数学分析教案 (华东师大版)第七章 实数的完备性
第七章 实数的完备性
教学目的：
1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；
2. 明确基本定理是数学分析的理论基础，并能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点：本章的重点是实数完备性的基本定理的证明；难点是基本定理的应用。
教学时数：14学时
§ 1 关于实数集完备性的基本定理（4学时）
教学目的：
1. 使学生掌握六个基本定理，能准确地加以表述，并深刻理解其实质意义；
2. 明确基本定理是数学分析的理论基础。
教学重点难点：实数完备性的基本定理的证明。 一．确界存在定理：回顾确界概念．
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
二. 单调有界原理: 回顾单调和有界概念 . Th 2 单调有界数列必收敛 .
三. Cantor 闭区间套定理 : 1. 区间套: 设
ⅰ> 对
, 有
是一闭区间序列. 若满足条件
, 即
, 亦即后
一个闭区间包含在前一个闭区间中 ;
ⅱ>
. 即当
时区间长度趋于零.
则称该闭区间序列为一个递缩闭区间套, 简称为区间套 .
简而言之, 所谓区间套是指一个 “闭、缩、套” 区间列. 区间套还可表达为:
我们要提请大家注意的是, 这里涉及两个数列
递增,
递减.
和
, 其中
.
例如
和
和
都是区间套. 但
都不是.
、
2. Cantor 区间套定理: Th 3 设
.
简言之, 区间套必有唯一公共点.
四． Cauchy收敛准则 —— 数列收敛的充要条件 :
是一闭区间套. 则存在唯一的点
, 使对
有
1. 基本列 : 回顾基本列概念 . 基本列的直观意义 . 基本列亦称为Cauchy 列.
例1 验证以下两数列为Cauchy 列 : ⑴
.
⑵
解 ⑴
.
;
对
，为使
，易见只要
.
于是取
⑵
.
.
当
有
为偶数时 , 注意到上式绝对值符号内有偶数项和下式每个括号均为正号 ,
,
又
.
当
为奇数时 ,
,
.
综上 , 对任何自然数
, 有
. „„
Cauchy 列的否定: 例2
证 对
, 取
. 验证数列
不是Cauchy 列.
, 有
.
因此, 取
, „„
2. Cauchy 收敛原理: Th 4 数列
收敛
是Cauchy 列.
( 要求学生复习函数极限、函数连续的Cauchy 准则，并以Cauchy 收敛原理为依据，利用Heine 归并原则给出证明 ) 五. 致密性定理: 数集的聚点
定义 设
是无穷点集. 若在点
(未必属于
无穷多个点, 则称点
为
数集
集是闭区间是闭区间
=
的一个聚点.
) 的任何邻域内有
的
有唯一聚点
, 但
; 设
.
是
; 开区间
的全体聚点之
的聚点集
中全体有理数所成之集, 易见
1. 列紧性: 亦称为Weierstrass 收敛子列定理. Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列. 2. 聚点原理 : Weierstrass 聚点原理. Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点.
六. Heine –Borel 有限复盖定理: 1. 复盖: 先介绍区间族
.
定义( 复盖 ) 设
是一个数集 ,
, 则称区间族
的一个复盖. 记为
是区间族 . 若对
复盖了
, 或称区间族
是数集
若每个
都是开区间, 则称区间族
是开区间族 . 开区间族常记为
.
定义( 开复盖 ) 数集
简称为
的一个复盖.
的一个开区间族复盖称为
的一个开复盖,
子复盖、有限复盖、有限子复盖. 例3
; .
2. Heine –Borel 有限复盖定理:
Th 7 闭区间的任一开复盖必有有限子复盖.
复盖了区间
复盖
, 但不能复盖
, 但不能复盖
§ 2 实数基本定理等价性的证明（4学时）
证明若干个命题等价的一般方法.
