齿 轮 传 动
第2章 齿 轮 传 动
教学提示：齿轮传动是机械传动的核心内容。本章将深入浅出地介绍渐开线的形成和特点、各种渐开线齿轮(包括直齿圆柱齿轮、斜齿圆柱齿轮、直齿圆锥齿轮) 的参数和几何尺寸计算、啮合原理、受力分析和承载能力计算。
教学要求：本章要求学生熟练掌握直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿轮传动和轴交角Σ=90°的直齿圆锥齿轮传动的基本参数、正确啮合条件及几何尺寸计算；直齿圆柱齿轮传动、斜齿圆柱齿轮传动和轴交角Σ=90°的直齿圆锥齿轮传动的受力分析；在理解轮齿的失效形式和直齿圆柱齿轮传动强度计算的基础上，进行其他齿轮传动的强度设计。
2.1 齿轮传动的特点、类型和精度
齿轮传动是应用最广的一种传动形式。它的主要优点是：① 能保证传动比恒定不变；② 适用的功率和速度范围广，传递的功率可达到105kW ，圆周速度可达300m/s；③ 结构紧凑；④ 效率高，η=0.94～0.99；⑤ 工作可靠且寿命长。其主要缺点是：① 制造齿轮需要专用的设备和刀具，成本较高；② 对制造及安装精度要求较高，精度低时，传动的噪声和振动较大；③ 不宜用于轴间距离较大的传动。 2.1.1 齿轮传动的类型
齿轮传动的类型很多(如图2.1所示) ，按照两齿轮轴线的相对位置和轮齿的方向，齿轮传动可分为：
外啮合[如图2.1(a)所示]
直齿圆柱齿轮传动 内啮合[如图2.1(b)所示)
平行轴齿轮传动(圆柱齿轮传动) 齿轮齿条啮合[如图2.1(c)所示]
斜齿圆柱齿轮传动[如图2.1(d)所示] 人字齿轮传动[如图2.1(e)所示]
齿轮传动
直齿圆锥齿轮传动[如图2.1(f)所示]
相交轴齿轮传动(圆锥齿轮传动斜齿圆锥齿轮传动
曲齿圆锥齿轮传动
交错轴齿轮传动(圆柱螺旋齿轮传动)[如图2.1(g)所示]
按照工作条件不同，齿轮传动又可分为闭式传动和开式传动。在闭式传动中，齿轮安装在刚性很大，并有良好润滑条件的密封箱体内。闭式传动多用于重要传动。在开式传动中，齿轮是外露的，粉尘容易落入啮合区，且不能保证良好的润滑，因此轮齿易于磨损。开式传动多用于低速传动和不重要的场合。
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机械设计基础
(a) (b) (c)
(d)
(e) (f) (g)
图2.1 齿轮传动的类型
2.1.2 齿轮的精度
国家标准对各类齿轮的精度作了详尽规定，精度等级由高到低依次为1～12级。设计时应根据传动的用途、使用条件、传递功率、圆周速度等，合理确定齿轮的精度等级。对于一般用途的齿轮，其精度在6～9级范围内选取。表2-1给出了6～9级精度齿轮的推荐应用场合。
表2-1 6～9级精度齿轮的应用
精度等级
圆周速度v (m×s -1)
直齿圆柱齿轮 斜齿圆柱齿轮 ≤15 ≤10 ≤5
≤25 ≤17 ≤10 ≤3.5
直齿锥齿轮 ≤9 ≤6 ≤3 ≤2.5
应 用
高速重载的齿轮传动，如飞机、汽车和机床中的重要齿轮；分度机构的齿轮传动 高速中载或中速重载的齿轮传动，如标准系列减速箱中的齿轮、汽车和机床中的齿轮等 机械制造中对精度无特殊要求的齿轮 低速不重要的齿轮
6 7 8 9
≤3
2.2 渐开线及渐开线直齿圆柱齿轮
齿轮传动是通过齿轮和轮齿传递运动和动力的。齿廓曲线必须满足的基本要求之一是
保证传动的瞬时传动比不变。能够满足这一要求的齿廓曲线很多，如渐开线、摆线和圆弧等。但考虑到制造、安装、强度等多方面的因素，目前机械中仍以渐开线齿廓应用最广，因此本章只讨论渐开线齿轮传动。
·
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第2章 齿轮传动
2.2.1 渐开线的形成和性质
1. 渐开线的形成
如图2.2所示，当直线L 沿半径为r b 的圆周作纯滚动时，直线上任一点K 的轨迹称为该圆的渐开线，这个圆称为渐开线的基圆，直线L 称为渐开线的发生线。
2. 渐开线的性质
由渐开线的形成可知，渐开线具有下列性质：
(1) 因为发生线在基圆上作纯滚动，所以发生线在基圆上滚过的长度KN 等于基圆上相应的弧长 AN 。
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(2) 切点N 是渐开线上K 点处的曲率中心，线段KN
图2.2 渐开线的形成
是渐开线上K 点的曲率半径，显然，渐开线上不同点处，曲率半径不同，越接近基圆部分，曲率半径越小。
(3) 发生线KN 是渐开线上K 点处的法线，而发生线始终与基圆相切，所以渐开线上任一点处的法线必与基圆相切。
(4) 渐开线上任一点K 的受力方向(即该点处的法线方向) 与该点速度v K 方向之间所夹的锐角αK ，称为该点的压力角。由图知压力角αK 等于∠KON ，于是
ON r b
cos αK == (2.1)
OK r K
式(2.1)表明，随着向径r K 的改变，渐开线上不同点的压力角不等，越接近基圆部分，压力角愈小，渐开线在基圆上的压力角等于零。
由图2.2可以看出，K 点的压力角αK 愈小，法向力F n 沿K 点速度v K 方向的分力F n cos αK 就越大，传力性能也就越好。
(5) 渐开线的形状与基圆半径有关(如图2.3所示) 。基圆半径愈大，渐开线愈趋于平直，当基圆半径为无穷大时，渐开线则成为直线。齿条相当于基圆半径无穷大的渐开线齿轮，因此具有直线齿廓[如图2.1(c)所示]
。
(6) 基圆内无渐开线。
图2.3 不同基圆半径的渐开线形状
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机械设计基础
2.2.2 渐开线直齿圆柱齿轮
1. 齿槽、齿宽、齿顶圆、齿根圆
图2.4所示为渐开线直齿圆柱齿轮的一部分，其轮齿的两侧齿廓由形状相同、方向相反的渐开线曲面组成。相邻两齿之间的空间称为齿槽；沿轴向量得的尺寸b 称为齿宽；轮齿顶部所在的圆称为齿顶圆，其直径称为顶圆直径，用d a 表示；齿槽底部所在的圆称为齿根圆，其直径称为根圆直径，用d f 表示。
图2.4 齿轮各部分名称
2. 齿厚、齿槽宽、齿距
在任意直径d K 的圆周上，同一轮齿两侧齿廓间的弧长称为该圆的齿厚，用s K 表示；同一齿槽两侧齿廓间的弧长称为该圆的齿槽宽，用e K 表示；相邻两齿同侧齿廓间的弧长称为该圆的齿距，用p K 表示。显然p K =s K +e K 。如果用z 表示齿轮的齿数，则有
πd K =zp K
所以
d K =
p K
z π
3. 分度圆、模数、压力角
对于同一个齿轮不同的圆周，其齿距p K 不同，比值p K /π也就不同，且含有无理数π， 使得计算和测量都不方便。另外，由渐开线的性质可知，不同的圆周，压力角αK 也不相同。为便于设计、制造和互换，在齿顶圆和齿根圆之间取一个圆作为计算的基准圆，称为
分度圆。分度圆上的齿距、齿厚、齿槽宽和压力角简称为齿轮的齿距、齿厚、齿槽宽和压力角，分别用p 、s 、e 、α表示，直径用d 表示，并且
(1) 令压力角α为标准值，我国规定α=20°。 (2) 定义齿距p 与π的比值为模数，用m 表示，即
p
m = (2.2)
π
我国规定的标准模数系列见表2-2。
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第2章 齿轮传动
表2-2 标准模数系列
第一系列 第二系列
… 1.5 2 2.5 3 4 5 6 8 10 12 16 20 25 32 40 50
