圆锥曲线练习题1(含答案)

高考圆锥曲线部分试题

班级 姓名

一、选择题

1. 设抛物线y28x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12

x2y2

P，满足PF2FF2.设F1、F2分别为双曲线221(a＞0,b＞0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点12，且

ab

F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为（ ）

（A）3x4y0 （B）3x5y0 （C）4x3y0 （D）5x4y0

x2y23.已知椭圆C:221(a＞b＞

0)过右焦点F且斜率为k(k＞0)的直线与C相交于A、B两点．若

ab

AF3FB，则k（ ） （A）1 （B

（C

（D）2

4.设双曲线的—个焦点为F；虚轴的—个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（ ）

(A)

(D) 5.设抛物线y2=8x的焦点为F，准线为l,P为抛物线上一点,PA⊥l,A为垂足．如果直线AF

的斜率为,那么|PF|=（ ）

(A) (B)8

(C) (D) 16

6.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是（ ） A. 直线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 双曲线

x2y2

7.椭圆221(ab)的右焦点F，其右准线与x轴的交点为A，在椭圆上存在点P满足线段AP的垂直平分

ab

线过点F，则椭圆离心率的取值范围是（ ） （A

）

11

1,1 （D）,1 （B）0, （C）

22



x2y2

8.已知双曲线221(a0,b0)的一条渐近线方程是

,它的一个焦点在抛物线y224x的准线上，则双

ab

x2y2x2y2x2y2x2y2

1 （B） 1 （D）1 1 （C）曲线的方程为（ ） （A）

[**************]7

022

9.已知F1、F2为双曲线C:xy1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2=60，则P到x轴的距离为（ ）

(A)

(B)

2

2

2

3

10.由曲线y=x,y=x围成的封闭图形面积为（ ） （ A）11.双曲线方程为x2y1，则它的右焦点坐标为（ ）

2

2

1117

(B) (C) (D) 12 4 312



A

、



B

、



C

、



D

、



12.若直线y=x+b

与曲线y3有公共点，则b的取值范围是（ ）

A. 1,1

B. 1

x22

13.若点O和点F(2,0)分别是双曲线2y1(a>0)的中心和左焦点,点P为双曲线右支上的任意一点,则OPFP

a

77

的取值范围为 ( ) A

．) B

．[3) C．[-,) D．[,)

44

2

14．以抛物线y4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为( )

A．x+y+2x=0 B．x+y+x=0 C．x+y-x=0 二、填空题

22

2

2

2

2

2



C. 1

D. 1

D．x+y-2x=0

22

15.设抛物线y2px(p0)的焦点为F，点A(0,2).若线段FA的中点B在抛物线上，则B到该抛物线准线的距离

为_____________。

16.已知抛物线C:y22px(p＞0)的准线为l，过M

(1,0)l相交于点A，与C的一个交点为



B．若AMMB，则p ．

x2y2

1的右支上，若点A到右焦点的距离等于2x0，则x0= 17.点A(x0，y0)在双曲线

432

2

18.已知以F为焦点的抛物线y4x上的两点A、B满足AF3FB,则弦AB的中点到准线的距离为___________. x2y222

1的焦点相同，19.已知双曲线221的离心率为2，焦点与椭圆那么双曲线的焦点坐标为259ab

CC20.已知F是椭圆的一个焦点，B是短轴的一个端点，线段BF的延长线交于点D，且BF2FD则C的离心率

为 。

渐近线方程为 。

x2y2

21.在平面直角坐标系xOy中，双曲线点M的横坐标是3，则M到双曲线右焦点的距离是_______ 1上一点M，

412

三、解答题

m2x2

0，椭圆C:2y21，F1,F2分别为椭圆C的左、右焦点. 22（浙江）已知m＞1，直线l:xmy2m

（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A,B两点，VAF1F2，VBF1F2的重心分别为G,H.若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围.

x2y2

23（全国2）己知斜率为1的直线l与双曲线C221a＞0，b＞0相交于B、D两点，且BD的中点为M1,3．（Ⅰ）

ab

求C的离心率； （Ⅱ）设C的右顶点为A，右焦点为F，DFBF17，证明：过A、B、D三点的圆与x轴相切．

x2y2

24.（辽宁）设椭圆C：221(ab0)的左焦点为F，过点F的直线与椭圆C相交于A，B两点，直线l的倾

ab

15o

斜角为60,AF2FB. (1)求椭圆C的离心率；（2）如果|AB|=，求椭圆C的方程.

