哈工大研究生2012数值分析
1.(10分) 构造出方程f x =x3-2x 2+x=0所有根的迭代法，使迭代格式至少2阶收敛，并说明2阶收敛理由。取初值为2，计算接近2的根（要求迭代两次，结果保留4位小数）。
2.(10分) 试确定求积公式 −1f(x) dx≈A−1f −1 +A0f 0 +A1f(1)，r=3中的待定参数A−1、A0、A1，使公式的代数精度尽可能高，并导出该公式的余项（设f(x) ∈C4[−1,1]）。
1
332 0x1
3.(10分) 方程组 −1 3 −1 x2 = 6
−5 7 −1 x310
1) 用Crout 三角分解法解方程组；
2). 计算其系数矩阵A 的按模最大的特征值及对应的特征向量。
选取初始向量v0=(0,1,1)T（要求迭代二次，结果保留4位小数）
−12−1 1x1
4.(10分) 已知线性方程组 2 2 2 x2 = 4
−1 −1 2 x3−5
1) 分别写出Jacobi 迭代矩阵和Gauss-Seidel 迭代矩阵； 2) 分别讨论Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代的收敛性。
5.(10分) 试用共轭梯度法(cg法) 求解线性方程组。（初始值取x(0)=(0,0,0)T）
2043 0x1
34 −1 x2 = 30 0 −1 4 x3−24
已知计算过程为：
给定x (0)，计算r(0)=b−Ax(0), p0=r(0) 对k=0，1，···计算
(r k , r k ) (k+1)
αk=; x=x(k) +αkpk; r(k+1)=r(k) −αkApk
kk(r k+1 , r k+1 ) (k+1)
βk=; p=r+βkpk k+1(r, r)
6.(10分) 已知函数f(x)满足数表
1) 试求f(x)在[0，4]上的Hermite 插值多项式H(x)使之满足下列条件 H(x)= f(x)，i=0,1,2 H’(x)=1/2。
2) 写出余项R(x)= f(x)-H(x)的表达式。
7.(10分) 已知数据点(0,7),(1,4),(2,3),(3,3)试利用反差商构造有理插值函数R(x)通过已知数据点。
8.(10分) 选择形如y=
1a 0+a1x
，( a 0、a 1为常数) 的经验公式拟合给定的数据表：
9.(10分) 已知求解常微分方程初值问题的差分方法：
ℎ
yn+1=yn+[f xn, yn +2f xn+1, yn+1 ]
1) 求出局部截断误差主项，指出方法的阶数； 2) 讨论其绝对稳定性。
10.(10分) 给定线性多部法
yn+1
11ℎ′′=yn+yn−1+[7yn−yn−1] 初始值及y0、y1，h 为步长。
1) 讨论该方法的收敛性和绝对稳定性；
y′+10y=02) 对初值问题 取步长h =0.04，初值y1=0.6703，求x=0.08，0.12时
y 0 =1.0
的数值解（计算中保留小数点后4位）。 （参考定理：设x 1和x 2是实系数二次方程x2+bx+c=0的根，则 x1