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(mm)
… 1.75 2.25 2.75 (3.25) 3.5 (3.75) 4.5 5.5 (6.5) 7 9 (11) 14 18 22 28 36 45
注：1. 本表摘自GB/T1357—1987。
2. 优先选用第一系列，括号内的数值尽可能不用。 3. 对于斜齿圆柱齿轮，表中值为法向模数。
这样，分度圆即可定义为具有标准模数和标准压力角的圆。
模数是齿轮几何尺寸计算的一个基本参数。引入模数后，齿轮分度圆直径和齿距分 别为
d =mz (2.3) p =πm (2.4)
可见，模数越大，齿距越大，轮齿越厚，因此轮齿抗弯曲的能力也就越强。 根据式(2.1)，基圆直径为
d b =d cos α=mz cos α (2.5) 4. 齿顶高、齿根高、齿高
齿轮的齿顶圆和分度圆之间的径向距离称为齿顶高，用h a 表示；分度圆与齿根圆之间的径向距离称为齿根高，用h f 表示；齿顶圆与齿根圆之间的径向距离称为齿高，用h 表示。并且
h a =h a *m
h =h a +h f =(2h a *+c *) m
式中：h a *——齿顶高系数，国家标准规定：正常齿h a *=1，短齿h a *=0.8；
h f =h a +c =(h a *+c *) m
c ——顶隙，即一对齿轮啮合时，一齿轮顶圆与另一齿轮根圆之间的径向距离，
c =c *m ；
c *——顶隙系数，国家标准规定：正常齿c *=0.25，短齿c *=0.3。 在没有特殊说明的情况下，本书讨论的都是正常齿齿轮。 这样，顶圆直径d a 和根圆直径d f 的计算公式分别为
d a =d +2h a =m (z +2h a *)
(2.7)
d f =d −2h f =m (z −2h a *−2c *)
5. 标准齿轮
具有标准模数、标准压力角、标准齿顶高系数和标准顶隙系数，且分度圆齿厚等于分
度圆齿槽宽的齿轮称为标准齿轮。对于标准齿轮，有
p πm
e =s == (2.8)
22
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机械设计基础
正常齿标准直齿圆柱外齿轮的几何尺寸计算见表2-3。
表2-3 正常齿标准直齿圆柱外齿轮的主要参数和几何尺寸
名 称
齿 数 压 力 角 齿 顶 高 齿 根 高 齿 高 分度圆直径 基圆直径 顶圆直径 齿 距 齿 厚 齿 槽 宽
代 号
计 算 公 式 与 说 明
依照工作条件选定
m
α
h a c h f
α=20°
h a =h a *m ，其中h a *=1 c =c *m ， 其中c *=0.25 h f =h a +c =1.25m h =h a +h f =2.25m
h d d b d a d f
d =mz
d b =d cos α=mz cos α d a =d +2h a =m (z +2) d f =d −2h f =m (z −2.5)
p s e
p =πm s =p /2=πm /2 e =p /2=πm /2
2.3 渐开线齿轮传动及齿廓啮合特性
2.3.1 节点、节圆、啮合线和啮合角
如图2.5所示，一对相啮合渐开线齿轮的齿廓E 1和E 2在任一点K 接触，齿轮1驱动齿轮2，两轮的角速度分别为ω1和ω2。过K 点作两齿廓的公法线，由渐开线的性质可知，这条公法线必与两轮基圆相切，即为两轮基圆的内公切线，切点是N 1和N 2。当齿轮安装完之后，两轮的位置不再改变，两基圆沿同一方向的内公切线只有一条，所以其内公切线N 1N 2与两轮连心线O 1O 2必交于定点C ，这个定点称为节点。以轮心为圆心，过节点所做的圆称为节圆，两轮节圆直径分别用d 1' 和d 2' 表示。
由于齿廓E 1和E 2无论在何处接触，其接触点K 均应在两基圆的内公切线N 1N 2上，故称直线N 1N 2为啮合线。啮合线与两轮节圆的内公切线所夹的锐角α' 称为啮合角。显然啮合角在数值上等于齿廓在节点处的压力角。
齿轮只有在相互啮合时，才有节圆和啮合角，单个齿轮没有节圆和啮合角。 2.3.2 渐开线齿廓啮合特性
1. 瞬时传动比恒定性
可以证明，在图2.5中，两轮的传动比为
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第2章 齿轮传动
i =
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ω1d 2′
=
2d 1′
d 2′
一定为常数。这表明，′d 1
由于两轮连心线O 1O 2为定长，节点C 又为定点，因此比值
一对渐开线齿轮传动具有瞬时传动比恒定的特性，因而符合齿轮传动的基本要求。
由上式可得
ω1d 1′=
ω2d 2′
这说明两个齿轮在节点处具有相同的圆周速度，即一对齿轮传动相当于两节圆柱作纯滚动。
图2.5 渐开线齿廓的啮合
2. 中心距可分性
在图2.5中，因为△O 1N 1C ∽△O 2N 2C ，所以
ωO C d ′d
i =1=2=2=b2 (2.9) ω2O 1C d 1′d b1
上式表明，一对渐开线齿轮的传动比等于两轮基圆直径的反比。
一对相互啮合的齿轮，其回转中心之间的距离称为齿轮传动的中心距。由于制造、安装的误差，以及在运转过程中轴的变形、轴承的磨损等原因，均可使齿轮传动的实际中心距与设计值有微小的差异。但一对渐开线齿轮制成后，其基圆直径不再改变。因此，当实际中心距较设计值产生误差时，其传动比仍保持不变。这就是渐开线齿轮传动的中心距可分性，这个特性也是渐开线齿轮传动得到广泛应用的重要原因。
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机械设计基础
需要指出，对于标准齿轮，这一可分性只限于制造、安装误差和轴的变形、轴承磨损等微量范围内，当中心距增大时，两轮齿侧的间隙会增大，传动时会产生冲击和噪声。
3. 齿廓间的相对滑动
由图2.5可知，两齿廓接触点K 在其公法N 1N 2上的分速度必定相等，否则两轮的齿面或者被压遗，或者分离而不能传动。但两轮在其公切线上的分速度却不一定相等，因此在啮合传动时，齿廓间将产生相对滑动，从而引起摩擦损失并导致齿面磨损。
因为两轮在节点处的速度相等，所以节点处齿廓间没有相对滑动。距节点越远，齿廓间的相对滑动速度越大。
2.3.3 渐开线齿轮正确啮合的条件
图2.6所示为一对渐开线齿轮啮合传动，N 1N 2是啮合线，前一对轮齿在K 点接触，后一对轮齿在B 2点接触。要使齿轮正确啮合，两齿轮的法向齿距B 1K 与B 2K 必须相等。由渐开线的性质可知，两齿轮的法齿距分别等于各自的基圆齿距，即p b1=p b2，而
πd πd cos α1
p b1=b1=1=πm 1cos α1
z 1z 1
p b2=πm 2cos α2
因此，渐开线齿轮正确啮合的条件可以写成 m 1cos α1=m 2cos α2
图2.6 渐开线齿轮啮合传动
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第2章 齿轮传动
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由于模数和压力角都已标准化，所以实际上渐开线齿轮正确啮合的条件为两齿轮的压力角和模数必须分别相等，并等于标准值，即
α1=α2=α
(2.10)
m 1=m 2=m
根据渐开线齿轮正确啮合的条件，其传动比还可以进一步表示为 ωd d cos αd 2mz 2z 2
