ＝常数，试作M 图。

解：以过圆心的水平和竖向直线作为该结构的两根对称轴，利用对称性可取结构的四分之一来计算，如图5—28b所示。这是一次超静定结构，图5—28c所示为基本体系，力法典型方程为

δ11X 1+Δ1P =0

对于曲杆结构，在通常情况下，曲率的影响可忽略不计。在位移计算中，也常容许只考虑弯曲变形一项的影响。由图5—28d、e可知

qr 2sin 2θM 1=1， M P =− 2

则由公式Δ=M 1M P ds ： ∫EI 算得（ds =rd θ）

π

δ11=

π∫2012πr rd θ=EI 2EI 3πq r ∫02sin θd θ=−8EI 2 Δ1P =

所以 ∫201qr 2sin 2θqr 3×1×(−) rd θ=−EI 22EI π

X 1=−Δ1P

δ11q πr 32EI qr 2=×= 8EI πr 4

qr 2qr 2sin 2θ按M =X 1，M 1+M P =−可作出结构的弯矩图，如图5—29所示。 42

§5—7 用力法计算铰接排架

装配式单层工业厂房的主要承重结构是由屋架(或屋面大梁)、柱子和基础所组成的横向排架(图5—30a)。计算横向排架就是对柱子进行内力分析。在一般情况下，可认为联系两个柱顶的屋架(或屋面大梁)两端之间的距离不变，而将它看作是一根抗拉(抗压)刚度无限大(即EA →∞)的链杆，通常称为排架的横梁，因此，图5—30a所示横向排架的计算简图如图5—30b，所示，称之为铰接排架。通常的砖木结构厂房、食堂等也可简化为铰接排架进行计算。

铰接排架是超静定结构，可用力法进行计算。现通过下例加以说明。

图5—31a所示两跨不等向排架(E =常数)，承受图示荷载的作用。注意到横梁为二力杆，将一根横梁截断相当于去掉一个约束，截断两根横梁后得到图5—31b所示的基本体系。根据基本结构在原有荷载和多余未知力共向作用下，横梁切口处两侧截面相对水平位移应等于零的条件，可写出力法典型力程为

Δ1=0 ， δ11X 1+δ12X 2+Δ1P =0

Δ2=0 ， δ21X 1+δ22X 2+Δ2P =0 为了求得各系数和自由项，需分别作出单位弯矩图M 1、M 2和荷载弯矩图M P (图5—31c、d、e)。注意到横梁的EA →∞，故在计算系数δ11、δ22时不要考虑横梁轴向变形的影响。应用图乘法求得各系数和自由项如下：

将各系数和自由项代入典型方程，可得

161. 556X 1−71. 111X 2+711. 876×10=0

−71. 111X 1+280. 889−383. 333×10=0

解得

X 1=−4. 283kN （压力）， X 2=0. 280kN （拉力） 33

按式M =X 1M 1+X 2M 2+M P 即可得出原结构的弯矩图，如图5—31f所示。

§5—8 等截面单跨超静定梁的杆端内力

在以后位移法和力矩分配法等的计算过程中，需要用到单跨超静定梁在荷载作用下以及杆端发生位移时的杆端内力。这些内力简称为杆端力，可用力法求得。

为了表达明确和计算方便，在位移法和力矩分配法中，对于杆端弯矩恒在字母的M 右下角用两个下标标明该弯矩所属的杆件，其中前一个下标表示该弯矩所属的杆端。例如图5—32所示的AB 梁，其A 端的弯矩以M AB 表示，而B 端的弯矩则以M BA 表示。它们的正向则采用如下的规定：对杆端而言，弯矩以顺时针方向为正；对结点或支座而言，则以逆时针方向为正。现仍以图5—32所示的梁来看：在图示荷载作用下，杆端弯矩的实际方向如图所示，其A 端弯矩M AB 对杆端为逆时针方向，对支座则为顺时针方向，与正向规定恰好相反，故为负值，而B 端弯矩M BA 的实际方向则与正向规定相符，故为正值，显然，这里所采用的弯矩正负符号的规定与材料力学中所用的不同，应加注意。至于杆端剪力除采用两个下标标明所属的杆件及其杆端外，其正负符号的规定则与以往完全相同。