4

x2y2

C1:221(ab0)22

C:xbybab225.（江西）设椭圆，抛物线。

（1） 若C2经过C1的两个焦点，求C1的离心率；

（2） 设A（0，b）

，Q,又M、N为C1与C2不在y轴上的两个交点，若△AMN的垂心为B0b，且△

QMN的重心在C2上，求椭圆C1和抛物线C2的方程。

26（重庆）（20）（本小题满分12分，（I）小问5分，（II）小问7分）



5434

已知以原点O

为中心，F

为右焦点的双曲线C

的离心率e



（1）求双曲线C的标准方程及其渐近线方程；

(2)如图，已知过点Mx1,y1的直线l1:x1x4y1y4与过点Nx2,y2（其中x2x）的直线l2:x2x4y2y4的交点E在双曲线C上，直线MN与两条渐近线分别交与G、H两点，求OGH的面积。

27.（北京）在平面直角坐标系xOy中，点B与点A（-1,1）关于原点O对称，P是动点，且直线AP与BP的斜率之积等于

1. 3

(Ⅰ)求动点P的轨迹方程；

(Ⅱ)设直线AP和BP分别与直线x=3交于点M,N，问：是否存在点P使得△PAB与△PMN的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由。

28（四川）已知定点A(－1，0)，F(2，0)，定直线l：x＝，不在x轴上的动点P与点F的距离是它到直线l的距离的2倍.设点P的轨迹为E，过点F的直线交E于B、C两点，直线AB、AC分别交l于点M、N （Ⅰ）求E的方程；

（Ⅱ）试判断以线段MN为直径的圆是否过点F，并说明理由.

12

x2y229（天津）已知椭圆221(ab0）

的离心率e4。

ab（1） 求椭圆的方程；

（2） 设直线l与椭圆相交于不同的两点A,B，已知点A的坐标为（a,0），点Q(0,y0)在线段AB的垂直平分



线上，且QAQB4，求y0的值

30（全国1）已知抛物线C:y24x的焦点为F，过点K(1,0)的直线l与C相交于A、B两点，点A关于x轴的对称点为D.

（Ⅰ）证明：点F在直线BD上；

8

（Ⅱ）设FAFB，求BDK的内切圆M的方程 .

9

31.（福建）已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点。 （1）求椭圆C的方程；

（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由。

32（山东）如图，已知椭圆

x2y2，以该椭圆上的点和椭圆的左、右焦点F1,F2为顶点

1(a＞b＞

0)的离心率为2a2b2

的三角形的周长为1).一等轴双曲线的顶点是该椭圆的焦点，设P为该双曲线上异于顶点的任一点，直线PF1和

PF2与椭圆的交点分别为A、B和C、D.

（Ⅰ）求椭圆和双曲线的标准方程；

（Ⅱ）设直线PF1、PF2的斜率分别为k1、k2，证明k1·k21；

（Ⅲ）是否存在常数，使得ABCDABCD恒成立？若存在，求的值；若不存在，请说明理由.

33.（湖北）已知一条曲线C在y轴右边，C上每一点到点F（1,0）的距离减去它到y轴距离的差都是1. (Ⅰ)求曲线C的方程；

求出m的取值范围；若不存在，请说明理由。



（Ⅱ）是否存在正数m，对于过点M（m，0）且与曲线C有两个交点A,B的任一直线，都有FAFB0？若存在，

34（安徽）已知椭圆E经过点A2,3，对称轴为坐标轴，焦点F1,F2在x轴上，离心率e (Ⅰ)求椭圆E的方程；

(Ⅱ)求F1AF2的角平分线所在直线l的方程；

(Ⅲ)在椭圆E上是否存在关于直线l对称的相异两点？ 若存在，请找出；若不存在，说明理由。

1。 2

x2y2

1的左、右顶点为A、B，右焦点为F。设过点T（t,m）35（江苏）在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆95