本节证明七个实数基本定理等价性的路线 : 证明按以下三条路线进行: Ⅰ: 确界原理 确界原理 ;
单调有界原理
区间套定理
Cauchy 收敛准则
Ⅱ: 区间套定理 Ⅲ: 区间套定理
致密性定理
Cauchy收敛准则 ;
区间套定理 .
Heine –Borel 有限复盖定理
一. “Ⅰ” 的证明: (“确界原理 单调有界原理”已证明过 ).
1. 用“确界原理”证明“单调有界原理”: Th 2 单调有界数列必收敛 . 证
2. 用“单调有界原理”证明“区间套定理”: Th 3 设
.
证
系1 若
当
时, 总有
是区间套
. 是区间套
确定的公共点, 则对
.
,
是一闭区间套. 则存在唯一的点
, 使对
有
系2 若
,
,
确定的公共点, 则有
3. 用“区间套定理”证明“Cauchy 收敛准则”:
Th 4 数列
收敛
是Cauchy 列.
引理 Cauchy 列是有界列. ( 证 )
Th 4 的证明: ( 只证充分性 ) 教科书P217—218上的证明留作阅读 . 现采用[3]P70—71例2的证明, 即三等分的方法, 该证法比较直观.
4． 用“Cauchy 收敛准则” 证明“确界原理” ：
Th 1 非空有上界数集必有上确界 ；非空有下界数集必有下确界 .
证 （只证“非空有上界数集必有上确界”）设
当
为
为有限集时 , 显然有上确界 .下设
的上界. 对分区间
, 取
为非空有上界数集 .
不是
的上界
,
为无限集, 取
, 使
. 验证
不是
的上界
,
为
的上界. 依此得闭区间列Cauchy 收敛准则,
. 下证
收敛; 同理
为Cauchy 列, 由. 设
. 有
收敛. 易见
. 用反证法验证
的上界性和最小性.
二. “Ⅱ” 的证明:
1. 用“区间套定理”证明“致密性定理”:
Th 5 ( Weierstrass ) 任一有界数列必有收敛子列.
证 （ 突出子列抽取技巧 ） Th 6 每一个有界无穷点集必有聚点. 证 （ 用对分法 ）
2．用“致密性定理” 证明“Cauchy 收敛准则” ： Th 4 数列
收敛
是Cauchy 列.
有收敛子列
验证
证 （ 只证充分性 ）证明思路 ：Cauchy 列有界 收敛子列的极限即为
的极限.
三. “Ⅲ” 的证明:
1. 用“区间套定理”证明“Heine –Borel 有限复盖定理”: 证
2. 用“Heine –Borel 有限复盖定理” 证明“区间套定理”: 证 采用[3]P72例4的证明.
§ 3 闭区间上连续函数性质的证明（4学时）
教学目的： 能应用基本定理证明闭区间上连续函数的基本性质和一些有关命题，从而掌握应用基本定理进行分析论证的能力。
教学重点难点：基本定理的应用。 一. 有界性: 命题1
,
在
上
.
证法 一 ( 用区间套定理 ). 反证法. 证法 二 ( 用列紧性 ). 反证法. 证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
二. 最值性: 命题2
( 只证取得最大值 )
证 ( 用确界原理 ) 参阅[1]P226[ 证法 二 ]后半段.
三. 介值性: 证明与其等价的“零点定理 ”. 命题3 ( 零点定理 )
证法 一 ( 用区间套定理 ) . 证法 二 ( 用确界原理 ). 不妨设
令
, 有
). 取
>
且
, . 现证
, 则
非空有界,
.
,
在
上取得最大值和最小值.
有上确界. 设
且
,
, ( 为此证明
. 由
在点
连续和
. 于是
. 由
在点连续和
,
. 因此只能有
.
证法 三 ( 用有限复盖定理 ).