对单跨超静定梁仅由于荷载作用所产生的杆端弯矩，通常称为固端弯矩，并以M AB 和F F F 表示，相应的杆瑞剪力称为固端剪力，以F QAB 和F QBA 表示。 M BA F

在以后的两章中，我们将遇到图5—33所示的三种类型的等截面单跨超静定梁。下面着

重对两端固定梁的杆端内力计算进行讨论。

图5—34a所示等截面单跨梁，如果去掉固定支座B ，就得到图5—34b所示的悬臂梁，所以了；两端固定的单跨梁是一个三次超静定结构。现以图5—34b所示的悬臂梁为基本体系，以多余未知力X 1、X 2和X 3代替所去约束的作用。由于对受弯直杆来说，轴向变形相对于弯曲变形是次要的，故通常不予考虑，即认为受弯直杆变形后两端之间的距离保持不变(称为受弯直杆假定)。因此，X 3可略去不计，而只就沿X 1和X 2方向的位移条件来建立求解多余未知力X 1和X 2的方程。

原结构中，B 点处不可能发生转角和竖向位移，按此位移条件可写出力法典型方程为 δ11X 1+δ12X 2+Δ1P =0

δ21X 1+δ22X 2+Δ2P =0 作出两个单位弯矩图M 1、M 2(图5一c、d)和荷载弯矩图M P (图5一34e)，应用图乘法，可算得

δ11=

δ22l 1×1⋅l ×1= EI EI 112l l 3=×⋅l ⋅l ×= EI 233EI

11l 2

=×⋅l ⋅l ×1= EI 22EI δ12=δ21

Δ1P F P a 21F P a 2=××1= EI 22EI

F P a 21F P a 2

=×(b +2a ) =(3b +2a ) EI 26EI Δ2P

将以上系数和自由项代入方程，并消去1，得 EI

F P a 2l 2

lX 1+=0 X 2+22

F P a 2l 2l 3

X 1+X 2+(3b +2a ) =0 236

解联立方程组，得 F P a 2b F P a 2(l +2b ) X 1=, X 2=− 23l l

因此，AB 梁B 端的弯矩和剪力为 M BA F P a 2b F P a 2(l +2b ) =, F QBA =− 23l l

由静力平衡条件可求得A 端的弯矩和剪力为

M AB F P ab 2F P b 2(l +2a ) =, F QBA =− l 2l 3

最后弯矩图和剪力图如图5—34f、g

所示。

根据上面的结果，我们从受力和变形两个方面，将单跨超静定梁(图5—35a)与相应的简支梁(图5—35b)作一个简单的比较。从受力方面看，在简支梁中，各截面都承受正弯矩(在

这里，为了比较清晰，仍以使梁下缘纤维受拉的弯矩为正)，使梁下缘纤维受拉。在超静定梁中，由于多余约束的存在，内力发生了变化，在弯矩图中出现了弯矩为零的C 、D 两点，CD 范围内梁承受正弯矩，使梁的下缘纤维受拉。整根梁的内力分布较相应的简支梁均匀，且弯矩的绝对值也较相应的简支梁为小。从变形方面看，参考两个弯矩图，可画出两根梁变形后的曲线大致如图中虚线所示。在简支梁中，因在整根梁的范围内都是下缘受拉，故变形曲线向下凸；而在超静定梁中，两弯矩零点之间即CD 范围内，因是下缘受拉，故变形曲线向下凸，CD 范围外，则是向上凸。梁轴线上与弯矩零点相对应的点称为反弯点，变形曲线中与该点相对应的点称为拐点。