(2.11) === i =1=b2=2
2d b1d 1cos d 1mz 1z 1
一对正确啮合的标准齿轮，由于一个齿轮的分度圆齿厚与另一齿轮的分度圆齿槽宽相等，所以在安装时，只有使两轮的分度圆相切，即分度圆和节圆后重合，才能使齿侧的理论间隙为零。这时的中心距a 称为正确安装的标准中心距，且
11m
a =(d 1' +d 2') =(d 1+d 2) =(z 1+z 2) (2.12)
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标准齿轮正确安装时，啮合角在数值上等于分度圆上的压力角，即α' =α。 2.3.4 渐开线齿轮连续传动的条件
1. 实际啮合线段与理论啮合线段
如图2.6所示，一对齿廓的啮合由从动轮2的齿顶圆与啮合线N 1N 2的交点B 2开始，这时齿轮1的根部推压齿轮2的齿顶。随着齿轮的转动，两齿廓的啮合点沿着啮合线向左下方移动。当啮合点移到主动轮1的齿顶圆与啮合线N 1N 2的交点B 1时，这对齿廓将终止啮合。所以B 1B 2是齿廓啮合的实际啮合线段，而N 1N 2则是理论上可能的最大啮合线段，称为理论啮合线段。
2. 连续传动的条件
如果当一对轮齿在啮合的终止点B 1之前的K 点啮合时，后一对轮齿就已经到达啮合的起始点B 2，则传动就能连续进行。这时实际啮合线段B 1B 2的长度大于齿轮的法向齿距B 2K 。若B 1B 2的长度小于齿轮的法向齿距B 2K ，则前一对轮齿在B 1点脱离啮合时，后一对轮齿尚未到达啮合的起始位置B 2点，此时传动就要中断，并将产生冲击。
因此，一对齿轮连续传动的条件应该是：实际啮合线段B 1B 2的长度大于或等于齿轮的法向齿距B 2K ，而B 2K =p b ， 所以齿轮连续传动的条件为B 1B 2≥p b ，即
B B
(2.13) ε=12≥1
p b 式中：ε——重合度。
理论上ε=1就能保证一对齿轮连续传动，但由于齿轮的制造和安装误差以及啮合中轮齿的变形等原因，实际上应使ε>1。一般机械制造中，常取ε≥1.1~1.4。
【例2.1】 一对标准直齿圆柱齿轮传动，齿数z 1=20，传动比 i =3.5
，模数m =5mm，求两齿轮的分度圆直径、顶圆直径、根圆直径、齿距、齿厚及中心距。
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机械设计基础
解
【例2.2】 现有一正常齿标准直齿圆柱齿轮，测得顶圆直径d a =134.8mm，齿数z =25。求齿轮的模数m ，分度圆上渐开线的曲率半径ρ及直径d K =130mm圆周上渐开线的压力角
αK 。
2.4 渐开线齿轮轮齿的切削加工
2.4.1 轮齿的切削加工原理
轮齿的成形方法有铸造法、热轧法、切削法等。渐开线齿轮轮齿的切削方法按其原理
不同又分为仿形法和展成法两类。
1. 仿形法
仿形法是最简单的切齿方法。轮齿是在普通铣床上用盘状齿轮铣刀(如图2.7(a)所示) 或
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指状齿轮铣刀[如图2.7(b)所示]铣出的。铣刀的轴平面形状与齿轮的齿槽形状相同。铣齿时，把齿轮毛坯安装在铣床工作台上，铣刀绕自身的轴线旋转，同时齿轮毛坯随铣床工作台沿
360
°
再铣第二个齿槽，直至齿轮轴线方向作直线移动。铣出一个齿槽后，将齿轮毛坯转过z
加工出全部轮齿。
(a) 用盘状齿轮铣刀切齿 (b) 用指状齿轮铣刀切齿
图2.7 仿形法加工轮齿
仿形法的优点是加工方法简单，不需要专门的齿轮加工设备。缺点是加工出的齿形不够准确，轮齿的分度不易均匀，生产率也低。因此仿形法只适用于修配、单件生产以及加工精度要求不高的齿轮。
2. 展成法
展成法是利用轮齿的啮合原理切削轮齿齿廓。这种方法采用的刀具主要有插齿刀和滚刀。由于加工精度较高，所以是目前轮齿切削加工的主要方法。
1) 插齿加工
图2.8(a)所示为用插齿刀在插齿机上加工轮齿的情形。插齿刀实际上就是一个在轮齿上磨出前、后角而产生切削刃的齿轮，其模数和压力角与被加工齿轮相同，刀具齿顶比传动齿轮高出顶隙c 的距离，以保证切制的齿轮在传动时具有顶隙。加工过程中，在插齿刀作上下往复切削运动的同时，通过机床传动系统迫使刀具与被加工的齿轮轮坯模仿一对齿轮的传动作相对转动，直至切出全部齿槽。这样切削出来的轮齿齿廓，是插齿刀相对轮坯运动过程中刀刃各位置的包络线，如图2.8(b)所示，为渐开线齿形。图中的让刀运动是为了避免插齿刀在空行程时与齿面产生摩擦。
由于插齿加工是应用一对齿轮的啮合关系来切制齿廓，所以加工出来的齿形准确，分度均匀。插齿加工适于加工双联或三联齿轮，也可以加工内齿轮。但由于有空回行程，是间断切削，所以生产率不高。用插齿刀加工斜齿轮也不方便。
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(a) 加工轮齿 (b) 渐开线齿形
图2.8 用插齿刀加工轮齿
1—插齿刀 2—被加工的齿轮轮坯
2) 滚齿加工
当插齿刀的齿数增加到无穷多时，其基圆半径变为无穷大，插齿刀的齿廓成为直线，插齿刀变成了如图2.9(a)所示的齿条插刀。图2.9(b)所示为齿条插刀的刀刃形状，其齿顶比传动齿条的齿顶高出c 的距离，同样是为了保证传动时的顶隙。但齿条刀具的长度有限，难于加工齿数较多的齿轮。为此，常采用图2.10所示的滚刀在滚齿机上加工齿轮。图中滚刀的外形类似开了纵向沟槽的螺杆，开沟槽的目的是为了产生切削刃。滚刀轴平面的齿形与齿条插刀相同。当滚刀转动时，相当于图中双点划线所示的假想无限长的齿条插刀连续地向一个方向移动，齿轮轮坯相当于与齿条插刀作啮合运动的齿轮，从而滚刀按照齿轮啮合原理在齿轮轮坯上连续切出渐开线齿廓。与此同时，滚刀沿着齿轮轮坯轴向缓慢移动，切出整个齿宽的齿廓。
(a) 齿条插刀 (b) 刀刃形状
图2.9 用齿条插刀加工轮齿
1—齿条插刀 2—被加工的齿轮轮坯
用滚刀加工齿轮本质上与用齿条插刀加工齿轮相同，所以加工精度高，而且滚刀连续切削，没有空回行程，因此生产率高，目前应用较广。应用滚刀还可以加工斜齿轮，但不能切削双联或三联齿轮，也不能切削内齿轮。
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图2.10 用滚刀加工轮齿
1—滚刀 2—被加工的齿轮轮坯
2.4.2 切齿干涉和最少齿数
如图2.11所示，用展成法加工齿轮时，若齿数过少，刀具顶线就会超过理论啮合线的上界点N 1，这时刀刃将会切去一部分轮齿根部的渐开线齿廓，这种现象称为切齿干涉。发生切齿干涉后，齿根失去部分渐开线，齿轮不能正确啮合；重合度减小，传动不平稳；
轮齿根部被削弱，抗弯能力降低。故应该设法避免。
可以推导，用齿条刀具加工渐开线直齿圆柱齿轮时，不发生切齿干涉的最少齿数为
2h a *
z min = (2.14)
sin 2对于正常齿标准直齿圆柱齿轮，α=20°，h a *=1，因此不发生切齿干涉的最少齿数为17。 2.4.3 变位齿轮的概念
图2.11 切齿干涉
当齿条刀具的中线与被加工齿轮的分度圆相切时，加工出来的齿轮分度圆齿厚等于分度圆齿槽宽，这种齿轮是标准齿轮。若齿条刀具的中线不与被加工齿轮的分度圆相切，则加工出来的齿轮分度圆齿厚不再等于分度圆齿槽宽，这种齿轮称为变位齿轮。例如由于某些原因，需要齿轮的齿数z ＜z min ，为了不发生切齿干涉，可将齿条刀具向远离齿轮毛坯中心方向移出一段距离，使刀具顶线不超过N 1 点，从而切制满足需要的变位齿轮。
