高中_三角函数教学设计及习题及答案(1)
第三章 三角函数
章节结构图
三角函数是高中数学的一个重要知识板块，也是高考的热点和重点内容．在考察中，以容易题和中档题为主．
在复习本部分内容时，应该充分利用数形结合的思想，把图象和性质有机结合．利用图象的直观性得出函数的性质，同时也要学会利用函数的性质来描绘函数的图象．而在三角变换中，角的变换，三角函数名称的改变，三角函数次数的变换，三角函数表达形式的变换，频繁出现．因此，在训练中，要清楚各种公式，以及它们之间的联系，注意总结规律，并在应用中注意分析比较，提高能力．
3．1 三角函数的概念
(一) 复习指导
1．了解任意角的概念，了解弧度制概念，能进行弧度与角度的互化．
2．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切) 的定义，掌握任意角的三角函数在各个象限的符号．
3．会应用三角函数线解决与三角函数有关的简单问题．
(二) 解题方法指导 例1．写出与－60°终边相同的角的集合S ，并把S 中满足－2π ≤α≤4π 的元素α写出来．
例2．已知角α终边上有一点P (x ，1) ，且cos α=
例3．求函数f (x ) =sin x -
例4．已知α∈(0，π ) ，比较sin
(三) 体会与感受
12
12
，求sin α，tan α．
的定义域．
α
2
, tan
α
2
的大小．
1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3．2 同角三角函数关系及诱导公式
(一) 复习指导
1．理解同角三角函数的基本关系式：sin
2
x +cos
2
x =1,
sin x cos x
=tan x .
2．能利用单位圆中的三角函数线推导出
π2
±α, π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式．
3．能综合运用诱导公式和同角关系式对代数式进行化简． (二) 解题方法指导
例1．已知tan x =2，求sin x ，cos x 的值． 例2．求 例3．若
sin x -cos x sin x +cos x
=2, ，求sin x cos x 的值．
tan(-120) cos(210) sin(-480) tan(-690) sin(-150) cos(330)
的值．
2222
例4．求证：tan x ·sin x =tanx －sin x ．
(三) 体会与感受
1．重点知识________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2．问题与困惑______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3．经验问题梳理____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3．3 三角函数的图象与性质(一)
(一) 复习指导
1．能画出y =sinx ，y =cosx ，y =tanx 的图象，了解三角函数的周期性．
2．理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π ]的性质(如单调性、最大和最小值、图象与x 轴交点等)
3．理解正切函数在区间(-π3
ππ
, ) 的单调性．
22
例1．用五点法画出函数y =sin(x +对称中心．
例2．求函数y =2sin(
例3．求下列函数的值域． (1)y ＝sin 2x －cos x +2；
例4．求函数y =
(三) 体会与感受
1-sin x 3-cos x
x 2+π6
) 草图，并求出函数的周期，单调区间，对称轴，
) 在区间[0，2π ]上的值域．
(2)y ＝2sin x cos x －(sinx ＋cos x ) ．
的值域．
1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3．4 三角函数的图象与性质(二)
(一) 复习指导
1．了解函数y =A sin(ωx+φ) 的物理意义；能画出y =A sin(ωx+φ) 的图象，了解参数A ，ω，φ对函数图象变化的影响．
2．了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型，会用三角函数解决一些简单实际问题．
(二) 解题方法指导
例1．在同一个坐标系中，用五点法画出下列函数的草图． (1)y =sin x , y =sin(x +
例2．已知函数f (x ) =sin(2x +移和伸缩变换得到．
例3．若函数y =A sin(ωx+φ)(ω＞0，φ＞0) 的图象的一个最高点为(2, 的最低点之间的图象与x 轴交于(6，0) ，求这个函数的一个解析式．
例4．已知函数f (x )=cos4x －2sin x cos x －sin 4x ． (Ⅰ) 求f (x ) 的最小正周期； (Ⅱ) 若x ∈[0,
(三) 体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
π3
); (2)y =sin 2x , y =sin(2x +
π3
).