的直线TA、TB与椭圆分别交于点M(x1,y1)、N(x2,y2)，其中m>0,y10,y20。

22

（1）设动点P满足PFPB4,求点P的轨迹；

1

（2）设x12,x2，求点T的坐标；

3

（3）设t9,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）。

参考答案：

一、B C B D B D D B B A CCBD 二、15

8 16、2； 17、2； 18、；

319、（4，0）

y0； 20

； 21、4。 m2m22



0经过F2

三、22（浙江）（Ⅰ）解：因为直线l:xmy,得m2，

2

又因为m

1，所以m

故直线l

的方程为x0。

（Ⅱ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)。

m2 由xmy2

x2，消去x得

m2

y212ymym22

410

则由m2

8(m241)m280，知m28，且有ymm21y22,y1y2

81

2

。 由于F1(c,0),F2(c,0),， 故O由为AGF1F22的中点，GO ,BH2HO，

可知G(x1,y13),h(x2y

3,133

),

GH2

(x1x222)(y1y2)99

设M是GH的中点，则M(x1

x2y1y6,2

6

)， 由题意可知2MOGH,

即4[(x1x26)2(y1y26)2](x1x2)2(y1y2)2

99

即x1x2y1y20

而xm2m2

1x2y1y2(my12)(my22)y1y2 (m2

1

(m2812

) 所以

m21820 即m2

4

又因为m1且0 所以1m2。

所以m的取值范围是(1,2)。

23（全国2）

2

24.（辽宁）（Ⅰ）解：设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意知y1＜0，y2＞0. 直线l的方程为 y(xc)，其中cyxc),



联立x2y2得(3a2b2)y22cy3b40

221

ba

y2解得y1

因为AF2FB，所以y12y2.

即

2

c2

. ……6分

a3

215

（Ⅱ）因为AB2

y122.

43ab

得离心率 e

c2515

得b.所以a，得a=3

，b44a3x2y2

1. ……12分 椭圆C的方程为95

由

25.（江西）（1）由已知椭圆焦点(c,0)在抛物线上，可得：cb，由

2

2

c21。 abc2c,有2e

a22

2

2

2

(2)由题设可知M、N关于y轴对称，设

M(x1,y1),N(x1,y1)(x10),由AMN的垂心为B，有

3

BMAN0x12(y1b)(y1b)0。

4

2

由点N(x1,y1)在抛物线上，x1by1b2，解得：

b

y1或y1b(舍去)

4

bbb

,M(,),N,)，得

QMN重心坐标).

444

1116b2

b2,所以

b=2，M(),N)，又因为M、N在椭圆上得：a2， 由重心在抛物线上得：3

2234

x2y2

1，抛物线方程为x22y4。 椭圆方程为164

故x1

3

26（重庆）

1,1)

27.（北京）（I）解：因为点B与A(关于原点O对称，所以点B得坐标为(1,1). 设点P的坐标为(x,y)，意得

y1x1y1x11

3

化简得 x23y2

4(x1).

故动点P的轨迹方程为x23y2

4(x1)

由题

（II）解法一：设点P的坐标为(x0,y0)，点M，N得坐标分别为(3,yM),(3,yN).

y01y1

(x1)，直线BP的方程为y10(x1) x01x01

4y0x032y0x03

令x3得yM，yN.

x01x01

则直线AP的方程为y1于是PMN得面积SPMN

|x0y0|(3x0)21

|yMyN|(3x0)2

2|x01|

又直线AB的方程为xy

0，|AB| 点P到直线AB

的距离d于是PAB的面积SPAB

1

|AB|d|x0y0| 2

|x0y0|(3x0)2

当SPABSPMN时，得|x0y0| 2

|x01|

又|x0y0|0，

5

所以(3x0)2=|x021|，解得|x0。

3因为x023y02

4，所以y0

9

. 解法二：若存在点P使得PAB与PMN的面积相等，设点P的坐标为(x0,y0)

11

|PB|sinAPB|PM||PN|sinMPN. 则|PA|22

因为sinAPBsinMPN,

|PA||PN|

 所以

|PM||PB||x1||3x0|

所以0 

|3x0||x1|

5

即 (3x0)2|x021|，解得x0

3 因为x023y02

4，所以y0

5 故存在点PS使得PAB与PMN的面积相等，此时点P

的坐标为(,.