图5—36a所示为一等截面两端固定梁，固定端A 顺时针转动一角度ϕA 。现计算其支座反力并作弯矩图和剪力图。

同前面一样，取图5—36b所示的基本体系，可写出力法典型方程为

δ11X 1+δ12X 2+Δ1c =0

δ21X 1+δ22X 2+Δ2c =0

（图5—36c、d）。Δ1c 、Δ2c 为了求得各系数和自由项，作出两个单位弯矩图M 1图、M 2图

按式（4分别为基本结构支座A 转动ϕA 后，B 点沿X 1方向的转角和沿X 2方向的竖向位移。

—8）计算，得

Δ1c =−∑R c =−(−1×ϕ

∑R c =−(−l ×ϕA ) =ϕA ) =l ϕA Δ2c =−A

各系数与前同。将所有系数和自由项代入典型方程，可得 l l 2

X 1+X 2+ϕA =0 EI 2EI

l 2l 3

X 1+X 2+l ϕA =0 2EI 3EI

解得 X 1=即 2EI 6EI ϕA ， X 2=2ϕA l l

M BA =由静力平衡条件得 2EI 6EI ϕA ， F QBA =−2ϕA l l

6EI 4EI ϕ， =ϕA M A AB 2l l F QAB =−

最后弯矩图和剪力图如图5—36e、f所示。

图5—37a所示等截面两端固定梁，在垂直于梁轴方向两支座发生相对线位移ΔAB 。这在种情况可看作支座A 向上发生竖向位移ΔAB 或支座B 向下发生竖向位移ΔAB

。同样可用力法进行计算，并可作出其弯矩图和剪力图如图5—j7b、c所示。

对于一端固定另—端铰支的等截面梁，同样可用力法计算其杆端力。为广便于今后应用，现将两端固定梁，一端固定另—端铰支梁和—端固定另一端定向支承梁在常见的外因(荷载作用、支座转动和支座移动)影响下的杆端力数值列于表5—1中。

一端固定另一端定向支承的等截面梁，是在对称性的利用中由于取结构的—半来计算时所遇到的情况。计算这种梁时，可以利用§5—6的对称性原理，将其视为某两端固定梁的一半，从而转变为计算两端固定单跨梁的问题。例如图5—38a为等截面梁，A 端固定，B 端定向支承，A 端发生单位转角。闻5—38b为抗弯刚度EI 与前者相同，但跨度为前者两倍的两端固定梁，两端正对称地发生单位转角。由对称性原理可知，从图5—38b所示梁中取出一半，跨中截面处应设置定向支座，于是就得到图5—38a所示的梁。图5—38b所示两端固定梁的杆端弯距可由表5—1得出。

M AA ' =4×

其中 i AB =EI EI EI −2==i AB l 2l 2l EI l

是AB 杆的抗弯刚度与其跨度之比值，称为AB 杆的线抗弯刚度。

梁AA 的弯矩图如图5—38c所示，由此可得—端固定另一端定向支承的杆端弯矩为 '

M AB =i AB =EI EI , M BA =−i AB =−

l l

这种梁在其他因素影响下的杆端力，均可仿此求得，不再赘述。

当单跨超静定梁受到各种荷载以及支座移动和转动的共同作用时，其杆端力可根据叠加原理，由表5—1中相应各栏的杆端力值叠加而得。

对于图5—39a所示两端固定的等截面梁，其杆端弯矩和剪力为

M AB =4i ϕA +2i ϕB −6i ΔAB F +M AB l

ΔAB F +M BA l M BA =2i ϕA +4i ϕB −6i

F QAB =−6i i i ΔF ϕA −6ϕB +12⋅AB +F QAB l l l l

i i i ΔF ϕ

A −6ϕB +12⋅AB +F QBA l l l l F QBA =−6

对于图5—39b所示A 端固定B 端铰支的等截面梁，其杆端弯矩和剪力为 M AB =3i ϕA −3i ΔAB F +M AB l

M BA =0

F QAB =−3

F QBA =−3i i ΔF ϕA +3⋅AB ++F QAB l l l i i ΔF ϕA +3⋅AB ++F QBA l l l

式(5—3)、(5—4)、(5—5)、(5—6)常称为等截面直杆的转角位移方程。它表达了杆件两端内力与所受荷载以及两端的位移之间的关系。上述公式中关于杆件两端的相对线位移ΔAB 与杆长l 的比值，又可写成