四. 一致连续性: 命题4 ( Cantor 定理 )
证法 一 ( 用区间套定理 ) . 参阅[1]P229—230 [ 证法一 ] 证法 二 ( 用列紧性 ). 参阅[1]P229—230 [ 证法二 ] 习 题 课（2学时）
一．实数基本定理互证举例：
例1 用“区间套定理”证明“单调有界原理”. 证 设数列
界, 而在
是
递增有上界. 取闭区间
, 使
内含有数列
, 取
不是
的上
的上界. 易见在闭区间
外仅含有
的有限项. 对分
的无穷多项, 使有
的性质. „„. 于是得区间套
任何邻域内有数列
.
, 有公共点
. 易见在点
的
的有限项,
的无穷多项而在其外仅含有
例2 用“确界原理”证明“区间套定理”. 证
为区间套. 先证每个
界原理 , 数列
,
. 为数列
的下界, 而每个
有
为数列的上界. 由确
下确界 . 设
有上确界, 数列
易见有
和
. 由
，
.
例3 用“有限复盖定理”证明“聚点原理”. 证 ( 用反证法 ) 设
为有界无限点集, 的每一点都不是
的聚点, 则对
在
. 反设
, 使
, 存在开区间
内仅有
的有限个点. „„ .
例4 用“确界原理”证明“聚点原理”. 证 设
为有界无限点集. 构造数集
中大于 的点有无穷多有上确界. 设
.
个 . 易见数集
则对
由
是
, 由
非空有上界, 由确界原理,
不是
的上界,
中大于
的点有无穷多个;
的上界,
中大于
是
的点仅有有限个. 于是, 在
的一个聚点 .
内有
的无穷
多个点, 即
二. 实数基本定理应用举例： 例5 设
,
,
则
是闭区间
, 使
上的递增函数, 但不必连续 . 如果
.(山东大学研究生入学试题)
证法 一 ( 用确界技术 . 参阅[3] P76例10 证法1 ) 设集合
,下证
有界 .由确界原理 ,
.
. 则
有上确界. 设
,
不空 ; , 则
.
ⅰ> 若
.
由由
ⅱ> 若
也存在数列
, 就有式
于是有
.
, ,
, 有
递增和
; 又
, 有
. 于是 , 只能有
, 则存在
内的数列
,
, 使
. 由
, 得
, 可见
.
.
, ; 以及
, 得
递增,
对任何 成立 . 令
证法二 ( 用区间套技术, 参阅[3] P77例10 证法2 ) 当
时, 或
就是方程
. 对分区间
方程
况 ) . 若
此得一级区间
在
在
上的实根 . 以下总设
或
, 设分点为 . 倘有
, 就是
上的实根.(为行文简练计, 以下总设不会出现这种情, 取
; 若
, 取
, 对
, 使对任何 ,
, 有
, 如
. 依此构造区间套
. 由区间套定理,
有
以 及
. 现证
递增, 就有
. 事实上, 注意到
时
和
.
令
, 得
于是有
.
例6 设在闭区间
,
上函数
连续,
递增 , 且有 在区间
内有实
. 试证明: 方程
根 . （ 西北师大2001年硕士研究生入学试题 ）
证 构造区间套
定理,
在
, 使对
, 有
, 使
. 现证
的构造以及
.
. 由区间套. 事实上, 由
和
,, 有
上的递增性和
注意到
在点
连续，由Heine 归并原则, 有
,
内的实根.
,
. 为方程
在区间
例7 试证明: 区间
上的全体实数是不可列的 .
证 ( 用区间套技术, 具体用反证法 ) 反设区间
是可列的, 即可排成一列:
上的全体实数
把区间
区间为一级区间
区间不含
三等分，所得三个区间中至少有一个区间不含
. 把区间
，记该
三等分，所得三个区间中至少有一个. „„ .依此得区间套
. 由区间套定理,
, 使对
,
，记该区间为二级区间
不含
, 其中区间
有
,
. 当然有
. 矛盾 .
. 但对
有
而