变位齿轮传动，可以用来改变不发生切齿干涉的最少齿数、提高齿轮传动的性能和承载能力、满足中心距的某种要求等，而且切制变位齿轮时所使用的刀具和机床同切制标准齿轮时完全一样，只是在切削时，刀具的位置不同而已。所以，变位齿轮传动在现代机械中，得到了广泛的应用。变位齿轮必须成对设计与计算，有关变位齿轮的几何尺寸计算，可参阅《机械原理》教材等。
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机械设计基础
2.5 轮齿的失效形式和齿轮材料
齿轮的轮齿是传递运动和动力的关键部位，也是齿轮的薄弱环节，故齿轮的失效主要发生在轮齿。
2.5.1 轮齿的失效形式
轮齿的主要失效形式有以下五种：
1. 轮齿折断
轮齿折断是轮齿失效中最危险的一种形式，它不仅导致齿轮传动丧失工作能力，而且可能引起设备和人身安全事故。轮齿折断有疲劳折断和过载折断两种类型。
1) 疲劳折断
疲劳折断是循环弯曲应力作用的结果。齿轮工作时，作用在轮齿上的载荷使轮齿根部产生循环变化的弯曲应力，而且在齿根过渡曲线处存在应力集中。在载荷多次重复作用下，当应力达到一定数值时，齿根受拉一侧会出现疲劳裂纹，如图2.12所示。随着载荷作用次数的增加，裂纹不断扩展，齿根剩余截面积不断缩小，剩余截面上的应力逐渐增大。当齿根剩余截面上的应力超过齿轮材料的极限应力时，轮齿发生折断。
2) 过载折断
过载折断是由于短时的严重过载或冲击载荷，使轮齿因静强度不足而发生的突然折断。
2. 齿面疲劳点蚀
轮齿工作时齿廓曲面上将产生循环变化的接触应力。当接触应力超过表层材料的接触疲劳极限时，齿面就会出现疲劳点蚀。从观察实际失效齿轮得知，疲劳点蚀一般多出现在齿根表面靠近节线处，如图2.13所示。
齿面疲劳点蚀是闭式软齿面齿轮传动的主要失效形式。在开式传动中，由于齿面磨损较快，在没有形成疲劳点蚀之前，部分齿面已被磨掉，因而一般看不到点蚀现象。
图2.12 齿根的疲劳裂纹
图2.13 齿面点蚀和胶合
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第2章 齿轮传动
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3. 齿面胶合
从宏观上看，轮齿表面是十分光滑的。但从微观上看，轮齿表面却是凹凸不平的。正常工作时，齿面被润滑油膜覆盖着。在低速重载时，齿面间不易形成润滑油膜；在高速重载时，由于啮合区的温升使润滑油黏度降低，从而使润滑油膜破裂。这些均会导致两齿面金属直接接触，出现峰点粘着现象。随着齿面间的相对滑动，粘着点被撕脱，从而在较软齿面上留下与滑动方向一致的粘撕沟痕，如图2.13所示，这种现象称为胶合。
4. 齿面磨粒磨损
齿轮传动时，由于两齿廓间的相对滑动，在载荷作用下齿面会产生磨粒磨损。灰尘、污物、金属微粒进入啮合齿面间也会起到磨粒作用，产生磨粒磨损。在开式传动中，轮齿暴露在外，齿面磨粒磨损是轮齿失效的主要形式。齿面磨损严重时，不仅失去了正确的齿形，而且轮齿变薄，易引起折断。
5. 齿面塑性变形
在重载作用下，较软的齿面在节线处产生局部的塑性变形，使齿面失去正确的齿形。这种失效形式多发生在低速、重载和起动频繁的软齿面传动中。
在齿轮设计中，除遵循正确的设计准则外，提高齿面硬度、降低齿面粗糙度值、增大齿根过渡曲线圆角半径、选用黏度较大的润滑油，均可减少或避免上述失效形式的发生。 2.5.2 齿轮的材料
由轮齿的失效形式可知，齿面应具有较高的抗点蚀、耐磨损、抗胶合以及抗塑性变形的能力，齿根要有较高的抗折断能力。因此，齿轮材料应具有齿面硬度高、齿芯韧性好的基本性能。此外还应具有良好的加工性能，以便获得较高的表面质量和精度，而且热处理变形小。常用的齿轮材料是锻钢，其次是铸钢和铸铁，某些情况下，也采用非金属材料，如尼龙、聚甲醛等。这里介绍锻钢、铸钢和铸铁。
1. 锻钢
钢制齿轮的毛坯一般用锻造方法获得，锻钢金属内部组织细密。按齿面硬度不同齿轮可分为软齿面齿轮和硬齿面齿轮两类。
1) 软齿面齿轮
软齿面齿轮的齿面硬度≤350HBS 。这类齿轮常用35、45、40Cr 、35SiMn 等中碳钢或中碳合金钢，经调质或正火后再进行切削精加工。由于小齿轮转速高于大齿轮，即小齿轮轮齿的啮合次数较大齿轮多，并且在标准齿轮传动中，小齿轮齿根厚度较小，所以小齿轮的齿面硬度最好比大齿轮齿面硬度高出30HBS ～50HBS 。这类齿轮制造工艺简单，多用于对强度、硬度和精度没有过高要求的一般机械中。
2) 硬齿面齿轮
硬齿面齿轮的齿面硬度大于350HBS 。这类齿轮常用20Cr 、20CrMnTi 等低碳合金钢经表面渗碳淬火，或45、40Cr 等中碳钢、中碳合金钢经表面淬火，齿面硬度通常为40HRC ～65HRC ，而齿芯韧性较好。因为齿面硬度高，所以要在切齿加工后再进行最终热处理。为了消除热处理引起的轮齿变形，还需对轮齿进行磨削或研磨。这类齿轮制造工艺复杂，多
·19·
·20·
机械设计基础
用于高速、重载、要求尺寸和重量较小的机械中，如航空发动机、机床、汽车及拖拉机等。
2. 铸钢
当齿轮结构很复杂，或直径大于400mm 以上，齿轮毛坯不易锻造时，可采用铸钢，如ZG270－500、ZG310－570、ZG340－640等。因为铸造收缩率大，内应力大，所以需进行正火或回火处理，以消除其内应力。
3. 铸铁
铸铁中的石墨有自润滑作用。但其抗弯强度和抗冲击能力较低，所以铸铁主要用于开式、低速轻载、无冲击及尺寸较大的齿轮转动中。常用的铸铁有HT200、HT300和QT500－7等。
表2-4所列为几种常用的齿轮材料。
表2-4 几种常用的齿轮材料
材 料
热处理方法
齿面硬度
接触疲劳极限 σH lim (MPa )
弯曲疲劳极限 σFlim (MPa )
正火～217HBS
45
调质～286HBS 表面淬火～50HRC 调质～285HBS
40Cr
表面淬火～55HRC 渗碳淬火～62HRC 正火～207HBS —～255HBS —～241HBS
0.87 HBS HBS +275 10 HRC +670
HRC ＜52时，10.5 HRC +195 HRC ≥52时，740
10 HRC +670
HRC ＜52时，10.5 HRC +195 HRC ≥52时，740
20Cr ZG310－570 HT300 QT500－7
0.75 HBS HBS +220
HBS HBS +20 1.3 HBS HBS +220
注：1. 本表是根据GB/T10063—1988按MQ 级(中等质量要求) 编制的。
2. 计算式中斜体的HBS 和HRC 分别表示布氏和洛氏硬度值，其余HBS 和HRC 为硬度单位。
2.6 直齿圆柱齿轮的强度计算
2.6.1 轮齿的受力分析和计算载荷
1. 受力分析
轮齿的受力不仅是齿轮强度计算的依据，也是轴和轴承设计计算的基础。图2.14所示
为一对外啮合直齿圆柱齿轮传动的受力分析，忽略齿面间的摩擦，并用作用在分度圆齿宽中点处沿啮合线方向的集中法向力F n 代替均布载荷。将F n 分解为互相垂直的两个分力
·20·
第2章 齿轮传动
切向力 F t =
·21·
2T 1
d 1
径向力 F r =F
t tan α(2.15)
F 2T 1
法向力 F n =t =
cos αd 1cos α
式中：T 1——作用在小齿轮上的转矩(N ⋅mm ) ；
d 1——小齿轮分度圆直径(mm)； α——分度圆压力角； 力的量纲是N 。