π6
) ，该函数的图象可以由y =sinx 的图象经过怎样的平
2) ，它到其相邻
π2
],求f (x ) 的最大值、最小值．
3．5 和、差、倍角的三角函数(一)
(一) 复习指导
1．掌握两角差的余弦公式，能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式． 2．能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．
3．能用上述公式解决一些化简和求值问题． (二) 解题方法指导 例1．若(A)5
1-tan x 1+tan x
=
5
，则tan(x +(B)-
5 π4
π4
) 的值为 ( )
(C)
5 (D)-
5 5
例2．(sinx +cos x ) 2+2sin 2(
π4
12
-x ) =____________．
2
例3．已知tan(+x ) =．求
sin 2x -2cos x 1+cos 2x
的值．
例4．已知f (cosx )=cos2x . (Ⅰ) 求f (cos(
(三) 体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
π16
)) 的值；
(Ⅱ) 求f (sinx ) ．
3．6 和、差、倍角的三角函数(二)
(一) 复习指导
1．能利用三角函数公式对一些代数式进行化简和求值． 2．掌握A sin x +B cos x 型代数式变形方法． (二) 解题方法指导 例1．已知cos α=-
210
45, α∈(
π2
, π) ，则cos(
π4
-α) =( ) ．
(A) (B)-
210
(C)-
7210
(D)
7210
例2．f (x ) =cos 2x -23sin x cos x 的最小值为____．
例3．已知：0
例4．已知0
π2
π2
, cos x =
35
，且
π2
513
，求cos y 的值．
35
⋅
, cos(α+β) =-
45
，求sin β．
(三) 体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
3．7 正弦定理和余弦定理
(一) 复习指导
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题．
2．能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．
(二) 解题方法指导
例1．在△ABC 中，a ∶b ∶c ＝3∶5∶7，则其最大角为____． 例2．在△ABC 中，有a cos A =b cos B ，判断△ABC 的形状．
例3．在△ABC 中，∠A =60°，面积为103，周长为20，求三条边的长．
例4．在一条河的对岸有两个目标物A ，B ，但不能到达．在岸边选取相距23里的C ，D 两点，并测得∠ACB =75°，∠BCD =45°，∠ADC =30°，∠ADB =45°，且A ，B ，C ，D 在同一个平面内，求A ，B 之间的距离．
(三) 体会与感受 1．重点知识_________________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
2．问题与困惑_______________________________________________________________ _______________________________________________________________________________ 3．经验问题梳理_____________________________________________________________ _______________________________________________________________________________
例 题 解 析
第三章 三角函数
3．1 三角函数的概念
例1分析：先把角转化成弧度制，然后写出与其终边相同角的集合． 解：因为-60o =-
π3
，所以S ={α|α=2k π-
π5π11π, , ⋅ 333
π3
, k ∈Z },
S 中满足－2π≤α≤4π的元素有-
例2分析：已知一个角的一个函数值，可以利用三角函数定义求其它三角函数值，也可
以利用同角关系直接求得．
解：因为P (x ，1) 在角α的终边上，所以， r =
x
2
+4, cos α=
x
x
2
=+1
12
,
解得x =±
333
, 又因为x ＞0，所以x =, 所以sin α=, tan α=
332
3.
小结：知道一个角某个三角函数值，求其它的函数值，是三角函数求值问题中典型问题之一．
例3解：因为sin x -当sin x =
x
∈[2k π+
12
π6
12
≥0，所以sin x ≥
π6
126
,
, k ∈Z , 利用三角形函数线得到，
时，x =2k π+
, 2k π+
5π6
或x =2k π+
5π
],k ∈Z .