3故存在点P使得PAB与PMN的面积相等，此时点P

的坐标为(,

28.（四川） 解：(1)设P(x,y)

2|x

2

53

1| 2

y2

化简得x－=1(y≠0)………………………………………………………………4分

3

(2)①当直线BC与x轴不垂直时，设BC的方程为y＝k(x－2)(k≠0)

y2

与双曲线x－=1联立消去y得

3

2

(3－k)2x2＋4k2x－(4k2＋3)＝0 由题意知3－k2≠0且△＞0 设B(x1,y1),C(x2,y2)，

4k2xx12k23则

2

xx4k312k23

y1y2＝k2(x1－2)(x2－2)＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]

4k238k2 ＝k(2＋4) 

k3k239k2

＝2

k3

2

因为x1、x2≠－1

y1

(x＋1) x113y11

因此M点的坐标为(,)

22(x11)

3y13y233FM(,),同理可得FN(,)

22(x11)22(x21)9y1y232

因此FMFN()

22(x11)(x21)

所以直线AB的方程为y＝

81k242 ＝ 22

4k34k9

4(21)k3k23

＝0

②当直线BC与x轴垂直时，起方程为x＝2，则B(2,3),C(2,－3)

1333

AB的方程为y＝x＋1,因此M点的坐标为(,)，FM(,)

2222

33

同理可得FN(,)

22

3233

因此FMFN()()＝0

222



综上FMFN＝0，即FM⊥FN

故以线段MN为直径的圆经过点F………………………………………………12分

29（天津）（1

）解：由e由题意可知，

c22222

，得3a4c，再由cab，得a2b 

a2

1

2a2b4,即ab2 2a2b

解方程组 得 a=2,b=1

ab2

x2

y21 所以椭圆的方程为4

(2)解：由（1）可知A（-2,0）。设B点的坐标为（x1,,y1）,直线l的斜率为k，则直线l的方程为y=k(x+2),

yk(x2)



于是A,B两点的坐标满足方程组x2 2

y142222

由方程组消去Y并整理，得(14k)x16kx(16k4)0

16k24

,得 由2x12

14k28k24kx1,从而y, 122

14k14k

8k22k

,) 设线段AB是中点为M，则M的坐标为(

14k214k2

以下分两种情况：

（1）当k=0时，点B的坐标为（2,0）。线段AB的垂直平分线为y轴，于是









QA(2,y0),QB(2,y0）由QAQB=4，得y0=2k18k2

(x) （2）当K0时，线段AB的垂直平分线方程为Y

14k2k14k2

6k

令x=0，解得y0 2

14k

由QA(2,y0),QB(x1,y1y0）





2(28k2)6k4k6kQAQB2x1y0(y1y0）=()

14k214k214k214k2

4(16k415k21)=4

22

(14k)





y0=

75综上y0=y0=

5

整理得7k2,故k

2

30（全国1）

x2y2

31.（福建）（1）依题意，可设椭圆C的方程为221(a>0,b>0)，且可知左焦点为

ab

32（山东）（Ⅰ）由题意知，椭圆离心率为得a

c a2

，又2a2c1)，所以可解得

ac2，所以b2a2c24，所以椭圆

x2y2

1；所以椭圆的焦点坐标为 的标准方程为84

（2，0），因为双曲线为等轴双曲线，且顶点是该

椭圆的焦点，所以该双曲线的标准方程为

x2y2

1。 44

33.（湖北）

34（安徽）

35（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。

2222

由PFPB4，得(x2)y[(x3)y]4, 化简得x

2

2

9。 2

故所求点P的轨迹为直线x（2）将x12,x2

9。 2

15120分别代入椭圆方程，以及y10,y20得：M（2，）、N（，） 3339

1y0x3

直线MTA方程为：，即yx1， 

30233

55y0x3

直线NTB 方程为：，即yx。 

620393

x7

联立方程组，解得：10，

y310

所以点T的坐标为(7,)。

3

（3）点T的坐标为(9,m)

y0x3m

(x3)，直线MTA，即y m09312y0x3m

直线NTB 方程为：，即y(x3)。 m0936x2y2

1联立方程组，同时考虑到x13,x23， 分别与椭圆95

3(80m2)40m3(m220)20m

,)N(,)。 解得：M(、

80m280m220m220m2

20m3(m220)yx22

（方法一）当x1x2时，直线MN方程为： 22

3(80m)3(m20)22280m20m80m20m2

令y0，解得：x1。此时必过点D（1，0）；

当x1x2时，直线MN方程为：x1，与x轴交点为D（1，0）。

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。

2403m23m260

（方法二）若x1x2，则由及m

0，得m 22

80m20m

此时直线MN的方程为x1，过点D（1，0）。

40m

10m2

若x1

x2，则mMD的斜率kMD， 22

2403m40m

1

80m2

20m

210m，得kk，所以直线MN过D点。 直线ND的斜率kNDMDND

3m26040m2

1

20m2

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）。