作用在主动轮和从动轮上的各对作用力与反作用力大小相等，方向相反。主动轮上切向力方向与受力点运动方向相反，从动轮上切向力的方向与受力点运动方向相同；径向力的方向分别指向各自的轮心。
图2.14 直齿圆柱齿轮传动的受力分析
2. 计算载荷与载荷系数
由式(2.15)计算出的法向力F n 是名义载荷。实际上，由于制造误差，轮齿、轴和轴承
受载后的变形，以及传动中工作载荷和速度的变化等，使轮齿上所受的实际载荷大于名义载荷，所以轮齿强度计算应按计算载荷F nc 计算。
2KT 1
(2.16) F nc =KF n =
d 1cos α
式中：K ——载荷系数，粗略计算时可取K =1.2～2。当载荷平稳、齿宽系数ψd =b /d 1较小、
齿轮相对轴承对称布置、轴的刚性较大、齿轮精度较高以及软齿面时，取较小值；反之取较大值。
2.6.2 齿面接触疲劳强度计算
齿面的疲劳点蚀与齿面间接触应力有关。齿轮传动在节点处多为一对轮齿啮合，实践
·21·
·22·
机械设计基础
也证明齿面点蚀多发生在节线附近。因此，选择齿轮传动的节线处作为接触应力的计算 部位。
将一对外齿轮在节线处的啮合，近似地看成半径分别为ρ1、ρ2的两圆柱体沿齿宽b 压紧，如图2.15所示。ρ1、ρ2分别为两渐开线齿廓在节点处的曲率半径。由于弹性变形，接触区域实际是一窄平面，窄平面表层上接触应力的分布如图所示。由弹性力学知，在窄平面的中心，接触应力最大，其值为
σH =Z (2.17)
图2.15 齿面的接触应力
对于标准直齿圆柱齿轮传动，ρd 11=N 1C =
2sin α，ρd
2=N 2C =22sin α，于是1+1=ρ2+ρ1=2(d 2+d 1) =2(d 2/d 1+1) d =2×i +1
i 1212d 1d 2sin 1(d 2/d 1)sin d 1sin 用F =2KT 1
nc d 代替式(2.17)中的F n ，则
1cos α
σH =Z =Z
令Z H =
，可得齿面接触疲劳强度校核式
σH =Z E Z [σ]H 引入齿宽系数ψd =b /d 1，可得齿面接触疲劳强度设计式
d
1·22·
(2.18) (2.19)
第2章 齿轮传动
式中：Z E ——弹性系数，其值与两个齿轮的材料有关，见表2-5；
Z H ——节点区域系数，对于标准直齿圆柱齿轮传动，Z H =2.5；
·23·
b ——齿轮的有效接触宽度(mm)，通常取b 2=b ，b 1=b +(5～10)mm ，b 1、b 2 分别为小齿轮和大齿轮的齿宽；
[σ]H ——许用接触应力(MPa)，设计时，应取两轮中较小的值代入式(2.19)；
i —— 传动比；
T 1 ——主动轮的转矩(N ⋅mm ) ； d 1 ——小齿轮分度圆直径(mm)。
表2-5 弹性系数Z E
大 齿 轮 材 料
钢
小齿轮材料
铸钢 球墨铸铁 灰铸铁
— — —
钢
铸 钢
球墨铸铁
灰 铸 铁
— —
—
2.6.3 齿根弯曲疲劳强度计算
轮齿的疲劳折断与齿根弯曲应力有关。在计算齿根弯 曲应力时，可以把轮齿看作悬臂梁，按最不利的情况考虑：① 只有一对轮齿承受全部载荷F n ；② 载荷作用在齿顶上
[如图2.16所示]。
将F n 沿作用线方向移到轮齿中线处，并分解成互相垂直的两个分力。分力F n cos αF 使齿根产生弯曲应力和切应力，分力F n sin αF 使齿根产生压应力。先略去切应力和压应力，只计算弯曲应力。设轮齿危险载面的厚度为s F ，危险截面与分力F n cos αF 的距离为h F ，则危险截面上的弯曲应力为
图2.16 轮齿受弯
σF =
以计算载荷
F nc =
M F n cos αF h F
=
b W 2s F 6
2KT 1
代替F n ，经整理有
d 1
cos α
2KT 16(h F /m )cos αF
σF =
bd 1m (s F /m ) 2cos 6(h F /m )cos αF
令Y Fa =，称为齿形系数，它只与齿形有关，而与模数m 无关；再考虑
(s F /m ) 2cos 齿根过渡曲线处应力集中效应，以及切应力和压应力的影响，引入应力修正系数Y Sa ，可得齿根应力
·23·
·24·
机械设计基础
2KT 1
Y Fa Y Sa bd 1m
引入复合齿形系数Y FS =Y Fa Y Sa ，可得齿根弯曲疲劳强度校核式
2KT 1
σF =Y FS ≤[σ]F (2.20)
bd 1m
引入齿宽系数ψd =b /d 1，并将d 1=mz 1代入上式整理，可得齿根弯曲疲劳强度设计式
σF =
m
(2.21)
式中：Y FS ——复合齿形系数，见表2-6；
m ——齿轮的模数(mm)；
[σ]F ——许用齿根弯曲应力(MPa)； z 1 —— 小齿轮的齿数。
其余各参数的意义与量纲同前。
Y Y
设计时，应以FS1和FS2中较大者代入式(2.21)，并将求得的模数按表2-2圆整为标
[σ]F1[σ]F2
准值。
表2-6 复合齿形系数Y FS
z (z v ) Y FS z (z v ) Y FS 注：本表根据GB/T10063—1988编制。
2.6.4 许用应力
1. 许用接触应力
S H
式中：σH lim ——试验齿轮的接触疲劳极限(MPa)，见表2-4；
S H —— 接触强度最小安全系数，简化计算时可取S H =1。
[σ]H =
σH lim
(2.22)
2. 许用齿根弯曲应力
[σ]F =
(2.23) S F
式中：σFlim ——试验齿轮的弯曲疲劳极限(MPa)，单向运转时按表2-4查取，双向运转时
应将表2-4中数值乘以0.7；
S F —— 弯曲强度最小安全系数，简化计算时可取S F =1.4。
σFlim
·24·
第2章 齿轮传动
2.6.5 参数的选择
·25·
1. 齿数和模数
对于闭式软齿面齿轮传动，传动的尺寸主要取决于齿面接触疲劳强度。因此，在保持分度圆直径不变并满足弯曲疲劳强度要求的前提下，可选用较多的齿数。这样有利于增大重合度，使传动平稳。同时由于模数的减小，又可减少齿轮毛坯的金属切削量，降低齿轮制造成本。通常取z 1=20~40。
对于闭式硬齿面齿轮传动和开式齿轮传动，传动的尺寸主要取决于轮齿的弯曲疲劳强度，故可采用较少的齿数以增加模数。但对于标准齿轮，为了避免切齿干涉，通常取z 1=17~20。
2. 齿宽系数
增大齿宽能缩小齿轮的径向尺寸，但齿宽越大，载荷沿齿宽分布越不均匀。通常齿宽系数ψd 可按表2-7选取。
表2-7 齿宽系数ψd =b /d 1
齿 面 硬 度
齿轮相对于轴承的位置 对称布置 非对称布置 软 硬 面
(大轮或大、小轮硬度≤350HBS) 0.8～1.4 0.6～1.2 0.3～0.4
0.4～0.9 0.3～0.6 0.2～0.25
硬 齿 面
(大、小轮硬度＞350HBS)
3. 传动比
一对齿轮的传动比i 不宜过大，否则将增加传动装置的结构尺寸，且使两齿轮轮齿的应力循环次数差别太大。因此，一般取直齿圆柱齿轮的传动比i ≤5。 2.6.6 齿轮传动的设计准则
齿轮传动的设计准则依其失效形式而定。对于一般用途的齿轮传动，通常只按齿根弯曲疲劳强度及齿面接触疲劳强度进行设计计算。
在闭式齿轮传动中，齿面点蚀和轮齿折断两种失效形式均可能发生，所以需计算两种强度。对于闭式软齿面齿轮传动，其抗点蚀能力比较低，所以一般先按接触疲劳强度进行设计，再校核其弯曲疲劳强度；对于闭式硬齿面齿轮传动，其抗点蚀能力较高，所以一般先按弯曲疲劳强度进行设计，再校核其接触疲劳强度。