例4分析：比较不同三角函数值的大小，可以充分利用三角函数线．
απα
解：因为α∈(0，π)，所以∈(0, ) ，如图3－1－2，在单位圆中，作出的正弦线
2
2
2
MP 和正切线AT ，因为S △OAP ＜S △OAT ，
所以
12
⋅|OA |⋅|MP |
12
⋅|OA |⋅|AT |,
即｜MP ｜＜｜AT ｜，所以sin
α
2
α
2
⋅
小结：例3和例4都是三角形函数线的应用，其中例4还可以利用比较法来解决，实际
上有x ∈(0, ) 时，sin x ＜x ＜tan x ．
2
π
3．2 同角三角函数关系及诱导公式
例1分析：知道一个角某个三角函数值，求其它函数值，方程思想是通法． 解：因为tan x =
sin x cos x
=2，又sin x ＋cos x =1，
2
2
联立得⎨
⎧sin x =2cos x ⎩sin
2
x +cos
2
， x =1
⎧25⎧25⎪sin x =⎪sin x =-⎪5⎪5
解这个方程组得⎨, ⎨.
5⎪5⎪
cos x =cos x =-⎪⎪55⎩⎩
小结：这道题和3.1.1中的例2属于同一类型问题．
例2分析：这种代数式化简，一般要用到诱导公式和同角函数关系，要注意公式的正确
使用，特别是函数名称和符号的变化方法．
解：原式 =
tan(-120+180) cos(180+30) sin(-360-120)
tan(-720+30) sin(-150) cos(360-30)
tan 60(-cos 30)(-sin 120) tan 30(-sin 150) cos 30
o
=
=-33.
例3分析：这种代数式求值，可以利用方程组的思想，求出每个函数值，也可以利用sin x ±cos x 与sin x cos x 的关系，整体求值．
解：法一：因为
sin x -cos x sin x +cos x
2
=2,
所以sin x －cos x =2(sinx ＋cos x ) ，
得到sin x =－3cos x ，又sin x ＋cos x =1，联立方程组，解得
⎧3⎧3sin x =sin x =-⎪⎪⎪⎪1010
，， ⎨⎨⎪⎪
cos x =-cos x =⎪10⎪10⎩⎩
2
所以sin x cos x =-
310
⋅
法二：因为
sin x -cos x sin x +cos x
=2,
所以sin x －cos x =2(sinx ＋cos x ) ，
22
所以(sinx －cos x ) =4(sinx ＋cos x ) ， 所以1－2sin x cos x =4＋8sin x cos x ， 所以有sin x cos x =-
310
⋅
小结：这两种方法中，第一种是通法，第二种利用了整体求值．
例4分析：这种证明问题，可以从左边开始变形，向右边看齐，也可以反过来，还有的时候是两边同时变形．在变形的时候，要注意公式的正确使用，同时要时刻注意目标是什么．
证明：法一：右边＝tan x －sin x =tanx －(tanx ·cos x )=tanx (1－cos x )=tanx ·sin x ，问题得证．
法二：左边=tanx ·sin x =tanx (1－cos x )=tanx －tan x ·cos x =tanx －sin x ，问题得证．
3．3 三角函数的图象与性质(一)
例1解：
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
周期为T =2π， 单调增区间为(2k π-单调减区间为(2k π+对称轴为x =k π+
π5π6π6, 2k π+
π66
), k ∈Z , ), k ∈Z ,
, 2k π+
7π
, k ∈Z , 6π
对称中心为(k π-, 0), k ∈Z .
3
小结：画图的时候，要注意五个点的选取．
例2分析：在求这样函数值域的时候，最好是把括号中与x 有关的代数式的取值范围求出来，然后利用三角函数图象求其值域．
解：因为0≤x ≤2π，所以0≤得到sin(
x 2+π6) ∈[-
12, 1],
x 2≤π,
π6≤x 2+π6≤7π6
, 由正弦函数的图象，
所以y ∈[－1，2]．
例3解：(1)y =sin2x －cos x ＋2＝1－cos 2x －cos x ＋2=－(cos2x ＋cos x ) ＋3，
令t =cosx ，则t ∈[-1, 1],y =-(t
2
+t ) +3=-(t +
12
)
2
+
134
=-(t +
12
)
2
+
134
,
利用二次函数的图象得到y ∈[1,
134
].