βAB =ΔAB l

ϕB 的正负符号，都规定以顺时针方向转动为正，并称为杆件AB 的弦转角。关于公式中ϕA 、

而ΔAB 则以使整个杆件顺时针转动的为正，即弦转角以顺时针方向转动的为正。图5—39中ϕA 、ϕB 、ΔAB 或βAB 都为正向。

上述转角位移方程虽然是针对两端固定或一端固定另—端铰支的等截面梁导出的，但它们所表示的杆端力与杆端位移及荷载之间的关系对于刚架中任何—根等截面受弯直杆来说都足适用的。如图5—40a所示刚架，在图示荷载作用下其变形曲线如虚线所示，结点C 的转角为ϕC ，结点D 的转角为ϕD 。根据前述受弯直杆假定，C 、D 两点的水平位移均为Δ

而这两点的竖向位移均为零。考虑到各杆件的杆端位移应与相应的结点位移相同，则各杆件的变形状态及受力情况分别如图5—40b、c、d 所示.因此，AC 杆的杆端弯矩可按式(5—3)或查表5—1写出，即为

M AC =2i ϕC −6i

M CA ΔF +M AC l ΔF =4i ϕC −6i +M CA l

式中等号右边三项，是将AC 视为两端固定梁时，分别在ϕC 、Δ和均布荷载q 三种外因单独作用下的杆端弯矩。

对于杆件CD ，水平位移Δ只使它发生刚体平动，不引起内力，故CD 杆应视为两端固定梁在ϕC 和ϕD 两种外因作用下的情况，于是其杆端弯矩为

M CD =4i ϕC +2i ϕD

M DC =2i ϕC +4i ϕD

对于DB 杆，则应视为D 端固定，B 端铰支的梁受ϕD 和Δ两种外因作用，故有 M DB =3i ϕD −3i

M BD =0

各杆的杆端剪力可按相应公式或查表得出。还应掌握在杆端弯矩求出后，直接以各杆件为隔离体，由平衡条件求杆端剪力的方法。

由以上分析可知，若刚架的结点位移(如图5—40a所示刚架的ϕC 、ϕD 、Δ)能预先求得，则可计算出各杆的杆端弯矩，再利用平衡条件即可求得杆端剪力及任一截面中的内力。下一章的位移法就是以结点位移作为基本未知量来解算超静定结构的一种方法。

思 考 题

1. 图5—41b、c 都可作为用力法汁算图5—41a所示超静定结构的基本体系，试问分别用这两种基本体系计算时，其位移条件各是什么？并分别写出其力法典型方程。

2. 试为图5—42所示连续梁选取计算最为简便的力法基本结构。

3. 欲使力法解算超静定结构的工作得到简化，你应该从哪些方面去考虑。

4. 试选出图5—43所示超静定结构的半结构，井画出其内力图。

5. 试问图5—44所示连续梁的弯矩图轮廓是否正确?为什么？ Δ l

6. 超静定结构在支座位移作用下，其内力与各杆件的刚度有什么关系？

习 题

5—1 试确定图示结构的超静定次数。

5—2 试用力法计算下列结构，并绘出弯矩图。

5—3 试利用可能简便的方法计算图示对称结构的内力，并绘出弯矩图。

5—4 试用力法计算图示组合结构中各链杆的轴力，并绘出横梁的弯矩图。已知：横梁的EI =10kN ⋅m ，链杆的E 1A 1=15×10kN

(提示：AB 杆为受弯杆件，只需考虑弯曲变形的影响，其余各杆均为二力杆，只有轴向变形的影响。)

5—5 试用力法计算图示铰接排架，绘出其弯矩图，并计算C 点的水平位移。已知：424

I 2/I 1=5. 77 ，I 2=12. 3×10−3m 4，E =

25. 5GPa 。

5—6 试用力法计算图示桁架，各杆EA =常数。 5—7 试求题5—2图a 中C 点的竖向位移。 5—8 试求题5—2图d 中截面C 的转角ϕC 。