在开式齿轮传动中，主要失效形式是齿面磨粒磨损和轮齿折断。因为目前齿面磨损尚无可靠的计算方法，所以一般只计算齿根弯曲疲劳强度，考虑磨损会使齿厚变薄，从而降低轮齿的弯曲强度，一般将计算出的模数增大10%～15%，然后再取标准值。
【例2.3】 设计一单级直齿圆柱齿轮减速器中的齿轮传动。已知传递功率P =10kW，输入轴转速n 1=750r/min，传动比i =4，单向运转，载荷平稳。
·25·
·26·
机械设计基础
解 一般减速器对传动尺寸无特殊限制，可采用软齿面传动。小齿轮选用45钢调质，齿面平均硬度240HBS ；大齿轮选用45钢正火，齿面平均硬度200HBS 。
这是闭式软齿面齿轮传动，故可先按接触疲劳强度设计，再校核其弯曲疲劳强度。设计步骤列于下表：
·26·
第2章 齿轮传动
·27·
2.7 斜齿圆柱齿轮传动
2.7.1 齿廓曲面的形成及啮合特点
如图2.17(a)所示，直齿圆柱齿轮的齿廓曲面是发生面S 在基圆柱上作纯滚动时，发生
面上与基圆柱母线NN 平行的直线KK 在空间形成的渐开面。一对直齿圆柱齿轮啮合时，齿面接触线与齿轮的轴线平行[如图2.17(b)所示]，啮合开始和终止都是沿整个齿宽突然发生的，所以容易引起冲击、振动和噪声，高速传动时，这种情况尤为突出。
(a) (b) 图2.17 直齿圆柱齿轮齿面的形成
·27·
·28·
机械设计基础
如图2.18(a)所示，斜齿圆柱齿轮的齿廓曲面是发生面S 在基圆柱上作纯滚动时，发生面上与基圆柱母线NN 成βb 角的直线KK 在空间形成的渐开螺旋面。βb 称为基圆柱上的螺旋角。一对斜齿圆柱齿轮啮合时，齿面接触线与齿轮轴线相倾斜，如图2.18(b)所示，其长度由点到线并逐渐增长，到某一位置后，又逐渐缩短，直到脱离啮合。因此斜齿圆柱齿轮传动是逐渐进入和逐渐退出啮合，而且重合度也较直齿圆柱齿轮传动大。所以斜齿圆柱齿轮传动具有传动平稳，噪声小，承载能力大等优点，故适用于高速和大功率场合。其缺点是工作时会产生轴向力，使轴承的组合设计变得复杂。
(a) (b)
图2.18 斜齿圆柱齿轮齿面的形成
2.7.2 斜齿圆柱齿轮传动的几何参数和尺寸计算
1. 螺旋角
将斜齿圆柱齿轮的分度圆柱展开(如图2.19所示) ，该圆柱上的螺旋线便成为斜直线。斜直线与齿轮轴线间的夹角就是分度圆柱上的螺旋角，简称螺旋角，用β表示，通常取
β=8°~20°。斜齿圆柱齿轮有左旋和右旋之分，其判别方法是将齿轮轴线垂直放在面前，
靠近读者一侧的轮齿，右边高就是右旋。
图2.19 法面参数与端面参数间的关系
2. 模数和压力角
垂直于齿轮轴线的平面称为端平面，垂直于分度圆柱上螺旋线的平面称为法平面，用铣刀或滚刀加工斜齿圆柱齿轮时，刀具的进刀方向是齿轮分度圆柱上螺旋线的方向，因此
·28·
第2章 齿轮传动
·29·
斜齿圆柱齿轮的法面模数m n 和法面压力角αn 分别与刀具的模数和齿形角相同，均为标准值，法面模数m n 的标准值见表2-2，法面压力角αn 的标准值为20°。但斜齿圆柱齿轮的直径和传动中心距等几何尺寸计算，是在端平面内进行的，因此要注意法面参数与端面参数之间的换算关系。
由图2.19可得法面齿距p n 与端面齿距p t 的关系为
因为p n =πm n ，p t =πm t ，所以法面模数m n 与端面模数m t 的关系为 可以证明，法面压力角αn 与端面压力角αt 的关系为
p n =p t cos β (2.24)
m n =m t cos β (2.25)
tan αn =tan αt cos β (2.26)
3. 正确啮合条件
一对斜齿圆柱齿轮啮合时，除两轮的模数和压力角必须分别相等外，两轮的螺旋角还
必须大小相等而旋向相反，即
m n1=m n 2=m n
αn1=αn 2=
αn (2.27) β1=−β2
4. 几何尺寸计算
正常齿标准斜齿圆柱外齿轮传动的几何尺寸计算见表2-8。
表2-8 标准斜齿圆柱外啮合齿轮传动的几何尺寸
由中心距计算式可知，在法面模数m n 及齿数z 1、z 2一定的条件下，通过改变斜齿圆柱
齿轮的螺旋角β可以配凑中心距。
·29·
·30·
机械设计基础
5. 当量齿数和最少齿数
斜齿圆柱齿轮传动的强度须按法面齿形进行计算，采用仿形法加工斜齿圆柱齿轮时，也要按法面齿形选择刀具。但要精确地求出法面齿形比较困难，故通常采用近似方法，即当量齿轮法对其进行研究。
如图2.20所示，过斜齿圆柱齿轮分度圆柱面上的C 点作轮齿螺旋线的法平面n — n ，与分度圆柱面的交线为一椭圆，其长轴半径a =r /cos β，短轴半径b =r 。根据高等数学，椭圆上C 点处曲率半径为
m n z a 2(r /cos β) 2r
ρ====
b r cos 22cos 3
以ρ为半径作圆，这个圆与靠近C 点一段椭圆非常接近。若以ρ为分度圆半径，m n 为模数，αn 为压力角作一假想直齿圆柱齿轮，这一齿轮的齿形与斜齿圆柱齿轮的法面齿形十
分接近。这个假想的直齿圆柱齿轮称为该斜齿圆柱齿轮的当量齿轮，其齿数称为当量齿数，
用z v 表示，于是
m z ρ=n v
2
由以上两式得
z
z v = (2.28)
cos 3β当量齿数是假想齿轮的齿数，可以不是整数，但是总大于实际齿数。由于当量齿轮不发生切齿干涉的最少齿数为z v min =17，所以标准斜齿圆柱齿轮不发生切齿干涉的最小齿数为
z min =z v min cos 3β=17cos 3β
(2.29)
图2.20 斜齿圆柱齿轮的当量齿轮
【例2.4】 欲设计一标准斜齿圆柱齿轮传动，已知传动比i =3.5，法面模数m n =2mm ，中心距a =90mm 。试确定这对齿轮的螺旋角β和齿数，计算分度圆直径、顶圆直径、根圆直径和当量齿数。
·30·
第2章 齿轮传动
解
·31·
2.7.3 斜齿圆柱齿轮传动的强度计算
1. 受力分析
如图2.21所示，忽略齿面间的摩擦力，作用在斜齿圆柱齿轮齿面上齿宽中点处的法面
力F n 可分解为三个相互垂直的分力
2T
切向力 F t =1
d 1F t
径向力 F r =tan αn
cos β
(2.30)
轴向力 F x =F t tan β
F t
法向力 F n =
cos βcos αn
式中：T 1——作用在小齿轮上的转矩(N ⋅mm ) ；
d 1——小齿轮分度圆直径(mm)； β——螺旋角；
·31·
·32·
机械设计基础
图2.21 斜齿圆柱齿轮受力
αn ——法面压力角；
力的量纲是N 。
切向力F t 和径向力F r 方向的判定方法与直齿圆柱齿轮相同，主动轮轴向力的方向可用左右手定则判定：主动轮左旋用左手，主动轮右旋用右手，用手握住齿轮的轴线，四指弯曲的方向表示齿轮的转动方向，这时拇指的指向即为主动轮轴向力F x1的方向。从动轮轴向力F x 2的方向与之相反。
由式(2.30)可知，螺旋角越大，轴向力也越大，这就限制了斜齿圆柱齿轮传动采用较大的螺旋角。为了克服这一缺点，可采用图2.1(e)所示的人字齿轮传动，以抵消轴向力(如图2.22所示) ，所以人字齿轮可取较大的螺旋角。
图2.22 人字齿轮的受力
人字齿轮传动常用于大功率传动装置中，其缺点是制造困难。
2. 齿面接触疲劳强度计算
一对斜齿圆柱齿轮传动的强度与其当量直齿圆柱齿轮传动的强度相近，因此斜齿圆柱齿轮传动的齿面接触疲劳强度计算，仍然可以采用直齿圆柱齿轮传动的计算公式(2.18)和 式(2.19)。式中的节点区域系数Z H 按表2-9查取；载荷系数K 的取值，除考虑式(2.16)中所述各因素外，随着螺旋角的增大，应取小值。
·32·
第2章 齿轮传动
表2-9 节点区域系数Z H
·33·
β(°)
Z H
2.47
2.47
2.46
2.46
2.45