(2)y ＝2sin x cos x －(sinx ＋cos x )=(sinx ＋cos x ) 2－1－(sinx ＋cos x ) ，令t =sinx ＋cos x =
sin(x +
π4
) ，则t ∈[-2,
2]则，y =t -t -1,
2
2，
利用二次函数的图象得到y ∈[-
54
, 1+2].
小结：利用三角函数关系把代数式转化成一个二次函数形式，利用图象，求其值域，要注意转化后自变量的取值范围．
例4解：设A (3，1) ，P (cosx ，sin x ) ，
把y 看成定点A 与动点P 所在直线的斜率， 因为动点P (cosx ，sin x ) 在单位圆上，
所以只要求经过点A (3，1) 与单位圆相切的两条直线的斜率， 两条切线的斜率分别为0和所以y
∈[0, ].
43
34,
小结：这是数形结合解题的一个典型问题．
3．4 三角函数的图象与性质(二)
例1解：(1)
例2分析：这种问题的难点在于确定变换的先后顺序． 解：法一：将函数y =sinx 依次作如下变换： (1)把函数y =sinx 的图象向左平移(2)把函数y =sin(x +函数y =sin(2x +
π6
π6
π6
个单位，得到函数y =sin(x +
12
π6
)
的图象；
) 图象上各点的横坐标缩小到原来的，纵坐标保持不变，得到
) 的图象．
法二：将函数y =sinx 依次作如下变换：
(1)把函数y =sinx 的图象上各点的横坐标缩小到原来的y =sin2x 的图象．
(2)把函数y =sin2x 向左平移图象．
小结：在进行图象变换的时候，应注意平移变换和压缩变换的顺序，顺序不一样，则平移的单位不一样．如y =sin2x 的图象向左平移
y =sin(2x +
π6
) 的图象．
π12
π12
12
，纵坐标保持不变，得到函数
个单位，得到函数y =sin 2(x +
π12
) ，即y =si n(2x +
π6
) 的
个单位，得到函数y =sin 2(x +
π12
)
，即
例3分析：这样的问题，首先要清楚几个参数A ，ω，φ对函数图象的影响，可以画出一个草图来分析问题．
解：由最高点为(2, 2) ，得到A =2，最高点和最低点间隔是半个周期，从而与x 轴交点的间隔是
14
个周期，这样求得
T 4
=4，T =16，所以ω=
π8
⋅
又由2=2sin(
π8
⨯2+ϕ)
，得到可以取ϕ=
π4
. ∴y =2sin(
π8
x +
π4
).
例4分析：这个函数的解析式比较复杂，我们先对其进行化简，这包括减少函数名称，降低次数，然后再求相应的问题．
解：(Ⅰ) 因为f (x )=cos4x －2sin x cos x －sin4x ＝(cos2x －sin 2x )(cos2x ＋sin 2x ) －sin2x
=(cos
2
x -sin
2
x ) -sin 2x =cos 2x -sin 2x =2sin(
π4
-2x ) =-2sin(2x -
π4
)
所以最小正周期为π． (Ⅱ) 若x ∈[0, ]，则(2x -
2π
π4) ∈[-
π3π
所以当, ]，
44
x =0时，f (x ) 取最大值为-2sin(-) =1;
4
π
当x =
3π8
时，f (x ) 取最小值为-2.