2.44
2.43
2.42
2.42
2.41
2.39
2.38
2.37
3. 齿根弯曲疲劳强度计算
斜齿圆柱齿轮传动的齿根弯曲疲劳强度校核也可采用式(2.20)，只需将模数m 改为法面模数m n ，即
2KT 1
σF =Y FS ≤[σ]F (2.31)
bd 1m n
m z
将b =ψd d 1和d 1=n 1代入式(2.31)，即得设计式
cos β
m n ≥
(2.32)
式中：β——螺旋角；
Y FS ——复合齿形系数，按
z v =z /cos 3β查表2-6； m n ——法面模数(mm)；
载荷系数K 的取值同直齿轮，但应随螺旋角的增大而取小值。其余各参数的意义与量
纲同前。
【例2.5】 现有一标准斜齿圆柱齿轮传动[如图2.23(a)所示]，已知法面模数m n =2.5mm，齿数z 1=24，z 2=106，螺旋角β=9°59'12" ，传递功率P =10kW，主动轮转速n 1=970r/min，转动方向和螺旋线方向如图所示。忽略齿面间的摩擦，计算并在图中画出作用在从动轮2上的各分力。
(a) (b) (c)
图2.23 例2.5图
·33·
·34·
机械设计基础
解
【例2.6】 设计一单级减速器中的斜齿圆柱齿轮传动，已知传递功率P =4.5kW，小齿轮转
速n 1=328r/min，传动比i =4.68 ，双向运转，载荷有中等冲击。
解 小齿轮选用40Cr 表面淬火，齿面平均硬度50HRC ；大齿轮选用45钢表面淬火，齿面平均硬度46HRC 。
这是闭式硬齿面齿轮传动，故可先按弯曲疲劳强度设计，再校核其接触疲劳强度。设计步骤列于下表：
·34·
第2章 齿轮传动
·35·
·35·
·36·
机械设计基础
2.8 直齿锥齿轮传动
2.8.1 基本参数和几何尺寸计算
锥齿轮传动用于传递相交轴间的运动和动力。本节仅讨论两轴交角Σ=90°的标准直齿
锥齿轮传动(如图2.24所示) 。
图2.24 Σ=90°的直齿锥齿轮传动
锥齿轮有分度圆锥、齿顶圆锥、齿根圆锥和基圆锥。它们的锥底圆分别称为分度圆、齿顶圆、齿根圆和基圆，这些圆的直径依次用d 、d a 、d f 和d b 表示。
一对锥齿轮传动相当于一对节圆锥作纯滚动。一对标准直齿锥齿轮传动节圆锥与分度圆锥重合。分度圆锥母线长度称为锥距，用R 表示。
分度圆锥母线与轴线间的夹角称为分度圆锥角，用δ表示。显然，轴交角Σ=δ1+δ2 =90°。
锥齿轮宽度用b 表示。为了保证锥齿轮轮齿小端所必需的刚度并便于加工，齿宽b 一般不应大于0.35R ，通常取齿宽系数ψR =b /R =0.25~0.3。
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第2章 齿轮传动
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轴交角Σ=90°的标准直齿锥齿轮传动的传动比为
n z d
i =1=2=2=tan δ2=cot δ1 (2.33) n 2z 1d 1
锥齿轮的轮齿分布在截圆锥体上，其齿形从大端到小端逐渐减小，即从大端到小端模数不同。国家标准规定锥齿轮大端分度圆上的模数为标准模数m ，其值见表2-10；大端分度圆上的压力角为标准压力角α，一般取α=20°。这样以大端计算和测量的尺寸相对误差较小，同时也便于估计传动的外廓尺寸。
表2-10 锥齿轮模数系列
注：本表摘自GB/T 12363—1990。
轴交角Σ=90°的标准直齿锥齿轮传动的几何尺寸计算见表2-11(参看图2.24) 。
表2-11 Σ=90°的标准直齿锥齿轮传动的几何尺寸
2.8.2 背锥与当量齿数
从理论上讲，锥齿轮的齿廓曲线为球面渐开线。但球面渐开线无法在平面上展开，给
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机械设计基础
设计和制造带来许多困难，因此采用近似的方法来研究锥齿轮的齿廓曲线。
如图2.25所示，过锥齿轮大端分度圆上C 点作球面的切线O 1C 与轴线交于O 1点，以OO 1为轴线、O 1C 为母线作一圆锥，这个圆锥称为锥齿轮的背锥。显然，背锥与球面渐开线在分度圆处相切。将锥齿轮大端球面齿形向背锥上投影，所得齿形和锥齿轮大端齿形非常接近。若将背锥展开即得扇形平面，以扇形的圆心为圆心，以背锥母线长度O 1C 为分度圆半径，取锥齿轮大端模数为模数，压力角α=20°，可得一扇形齿轮。将上述扇形齿轮补充成完整的圆柱齿轮，该齿轮称为锥齿轮的当量齿轮，其齿数称当量齿数，用z v 表示。由
图知当量齿轮的分度圆半径r v =O 1C =r /cos δ，而r v =mz v /2，r =mz /2，所以
z z v = (2.34)
cos δ
由于当量直齿圆柱齿轮不发生切齿干涉的最少齿数z v min =17，所以直齿锥齿轮不发生切齿干涉的最少齿数为
一对直齿锥齿轮正确啮合的条件是：除两锥齿轮的模数和压力角分别相等外，两轮的锥距还必须相等。
z min =z v min cos δ=17cos δ (2.35)
图2.25 锥齿轮的当量齿轮
2.8.3 直齿锥齿轮传动的受力分析
锥齿轮的受力从小端到大端是不均匀的。但为了计算方便，工程上仍将沿齿宽分布的
载荷简化成集中作用在分度圆锥齿宽中点处的法向力F n1，如图2.26所示。忽略齿面间的
摩擦，法向力F n1可分解成三个互相垂直的分力：
2T
切向力 F t1=1
d m1
径向力 F r1=F t1tan αcos δ1(2.36)
轴向力 F x1=F t1tan αsin δ1
式中：T 1——作用在小锥齿轮上的转矩；
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第2章 齿轮传动
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d m1——小锥齿轮在齿宽中点处的直径，即平均直径(mm)，d m1=(1−0.5ψR ) d 1；
α——压力角；
δ1——小锥齿轮的分度圆锥角；
力的量纲是N 。
图2.26 直齿锥齿轮的受力分析
从动轮的受力可根据作用力与反作用力的关系按下式求得
F t1=−F t 2，F r1=−F x 2，F x1=−F r2
切向力方向的判断与直齿圆柱齿轮相同，径向力方向从作用点指向各自的轮心，轴向力方向从作用点指向各自的大端。
【例2.7】 在图2.27(a)所示直齿锥齿轮传动中，已知齿数z 1=24，z 2=48，模数m =3mm，齿宽b =20mm，传动功率P =2.5kW，主动小齿轮转速n 1=750r/min，转动方向如图所示。忽略齿面间的摩擦，计算并在图
2.27(b)、图2.27(c)中画出大齿轮的各分力。
(a)
(b) (c)
图2.27 例2.7图
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机械设计基础
2.8.4 直齿锥齿轮传动的强度计算
直齿锥齿轮传动的强度计算比较复杂，通常是把直齿锥齿轮传动转化为齿宽中点处的
一对当量直齿圆柱齿轮传动作近似计算。将齿宽中点处当量直齿圆柱齿轮的有关参数代入式(2.18)和式(2.20)，经过适当变换，即可得到下述相应的计算公式。
σH =Z E Z ≤[σ]H (2.37)
d 1≥
(2.38)
齿根弯曲疲劳强度校核式和设计式分别为
σF =FS ≤[σ]F (2.39)
m ≥
(2.40)
式中：Z E 、Z H 、K 、[σ]H 、[σ]F 的取值和计算与直齿圆柱齿轮传动相同；
Y FS 按当量齿数z v =z /cos δ由表2-6查取。
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第2章 齿轮传动
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2.9 齿轮的结构
齿轮的结构因其直径不同而异。
当顶圆直径d a ≤200mm ，并满足图2.28中所示的e 值时，一般制成图示的实心结构。小直径的钢制齿轮，当不满足图2.28所示的e 值时，应将齿轮与轴制成一体，称为齿轮轴(如图
2.29所示) 。
(a) 圆柱齿轮e ≥(2
～2.5) m n
(b) 锥齿轮e ≥(1.6～2) m
图2.28 实心齿轮
(a) 圆柱齿轮轴(齿根圆直径大于轴径)
(b) 圆柱齿轮轴(齿根圆直径小于轴径)
(c) 锥齿轮轴 图2.29 齿轮轴
当顶圆直径d a =200 mm～500 mm时，为减轻质量，可采用腹板式结构，如图2.30所示。腹板上开孔的数目按结构尺寸大小及需要而定。
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机械设计基础
(a) 圆柱齿轮 (b) 锥齿轮
图2.30 腹板式齿轮
在图2.30(a)中，D 1=1.6d s ；D 2=d a −10m n ；D 0=0.5(D 1+D 2) ；d 0=0.25(D 2−D 1) ； S =0.3b ，但不小于10mm ；当b =(1~1.5) d s 时，取L =b ，否则取L =(1.2~1.5) d s D 1=1.6d s ；D 2由结构定；D 0=0.5(D 1+D 2) ；d 0=0.25(D 2−D 1) ；在图2.30(b)中，S =3m ,
但不小于10mm ；S 1=0.2b ，但不小于10mm ；L =(1~1.2) d s ；L 1由结构定。 当圆柱齿轮顶圆直径d a ＞400mm ，锥齿轮顶圆直径d a ＞300mm 时，因为锻造困难，可
采用铸造齿轮，如图2.31所示。圆柱齿轮可铸成轮辐式结构，锥齿轮可铸成带加强肋的腹板式结构。
(a) 圆柱齿轮 (b) 锥齿轮
图2.31 铸造齿轮
在图2.31(a)中，D 1=(1.6~1.8) d s ；L =(1.2~1.5) d s ；H =0.8d s ；H 1=0.8H ；S =0.2H ； S 1=5m n ，但不小于10mm ；S 2=H /6，但不小于10mm 。
在图2.31(b)中，S 2=0.8S ；其余尺寸同图2.30(b)。
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第2章 齿轮传动
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习 题
1. 现有一标准直齿圆柱齿轮传动。已知齿数z 1=23，z 2=57，模数m =2.5mm，求其传动比、分度圆直径、顶圆直径、根圆直径、基圆直径、中心距、齿距、齿厚、齿槽宽，以及渐开线在分度圆处的曲率半径和顶圆上的压力角。
2. 备品库内有一标准直齿圆柱齿轮，已知齿数为38，测得顶圆直径为99.85mm 。现准备将它用在中心距为115mm 的传动中，试确定与之配对的齿轮齿数、模数、分度圆直径、顶圆直径和根圆直径。
3. 画出图2.32中齿轮所受的各分力方向，图2.32(a)、图2.32(c)、图2.32(d)为主动轮，图2.32(b)、图
2.32(e)为从动轮(图中“○”表示啮合点位置) 。
(a) (b) (c) (d) (e)
图2.32 习题3图
4. 现有一开式标准直齿圆柱齿轮传动。已知小齿轮材料为45钢调质处理，齿面硬度
m =4mm，230HBS ，大齿轮材料为ZG310-570正火处理，齿面硬度190HBS ，z 1=18，z 2=55，b 1=74mm，b 2=68mm，传递功率P =4kW，小齿轮转速n 1=720r/min，双向运转，载荷中等
冲击，齿轮相对轴承非对称布置。试校核该齿轮传动的强度。
5. 在一单级标准直齿圆柱齿轮减速器中，已知小齿轮材料为45钢调质处理，齿面硬度220HBS ，大齿轮材料为ZG310-570正火处理，齿面硬度180HBS ，z 1=20，z 2=80，中心距a =250mm，小齿轮齿宽b 1=65mm，大轮齿宽b 2=60mm。若输出转速n 2=250r/min，单向转动，载荷平稳，求此减速器能传递的最大功率。
6. 设计一单级减速器中的直齿圆柱齿轮传动。已知传递的功率P =10kW，小齿轮转速n 1=960r/min，传动比i =4.2，单向运转，载荷平稳，齿轮相对轴承对称布置。
7. 拟用一斜齿圆柱齿轮传动代替一标准直齿圆柱齿轮传动，已知直齿圆柱齿轮z 1=21，z 2=53，m =2.5mm。要求在不改变齿数和标准模数的前提下，把中心距圆整成尾数为0或
5的整数。试确定斜齿轮的螺旋角、分度圆直径、顶圆直径、根圆直径、端面模数和当量齿数。
8. 图2.33(a)所示为二级斜齿圆柱齿轮减速器。已知Ⅰ轴为输入轴，其转动方向和1轮的螺旋线方向如图所示。为使Ⅱ轴上2、3轮的轴向力能互相抵消一部分，要求：
① 确定2、3、4轮的螺旋线方向；
② 若输出功率P =7.5kW，Ⅰ轴转速n 1=1450r/min，高速级齿数z 1=20，z 2=51，模数m n12=3mm，中心距a 12=110mm，低速级齿数z 3=18，z 4=62，模数m n34=5mm，中心距
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机械设计基础
a 34=205mm，计算作用在齿轮2、齿轮3上的各分力，并在图2.33(b)
中画出这些分力的方
向。
(a) (b)
图2.33 习题8图
9. 设计一单级减速器中的斜齿圆柱齿轮传动。已知传递的功率P =13kW，小齿轮转速n 1=970r/min，传动比i =4.5，双向运转，载荷有中等冲击，齿轮相对轴承对称布置。
10. 一轴交角∑=90°的标准直齿锥齿轮传动，已知z 1=32，z 2=70，m =3mm。试计算两锥齿轮的分度圆锥角、分度圆直径、顶圆直径、根圆直径、锥距和当量齿数。
z 1=20，z 2=40，参数分别为：第一对，m =3mm，11. 有三对∑=90°的标准直齿锥齿轮，
α=20°；第二对，z 1=40，z 2=40，m =3mm，α=20°；第三对，z 1=20，z 2=40，m =5mm，
α=20°。试问：三个z 2=40的齿轮能否互换？为什么？
12. 图2.34(a)所示为一直齿锥齿轮—斜齿圆柱齿轮减速器。已知锥齿轮齿数z 1=20，z 2=40，模数m =5mm，齿宽b =35mm；斜齿轮齿数z 3=30，z 4=80，模数m n =4mm；主动
轴Ⅰ的转动方向如图所示。为使Ⅱ轴上齿轮2、齿轮3的轴向力完全抵消，要求：
① 确定齿轮3和齿轮4的螺旋线方向； ② 计算齿轮3和齿轮4的螺旋角大小；
③ 在图2.34(b)中画出齿轮2和齿轮
3的各分力方向。
(a) (b)
图2.34 习题12图
13. 设计一轴交角∑=90°的开式直齿锥齿轮传动。已知传递的功率P =3kW，传动比i =2.8，小齿轮转速n 1=970r/min，且相对轴承悬臂布置，单向运转，载荷有中等冲击。
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