3．5 和、差、倍角的三角函数(一)
例1解：
1-tan x 1+tan x
tan =
π-tan x π4
=tan(tan x
π4
-x ) =5
，所以tan(
π4
+x ) =
tan(
1π4-x )
=
15
,
1+tan
选C ．
小结：本题还可以tan x 把的值求出来，然后使用两角和的正切公式求值． 例2解：(sinx +cos x ) 2+2sin 2(-x )
4
=1+sin 2x +1-cos 2(
π4
-x ) =1+sin 2x +1-sin 2x =2. 1+tan x 1-tan x
2
π
例3解：因为tan(
sin 2x -2cos 1+cos 2x
2
π4
+x ) ==
2
12
x
，所以tan x =-
=tan x -1=-
43⋅
13
,
x
=
2sin x cos x -2cos
2cos
x
小结：在求值问题中，应该先对代数式进行化简，在化简的过程中分析如何利用条件推导出结果．
例4解：(Ⅰ) 因为=f (cos(
1+cos =
2
π4=
π16
)) =cos
π8
,
而cos
2
π8
1+
2
=2+2
42
且cos
π2
π8
>0，所以cos
π8
=
2+
2
2
;
(Ⅱ) 因为f (sinx ) =f (cos(
π2
-x )) =cos(2(
-x )) =cos(π-2x ) =-cos 2x .
3．6 和、差、倍角的三角函数(二)
例1解：因为cos α=-, α∈(, π) ，所以sin α=
5
2
π4
π4
π4
4
π
35
,
2
, 所以选B ． π6
-2x ) ，所以其最
又cos(
-α) =cos cos α+sin sin α
，代入求得结果为-
例2解：因为f (x ) =cos 2x -23sin x cos x =cos x -3sin 2x =2sin(
小值为－2．
例3分析：在知值求值问题中，要注意角之间的关系． 解：因为0
π2, cos x =
45⋅ 35,
则sin x =1-cos 2x =因为0
ππ
,
，所以
,
π2
3π2
,
所以cos(x +y ) =-
1213
所以cos y =cos[(x ＋y ) －x ]=cos(x ＋y )cos x ＋sin(x ＋y )sin x
=-
1213⨯35+
π2
513
⨯
45
=-
1665
例4解：因为0
π2
3π2,
又cos(α+β) =-若sin(α+β) =-所以sin(α+β) =
453535
，所以sin(α+β) =-, 则由sin α=
,
35
35
，或sin(α+β) =
35
,
，得到β=π，矛盾，
所以sin β=sin[(α+β) -α]=sin(α+β) cos α-cos(α+β) sin α=
3．7 正弦定理和余弦定理
2425
⋅
例1解：因为三条边中c 边最大，则角C 最大，根据余弦定理，cos C =-
12
，所以C =
2π3
⋅
例2解：由正弦定理，a =2R sin A ，b ＝2R sin B ，代入有2R sin A cos A =2R sin B cos B ，即sin2A =sin2B ，所以2A =2B 或2A =π－2B ．即A =B 或A +B =直角三角形．
例3解：因为S ∆ABC =解得三条边为5，7，8．
例4分析：在很多实际测量问题中，都离不开解三角形，根据相关条件画一张比较清晰的直观图，可以帮我们找到解题的思路．
要求AB ，可以把AB 放到一个三角形中，看看这个三角形中还有哪些条件，然后可以根据正余弦定理求值．
解：中△ACD 中，∠ACD =120°，∠ADC =30°
所以∠DAC =30°，所以｜AC ｜=｜CD ｜=23， 在△BCD 中，∠BCD =45°，∠CDB ＝75°，
12
bc sin A =103
π2
，所以△ABC 为等腰三角形或
，所以bc =40，又a ＋b ＋c =20，a =b ＋c －2bc cos A ，
222
|BC ||CD |所以∠CBD =60°，由正弦定理,
sin 75
o
=
sin 60
o
,
所以|BC |=|CD |sin 75o
sin 60
o
=6+2,
在△ABC 中，∠BCA =75°，
根据余弦定理，｜AB ｜2=｜AC ｜2＋｜BC ｜2－2｜AC ｜·｜BC ｜·cos75°，求得 ｜AB ｜2=20，|AB
|=25⋅